Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2\frac{a}{b^2}={\log }_{2}a-{\log }_2{b}^2={\log }_{2}a-2{\log }_{2}b$ với $a,b>0$. Vậy đáp án là C. (Lưu ý: A sai vì ${\log }_{2}a-{\log }_2(2b)={\log }_{2}a-1-{\log }_{2}b$.)

a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi lên nên đồng biến.
b) Từ đồ thị hàm số $y=b^x$ suy ra $b>1$ và từ đồ thị hàm số $y=c^x$ đi xuống nên suy ra $0<c<1$.
c) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>c$.
d) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>1>c>0$.
Đáp án: [a sai | b đúng | c sai | d đúng].
a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi lên nên đồng biến.
b) Từ đồ thị hàm số $y=b^x$ suy ra $b>1$ và từ đồ thị hàm số $y=c^x$ đi xuống nên suy ra $0<c<1$.
c) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>c$.
d) Kẻ đường thẳng $x=1$ cắt các đồ thị hàm số $y=a^x,y=b^x$ và $y=c^x$ tại các điểm lần lượt tung độ $y=a$, $y=b$ và $y=c$. Từ đó suy ra $a>b>1>c>0$.

Ta có $P={\log }_a(x^2\cdot y^3)={\log }_a{x}^2+{\log }_a{y}^3=2{\log }_{a}x+3{\log }_{a}y=2\cdot 2+3\cdot 3=13$.

Hàm số $y={\log }_7(x-6)$ xác định khi $x-6>0\iff x>6$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(6;+\infty )$. Chọn đáp án A.

Cho số thực $a$, $(0<a\ne 1)$ và $M$, $N$ là các số thực dương, khi đó ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Trong các phương án: $y=2^x$ (A) là hàm số mũ; $y=x^2$ (B) là hàm số lũy thừa (đa thức); $y={\log }_{2}x$ (C) là hàm số logarit; $y=2x$ (D) là hàm số bậc nhất. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Hình vẽ là đồ thị hàm số $y=a^x$ với $0<a<1$ (đi qua điểm $(0;1)$, nghịch biến, nhận trục hoành làm tiệm cận), không phải đồ thị của $y={\log }_{a}x$ (đi qua điểm $(1;0)$, nhận trục tung làm tiệm cận). b) Sai. Hàm số $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$; khi $a>1$ hàm số đồng biến. c) Đúng. Theo định nghĩa logarit: $\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$ với $a>0,a\ne 1,b>0,\alpha \in \mathbb{R}$. d) Sai. ${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{1/3}=\frac{1}{3}\ne 3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ là đồ thị hàm mũ $y=a^x$ với $0<a<1$ (đi qua $(0;1)$, nghịch biến, tiệm cận trục hoành), không phải đồ thị $y={\log }_{a}x$ (đi qua $(1;0)$, tiệm cận trục tung).
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$; khi $a>1$ hàm số đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$ với $a>0,a\ne 1,b>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_a\sqrt[3]{a}={\log }_a{a}^{1/3}=\frac{1}{3}\ne 3$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 ngày tức $t=24$ giờ, với $m_0=100$ gam và $T=9$ giờ, ta có: $m(24)=100{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{24}{9}}=100\cdot 2^{-\frac{8}{3}}=\frac{100}{2^2\cdot 2^{2/3}}\approx \frac{100}{6,3496}\approx 15,749$ gam. Làm tròn đến hàng phần chục ta được $15,7$ gam, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a,b,c>0$, $a\ne 1$ ta có ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$. Do đó khẳng định đúng là D, trùng với đáp án của đề (Câu 3, Mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa và logarit: $a^{{\log }_{a}b}=b$ (với $a,b>0$, $a\ne 1$), nên khẳng định $a^{{\log }_{a}b}=a^b$ ở phương án A là sai (trừ trường hợp đặc biệt $b$ thỏa $b=a^b$). Các phương án còn lại đều đúng: ${\log }_{a}1=0$ vì $a^0=1$; ${\log }_{a}a=1$ vì $a^1=a$; ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$ theo tính chất logarit của lũy thừa. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, Mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (2x-1)$ xác định khi $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Vậy tập xác định là $D=\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 7, Mã đề 111: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (1-x)$ xác định khi $1-x>0$, tức $x<1$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;1)$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=7^x$ với $x\in \mathbb{R}$.
a) Đúng. Vì $7^x>0$ với mọi $x$, nên ${\log }_7(f(x))={\log }_7(7^x)=x$ theo định nghĩa logarit.
b) Đúng. Tại $x=0$: $f(0)=7^0=1$, nên đồ thị đi qua điểm $A(0;1)$.
c) Đúng. Hàm số mũ $y=7^x$ với cơ số $7>1$ nhận mọi giá trị dương, nên tập giá trị là $T=(0;+\infty )$.
d) Sai. $f(x)=14\iff 7^x=14\iff x={\log }_{7}14\approx 1,356\ne 2$ (vì $7^2=49\ne 14$). Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_7(f(x))={\log }_7(7^x)=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $7^x>0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=7^0=1$ nên đồ thị đi qua $A(0;1)$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=7^x$ là $(0;+\infty )$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$7^x=14\iff x={\log }_{7}14\approx 1,356\ne 2$ vì $7^2=49$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, ta có ${\log }_{a}b=m\iff a^m=b$. Các phương án B, C, D đều sai vì viết sai vị trí của $m$, $a$, $b$ trong lũy thừa tương đương. Khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số logarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với $a>0$, $a\ne 1$ và biến số $x$ nằm trong số chỉ số của logarit. Xét các phương án: $y=\ln x={\log }_{e}x$ là hàm logarit cơ số $e$; $y=\log x={\log }_{10}x$ là hàm logarit cơ số 10; $y={\log }_{2026}x$ là hàm logarit cơ số 2026. Còn $y={\log }_{x}2$ có biến $x$ ở vị trí cơ số (không phải dạng ${\log }_{a}x$ với $x$ là argument), nên không phải hàm số logarit theo định nghĩa. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(-1;3)$, hàm số nghịch biến nên cơ số $0<a<1$. Với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: tại $x=-1$ ta có $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$ (khớp với đồ thị), tại $x=0$ có $y=1$. Các hàm $y=3^x$ và $y=(\sqrt{3}{)}^x$ đồng biến; $y=3^{x+1}$ có $y(0)=3\ne 1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (đề 102, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=5^x$. a) Vì $f(x)=5^x>0$ nên ${\log }_5(f(x))={\log }_5{5}^x=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$: đúng. b) Hàm số mũ $y=5^x$ có cơ số $5>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$: đúng. c) Tập giá trị của hàm số mũ $y=5^x$ là $(0;+\infty )$: đúng. d) $f(x)=10\iff 5^x=10\iff x={\log }_{5}10\approx 1,43\ne 2$ (vì $5^2=25\ne 10$): sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_5(f(x))={\log }_5{5}^x=x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số mũ $y=5^x$ là $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$5^x=10\iff x={\log }_{5}10\approx 1,43\ne 2$ vì $5^2=25\ne 10$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$ thì ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$. Các phương án B, C, D đều sai vì đặt sai vị trí cơ số và số mũ. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A. $y=e^{-x}={\left(\frac{1}{e}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{e}\in (0;1)$. B. $y=x^{10}$ có biến số ở cơ số, đây là hàm số lũy thừa (đa thức), không phải hàm số mũ. C. $y=2026^x$ là hàm số mũ với cơ số $2026>1$. D. $y=\frac{1}{3^x}={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$. Vậy hàm số không phải hàm số mũ là $y=x^{10}$, đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(3;1)$ và điểm $(\frac{1}{3};-1)$, đồng thời hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên cơ số $a>1$. Kiểm tra: ${\log }_{3}3=1$ và ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$ thỏa mãn đồ thị. Với $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ thì hàm nghịch biến (loại B); với $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ thì ${\log }_{\sqrt{3}}3=2\ne 1$ (loại C); $y=\log 3x$ có $\log 3\ne 1$ (loại D). Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5 = A).