Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-1)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $x-1>0\iff x>1$. Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(1-x)$ xác định khi $1-x>0\iff x<1$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;1)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tính $P={\log }_2(4\sqrt{2})+9^{{\log }_{3}5}$. Ta có $4\sqrt{2}=2^{5/2}$ nên ${\log }_2(4\sqrt{2})=\frac{5}{2}=2,5$. Với số hạng thứ hai, dùng $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$: $9^{{\log }_{3}5}=3^{2{\log }_{3}5}=3^{{\log }_{3}25}=25$. Vậy $P=2,5+25=27,5$, khớp với đáp án nguồn (27,5).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ ta có $y={\log }_{a}1=0$ với mọi $0<a\ne 1$, nên đồ thị luôn đi qua điểm $(1;0)$. Các điểm khác phụ thuộc vào $a$ hoặc không thuộc tập xác định ($x=0$). Đáp án khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x-1)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $x-1>0\iff x>1$. Vậy tập xác định là $(1;+\infty )$. Khớp với đáp án nguồn 7B.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $a>0$, $a\ne 1$, ta có $a^0=1$. Do đó tại $x=0$ thì $y=1$, tức đồ thị hàm số $y=a^x$ luôn đi qua điểm cố định $(0;1)$, không phụ thuộc vào $a$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (9C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ xác định với $x>0$ và đi qua điểm $(1;0)$, nên đó là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ (loại A, D vì hàm số mũ $y=a^x$ xác định trên toàn trục thực và đi qua $(0;1)$). Trên hình, đường cong nghịch biến (đi xuống từ trái qua phải), nên $0<a<1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{a}x(0<a<1)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: tập xác định của $y={\log }_{a}x$ là $(0;+\infty )$ nên đồ thị nằm bên phải trục tung. b) Sai: $y={\log }_{a}x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$, còn $y=a^x$ có tập giá trị $(0;+\infty )$, hai tập này khác nhau. c) Đúng: với $0<a<1$, $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. d) Sai: với mọi $a>0$, $a\ne 1$ thì $a^1=a\ne 1$, tức đồ thị $y=a^x$ không đi qua $A(a;1)$ (nó đi qua $(0;1)$; điểm $(a;1)$ thuộc đồ thị $y={\log }_{a}x$).
a) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ của $y={\log }_{a}x$ là $(0;+\infty )$, nên đồ thị nằm hoàn toàn bên phải trục tung.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{a}x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$; $y=a^x$ có tập giá trị $(0;+\infty )$. Hai tập giá trị khác nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<a<1$, hàm mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a^1=a\ne 1$ nên điểm $A(a;1)$ không thuộc đồ thị $y=a^x$. Đồ thị $y=a^x$ luôn đi qua $(0;1)$; điểm $(a;1)$ thuộc đồ thị $y={\log }_{a}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị ban đầu là $P(0)=12$. Sau 3 năm: $P(3)=12\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{3}}=12\cdot \frac{1}{2}=6$ triệu đồng. Tỉ lệ so với ban đầu: $\frac{6}{12}\cdot 100\%=50\%$. Vậy sau 3 năm, giá trị còn lại bằng 50% so với ban đầu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a,b,c>0$, $a\ne 1$, ta có ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Đáp án trùng với bảng đáp án (Câu 10, mã đề 1020: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ; chỉ có $y=2^x$ là hàm số mũ. b) Sai: hàm lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. c) Đúng: xét phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x=-{\log }_{2}x$ với $x>0$. Khi $x\to 0^{+}$, ${\log }_{\frac{1}{2}}x\to +\infty$ lớn hơn $2^x\to 1$; tại $x=\frac{1}{2}$: $2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1,414>1={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$, nên có nghiệm trong $(0;\frac{1}{2})$. Với $x\ge \frac{1}{2}$, hàm $g(x)=2^x+{\log }_{2}x$ có $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ nên $g$ đồng biến, do đó phương trình có duy nhất một nghiệm. Vậy hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm. d) Đúng: hàm số mũ $y=2^x$ với $2>1$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$. Khớp với đáp án nguồn: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm lôgarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có duy nhất một nghiệm dương: trên $(0;\frac{1}{2})$ có nghiệm do đổi dấu (${\log }_{\frac{1}{2}}x\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, còn $2^{1/2}>1={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$); với $x\ge \frac{1}{2}$, $g(x)=2^x+{\log }_{2}x$ đồng biến vì $g^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$, nên không có nghiệm thứ hai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định: $y={\log }_{2}x$ và $y=\ln x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=(\sqrt{3}{)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $\sqrt{3}>1$; $y=(0,5{)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $0<0,5<1$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$, do đó tập xác định là $\mathcal{D}=(0;+\infty )$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án mã đề 1020 (Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a,b,c>0$, $a\ne 1$, ta có ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Ví dụ kiểm tra: lấy $a=2,b=4,c=8$ thì ${\log }_{2}32=5={\log }_{2}4+{\log }_{2}8=2+3$. Các phương án A, B, C đều sai vì không khớp tính chất này. Đáp án khớp với mã đề 1010, câu 12 là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ; chỉ có $y=2^x$ là hàm số mũ. b) Sai: hàm lôgarit $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. c) Đúng: phương trình hoành độ giao điểm $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ tương đương $f(x)=2^x+{\log }_{2}x=0$. Ta có $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}-2<0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}-1>0$ nên có nghiệm trong $\left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$. Hơn nữa $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ với mọi $x>0$ nên $f$ đồng biến, phương trình có duy nhất một nghiệm. Vậy hai đồ thị cắt nhau tại đúng 1 điểm. d) Đúng: hàm số mũ $y=2^x$ với cơ số $2>1$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án SSDD ở mã đề 1010.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là hàm số lôgarit, không phải hàm số mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm lôgarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x={\log }_{\frac{1}{2}}x$ tương đương $f(x)=2^x+{\log }_{2}x=0$; $f\left(\frac{1}{4}\right)<0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)>0$ và $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}>0$ nên có duy nhất một nghiệm: hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ có tập giá trị $T=(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định là hàm số mũ với cơ số $0<a<1$. Xét các phương án: $y=\ln x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y={\log }_{2}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=(\sqrt{3}{)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $\sqrt{3}>1$; còn $y=(0,5{)}^x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1010, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(0;+\infty )$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1010, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ đều đồng biến nên $b>1$, $c>1$. Trên $(1;+\infty )$ đường $y={\log }_{b}x$ nằm trên $y={\log }_{c}x$ nên với $x>1$: ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$, suy ra $b<c$. Vậy $0<a<1<b<c$.
a) $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ vì $c>1$ → sai.
b) $a^0=1$ với mọi $a>0$ nên đồ thị $y=a^x$ đi qua $A(0;1)$ → đúng.
c) Ta có $0<a<1<b<c$ nên $a<c<b$ sai (thực tế $a<b<c$) → sai.
d) Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành tại $P(5;0)$, cắt $y={\log }_{c}x$ tại $M(5;{\log }_{c}5)$, cắt $y={\log }_{b}x$ tại $N(5;{\log }_{b}5)$. Vì $b<c$ nên ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. Điều kiện $PN=3MN$: ${\log }_{b}5=3({\log }_{b}5-{\log }_{c}5)⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹\frac{3}{\ln c}=\frac{2}{\ln b}⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}\ne c^4$ → sai.
a) Vì $c>1$ nên $y={\log }_{c}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến.
b) Với mọi $a>0$, $a^0=1$ nên đồ thị $y=a^x$ luôn đi qua $A(0;1)$.
c) Từ đồ thị: $0<a<1$ ($a^x$ nghịch biến), $b>1$, $c>1$ và ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$ với $x>1$ nên $b<c$. Vậy thứ tự đúng là $a<b<c$, không phải $a<c<b$.
d) $P(5;0)$, $M(5;{\log }_{c}5)$, $N(5;{\log }_{b}5)$ với ${\log }_{b}5>{\log }_{c}5>0$. $PN={\log }_{b}5$, $MN={\log }_{b}5-{\log }_{c}5$. $PN=3MN⟹3{\log }_{c}5=2{\log }_{b}5⟹3\ln b=2\ln c⟹b=c^{2/3}$, không phải $b=c^4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(1-x)$ xác định khi $1-x>0$, tức $x<1$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a^3}a=\frac{\ln a}{\ln a^3}=\frac{\ln a}{3\ln a}=\frac{1}{3}$ (vì $a>0$, $a\ne 1$ nên $\ln a\ne 0$). Vậy đáp án là D.