Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). Các mệnh đề khác sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$, không phải $\ln b-\ln a$; $\ln \frac{a}{b}\ne \frac{\ln a}{\ln b}$; và $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các phương án: A. $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tập xác định $\mathbb{R}$). C. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. D. $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số luôn đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=3^{x+2}$ là hàm số mũ với cơ số $3>1$, tập xác định $D=\mathbb{R}$. a) Vì cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: Đúng. b) $f(2)=3^{2+2}=3^4=81$: Đúng. c) Tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$: Sai. d) $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4$ là số chẵn, không phải số lẻ: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=3^{x+2}$ có cơ số $3>1$ nên luôn đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=3^{2+2}=3^4=81$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x=4$, hoành độ giao điểm là $4$ (số chẵn), không phải số lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy $D=(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=3^{x+2}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ (không phải $(0;+\infty )$) và vì cơ số $3>1$ nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. a) Giải $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4$ là số chẵn, nên khẳng định 'hoành độ là số lẻ' là SAI. b) ĐÚNG vì $3>1$. c) SAI vì $D=\mathbb{R}$. d) $f(2)=3^{2+2}=3^4=81$, ĐÚNG. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x=4$, là số chẵn nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên hàm số mũ $y=3^{x+2}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số mũ là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=3^{2+2}=3^4=81$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy $D=(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). A sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$; B sai vì logarit của thương không bằng thương hai logarit; D sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các phương án: A có $a=\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến; B có $a=\sqrt{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$; C có $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với $a=\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến; D là hàm logarit với cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm luôn đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S={\log }_{\sqrt{a}}\sqrt[3]{b}=\frac{\frac{1}{3}{\log }_{a}b}{\frac{1}{2}{\log }_{a}a}=\frac{2}{3}{\log }_{a}b=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $2^x>0$ với mọi $x$ và $2^x$ nhận mọi giá trị dương nên tập giá trị là $(0;+\infty )$. b) Sai: đồ thị $y=2^x$ nằm phía bên trái trục tung (tiệm cận $x\to -\infty$), không phải bên phải. c) Đúng: khi $x\to -\infty$ thì $2^x\to 0^{+}$. d) Sai: phương trình $2^x=3^{x+1}$ cho $x\ln 2=(x+1)\ln 3\Rightarrow x=\frac{\ln 3}{\ln 2-\ln 3}<0$, nên giao điểm có hoành độ âm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và hàm số liên tục, đơn điệu tăng nhận mọi giá trị dương nên tập giá trị là $T=(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=2^x$ có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$, nên đồ thị nằm phía bên trái trục tung, không phải bên phải.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $2^x=3^{x+1}$: $x\ln 2=(x+1)\ln 3\Rightarrow x(\ln 2-\ln 3)=\ln 3\Rightarrow x=\frac{\ln 3}{\ln 2-\ln 3}<0$. Vậy giao điểm có hoành độ âm, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 90 năm, chất phóng xạ đã trải qua $90:18=5$ chu kì bán rã. Khối lượng còn lại là $m=20\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{20}{32}=0,625\approx 0,63$ gam.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_8(a^6)=6{\log }_{8}a=6\cdot \frac{{\log }_{2}a}{{\log }_{2}8}=6\cdot \frac{{\log }_{2}a}{3}=2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\sqrt{a}}{a}^2{b}^4=\frac{{\log }_a(a^2{b}^4)}{{\log }_a\sqrt{a}}=\frac{2+4{\log }_{a}b}{\frac{1}{2}}=\frac{2+4m}{\frac{1}{2}}=4+8m$. Vậy đáp án D. Lưu ý: phương án B $\frac{2+4m}{2}$ là bẫy do quên chia cho $\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và mọi $x,y>0$ ta có ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó mệnh đề đúng là phương án C. Các phương án A, B, D đều sai (B là công thức của tích, D sai vì $x-y$ có thể âm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Các hàm $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, $y=4^{-x}={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ và $y={\pi }^x$ đều có dạng này nên là hàm số mũ. Hàm $y=x^{-4}$ có biến số $x$ ở cơ số, không phải số mũ, nên đây là hàm số lũy thừa (hàm số mũ), không phải hàm số mũ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b,x\ne 1$:
- A: Đúng, theo công thức đổi cơ số ${\log }_{a}x=\frac{1}{{\log }_{x}a}$.
- B: Đúng, theo tính chất hiệu hai lôgarit cùng cơ số ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$.
- C: Sai. Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}$, tức ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}x={\log }_{a}x$, chứ không phải ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{a}x={\log }_{b}x$. Ví dụ với $a=2,b=4,x=8$: ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{2}8=2\cdot 3=6\ne {\log }_{4}8=\frac{3}{2}$.
- D: Đúng, theo tính chất tổng hai lôgarit cùng cơ số ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
$P(0)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=400$ triệu đồng nên ý a đúng. $P(3)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^1=200$ triệu đồng, tức giảm 2 lần sau 3 năm nên ý b đúng, ý d sai (200 chứ không phải 50 triệu đồng). $P(2)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/3}\approx 400\cdot 0,62996\approx 252$ triệu đồng, giảm khoảng $400-252=148$ triệu, tương đương $148/400\approx 37\%$ nên ý c đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(0)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=400$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(3)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/3}=200$ triệu đồng, bằng nửa giá trị ban đầu nên giảm 2 lần.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(2)=400{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2/3}\approx 252$ triệu đồng, giảm khoảng $\frac{400-252}{400}\approx 37\%$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(3)=200$ triệu đồng, không phải 50 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a^5}{b}^2=\frac{{\log }_a{b}^2}{{\log }_a{a}^5}=\frac{2{\log }_{a}b}{5}=\frac{2}{5}{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (4-x^2)$ xác định khi $4-x^2>0$, tức $x^2<4$, suy ra $-2<x<2$. Vậy $D=(-2;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=5^x$ có cơ số $5>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. Các hàm $y={\log }_{5}x$ và $y={\log }_{\frac{1}{5}}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$; hàm $y={\left(\frac{1}{5}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án A.