Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến nên $0<a<1$, loại A, B. Trên đồ thị, đường cong đi qua điểm $(2;-1)$, tức ${\log }_{a}2=-1\Rightarrow a=\frac{1}{2}=0,5$. Vậy hàm số là $y={\log }_{0,5}x$. Lưu ý ${\log }_{0,25}x=\frac{{\log }_{0,5}x}{{\log }_{0,5}0,25}=\frac{{\log }_{0,5}x}{2}$, tại $x=2$ cho giá trị $-\frac{1}{2}\ne -1$, nên loại D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định: $y=\ln x$ và $y=\log x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$; $y=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Riêng $y={\left(\frac{2025}{2026}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{2025}{2026}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: ${\log }_a(a^3{b}^2)={\log }_a{a}^3+{\log }_a{b}^2=3+2{\log }_{a}b$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình: tập xác định $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$, đồng biến và lõm lên trên — đây là đặc điểm của hàm số $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Loại C, D vì đồ thị hàm mũ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$. Loại A vì $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến. Kiểm tra: ${\log }_{2}1=0$, hàm đồng biến, phù hợp đồ thị. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=5^x$ là hàm số mũ với cơ số $5>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
a) Vì $f$ đồng biến: $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$ với mọi $a,b$ thực. → Đúng.
b) Tại $x=0$: $f(0)=5^0=1$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$, không phải $(0;5)$. → Sai.
c) Tập xác định của $f(x)=5^x$ là $\mathbb{R}$, đồ thị nhận mọi giá trị hoành độ $x\in \mathbb{R}$ nên nằm cả hai bên trục $Oy$ (chỉ tiệm cận trục hoành khi $x\to -\infty$). → Sai.
d) Đồ thị $y=g(x)$ đối xứng với $y=f(x)$ qua điểm $I(1;1)$ nên với mọi $x$: điểm đối xứng của $(x;g(x))$ qua $I$ là $(2-x;2-g(x))$ thuộc đồ thị $f$, tức $2-g(x)=f(2-x)=5^{2-x}$, suy ra $g(x)=2-5^{2-x}$.
Tính với $x=2+{\log }_5\frac{1}{2026}$:
$$g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2-5^{2-\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)}=2-5^{-{\log }_5\frac{1}{2026}}=2-5^{{\log }_{5}2026}=2-2026=-2024.$$
Vậy $T=-g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2024\ne 2026$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=5^x$ với $5>1$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $a<b\Rightarrow f(a)<f(b)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;1)$ chứ không phải $(0;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $\mathbb{R}$ nên đồ thị nhận mọi hoành độ, nằm cả hai bên trục $Oy$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua $I(1;1)$: $g(x)=2-f(2-x)=2-5^{2-x}$. Khi đó $g\left(2+{\log }_5\frac{1}{2026}\right)=2-5^{{\log }_{5}2026}=-2024$, nên $T=2024\ne 2026$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A. $y=x^{\sqrt{7}}$ là hàm số lũy thừa (cơ số là biến, số mũ hằng). B. $y=x^2$ là hàm số lũy thừa (hàm đa thức). C. $y={\log }_{5}x$ là hàm số logarit. D. $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ có dạng $a^x$ với $a=\sqrt{3}>0$, $a\ne 1$, nên đây là hàm số mũ. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ngày 01/01/2030 cách ngày 01/01/2023 đúng $t=7$ năm. Ta tính $P(7)=99,332\cdot (1,0085{)}^7$. Vì $1,0085^7\approx 1,06104$ nên $P(7)\approx 99,332\cdot 1,06104\approx 105,397$ triệu người. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $105$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (2-x)$ xác định khi $2-x>0$, tức $x<2$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;2)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{7}{4}<\frac{8}{3}$ và $a^{\frac{7}{4}}<a^{\frac{8}{3}}$ nên hàm số mũ $a^x$ đồng biến, suy ra $a>1$. So sánh: $\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118>1$ và $\frac{\sqrt{7}}{3}\approx 0,882<1$, do đó ${\log }_b\frac{\sqrt{5}}{2}>0>{\log }_b\frac{\sqrt{7}}{3}$, tức hàm số ${\log }_{b}x$ đồng biến (vì $\frac{\sqrt{5}}{2}>\frac{\sqrt{7}}{3}$ và log của nó lớn hơn), suy ra $b>1$. Vậy cả $a>1$ và $b>1$; trong các phương án chỉ có phương án B thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên đồ thị nghịch biến, nhận trục hoành $Ox$ làm tiệm cận ngang và luôn đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra: $y(-1)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$, nên đồ thị đi qua $(-1;2)$. Xét các hình: Hình A là hàm mũ cơ số lớn hơn 1 (đồng biến, đi qua $(0;1)$ và $(1;2)$) — không đúng. Hình B là hàm căn/logarit đi qua $(1;0)$, $(3;1)$ — không đúng. Hình C đi qua $(1;0)$, $(2;-1)$ — không đúng. Hình D nghịch biến, đi qua $(0;1)$ và $(-1;2)$ — đúng với $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{2}x$. a) Hàm logarit chỉ xác định khi $x>0$, nên tập xác định $D=(0;+\infty )$ → Đúng. b) Hàm số đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì không xác định với $x\le 0$ → Sai. c) Đồ thị cắt đường thẳng $y=-2$: ${\log }_{2}x=-2\Rightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}\ne 4$ → Sai. d) Điểm thuộc đồ thị nằm dưới đường thẳng $y=2$: ${\log }_{2}x<2\iff 0<x<4$, các hoành độ nguyên là $x=1,2,3$ — đúng 3 điểm → Đúng. Kết quả khớp đáp án ĐSSĐ ở trang 10.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm ${\log }_{2}x$ xác định khi $x>0$, nên $D=(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ vì không xác định với $x\le 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}x=-2\Rightarrow x=\frac{1}{4}$, không phải $x=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{2}x<2\iff 0<x<4$, các hoành độ nguyên là $x=1,2,3$: đúng 3 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong tăng dần, nằm bên phải trục $Oy$, đi qua điểm $(3;1)$ và $\left(\frac{1}{3};-1\right)$, tiệm cận trục $Oy$ — đây là đặc điểm của hàm số $y={\log }_{3}x$ (hàm logarit với cơ số $a=3>1$ nên đồng biến). Kiểm tra: ${\log }_{3}3=1$, ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$ khớp với đồ thị. Các phương án khác: $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến; $y=3^x$ và $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ là hàm mũ có tiệm cận ngang, không khớp hình vẽ. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (2A).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $[0;+\infty )$ vì logarit chỉ xác định với $x>0$ → Sai. b) Cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) ${\log }_{\frac{1}{2}}x=2\iff x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ → Đúng. d) Phía trên đường thẳng $y=-2$: ${\log }_{\frac{1}{2}}x>-2\iff x<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$ (do nghịch biến). Với $x$ nguyên dương: $x\in \{1,2,3\}$, chỉ có 3 điểm, không phải 4 → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ là $D=(0;+\infty )$ vì điều kiện $x>0$, không phải $[0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$, hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{2}}x=2\iff x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, đúng như phát biểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{\frac{1}{2}}x>-2\iff 0<x<4$. Các hoành độ nguyên dương thỏa mãn là $x=1,2,3$: chỉ có 3 điểm, không phải 4 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{5}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên khẳng định a sai. Với $0<x<1$ thì ${\log }_{5}x<0$ nên đồ thị $(C)$ nằm dưới trục hoành trên khoảng $(0;1)$, do đó khẳng định b sai. ${\log }_{5}x=0\iff x=1$ nên đồ thị cắt trục hoành tại điểm $(1;0)$, khẳng định c đúng. Cơ số $5>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<x<1$, ${\log }_{5}x<0$ nên đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}x=0\iff x=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên hàm số $y={\log }_{5}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$ với $a>0$, $b>0$, $b\ne 1$. Các khẳng định B, C, D sai vì $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, không phải $\ln (a+b)$; tương tự $\ln (a+b)\ne \ln a\cdot \ln b$ và $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$ (chỉ bằng $\ln (a-b)$ khi $a>b$ và nói chung không đúng). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\sqrt[3]{a}}b={\log }_{a^{1/3}}b=3{\log }_{a}b$ và ${\log }_{a^2}{b}^6=\frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b$. Vậy $P=3{\log }_{a}b+3{\log }_{a}b=6{\log }_{a}b$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có $4>1$. a) Sai vì tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. b) Đúng vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng vì ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$. d) Sai vì ${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp với đáp án S-Đ-Đ-S của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{4}x$ chỉ xác định khi $x>0$, nên tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$ nên hàm số $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}={\log }_4{4}^{-1}=-1$, nên đồ thị đi qua điểm $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4^1=4$, nên giao điểm với đường thẳng $y=1$ có hoành độ bằng 4, không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $0<a\ne 1$, $b>0$, $\alpha \in \mathbb{R}$, ta có ${\log }_{a}b=\alpha \iff a^{\alpha }=b$. Do đó đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^{3}b)={\log }_a(a^3)+{\log }_{a}b=3+{\log }_{a}b$ (với $a>0,a\ne 1,b>0$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ với $a>0,a\ne 1$ được xác định với mọi giá trị thực của $x$, vì lũy thừa $a^x$ có nghĩa với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi cơ số $a>0$. Do đó tập xác định là $\mathbb{R}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn: Câu 7 là C.