Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở Câu 14 có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, nên là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Trong các đáp án, chỉ có $y={\log }_{2}x$ (cơ số $2>1$) thỏa mãn; $y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến, còn $y=2^x$ và $y=1/2^x$ là hàm số mũ có tập xác định $\mathbb{R}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ và giảm dần từ trái sang phải, tiến gần trục hoành khi $x\to +\infty$. Đây là đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại A và C vì đó là hàm logarit (chỉ xác định khi $x>0$, có tiệm cận đứng). Loại D vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng biến. Vậy đồ thị là của $y=(0,8{)}^x$ với $0<0,8<1$ (hàm nghịch biến).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các đáp án: A có $a=\frac{2}{5}<1$ (nghịch biến), B có $a=\frac{1}{3}<1$ (nghịch biến), C có $a=2005>1$ (đồng biến), D là hàm hằng $y=2022$ (không đồng biến). Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y=2005^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định: hàm mũ $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$; hàm logarit $y={\log }_{a}x$ đồng biến khi $a>1$. Xét các phương án: A. $y=(0,3{)}^x$ với $0<0,3<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ với cơ số $\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. C. $y={\log }_{\frac{3}{2}}x$ với cơ số $\frac{3}{2}>1$ nên đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$. D. $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ với $0<\frac{2}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $\frac{\pi }{4}\approx 0,785<1$ nên $y={\left(\frac{\pi }{4}\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$; còn $e>1$, $2022>1$, $2>1$ nên các hàm $y=e^x$, $y=2022^x$, $y=2^x$ đều đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 17.3, f(x)=log₃(5x−3).
a) Điều kiện: 5x−3>0 ⟺ x>3/5, nên tập xác định là D=(3/5;+∞) (khoảng mở), không phải [3/5;+∞). SAI.
b) f(x)=1 ⟺ 5x−3=3 ⟺ x=6/5. ĐÚNG.
c) f(x)<3 ⟺ 0<5x−3<27 ⟺ 3/5<x<6. Các nghiệm nguyên: 1,2,3,4,5 — đúng 5 nghiệm. ĐÚNG.
d) Gọi B=(b; log₃(5b−3)). Vì A là trung điểm OB nên A=(b/2; y_B/2) và A thuộc đồ thị: log₃(5b/2−3)=½log₃(5b−3). Đặt t=5b−3>0: (t−3)/2=√t ⟹ u²−2u−3=0 với u=√t ⟹ u=3 ⟹ t=9 ⟹ b=12/5. Khi đó B=(12/5; 2), OB=√((12/5)²+2²)=√(244/25)=2√61/5. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện 5x−3>0 ⟺ x>3/5, tập xác định là D=(3/5;+∞), không phải [3/5;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
log₃(5x−3)=1 ⟺ 5x−3=3 ⟺ x=6/5.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(x)<3 ⟺ 3/5<x<6, các nghiệm nguyên 1,2,3,4,5 nên có đúng 5 nghiệm nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
A trung điểm OB ⟹ A=(b/2; y_B/2). Điều kiện log₃((t−3)/2)=½log₃t với t=5b−3 cho t=9, b=12/5, B=(12/5;2), OB=√(144/25+4)=2√61/5.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,c>0$, $a\ne 1$:
- A đúng: theo tính chất lũy thừa của logarit, ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ (vì $b>0$ nên $b^{\alpha }>0$).
- B đúng: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.
- C sai: logarit không có tính chất ${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Ví dụ với $a=2$, $b=c=1$: ${\log }_{2}2=1$ nhưng ${\log }_{2}1+{\log }_{2}1=0\ne 1$.
- D đúng: vì ${\left(a^{\alpha }\right)}^{1/\alpha }=a$ với $\alpha \ne 0$, nên ${\log }_{a^{\alpha }}a=\frac{1}{\alpha }$.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ với mọi $a,b>0$. Các phương án A, B sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$ và $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b\ne \frac{\ln a}{\ln b}$. Phương án D sai vì $\ln \frac{b}{a}=\ln b-\ln a$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với $a,b>0$ thì $\log (ab)=\log a+\log b$. Các phương án A, B, D đều sai vì logarit của tích/thương không bằng tích/thương của các logarit, và $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$ chứ không phải $\log b-\log a$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(a;b)$, vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $B=(2a;2b)$. Hai điểm cùng thuộc đồ thị $y={\log }_3(5x-3)$: $b={\log }_3(5a-3)$ và $2b={\log }_3(10a-3)$. Suy ra $(5a-3{)}^2=10a-3\iff 25a^2-40a+12=0\iff a=\frac{6}{5}$ hoặc $a=\frac{2}{5}$. Với $a=\frac{2}{5}$ thì $5a-3=-1<0$ (loại). Vậy $a=\frac{6}{5}$, $b={\log }_{3}3=1$: $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, $B=\left(\frac{12}{5};2\right)$.
a) Tung độ $B$ bằng $2$ là số nguyên → Đúng.
b) Trung điểm $OB$ chính là $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, không phải $\left(\frac{12}{5};1\right)$ → Sai.
c) $H=\left(\frac{12}{5};0\right)$, $S_{\Delta OBH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5}\cdot 2=\frac{12}{5}\ne \frac{\sqrt{61}}{25}$ → Sai.
d) $AB=\sqrt{{\left(\frac{6}{5}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+1}=\frac{\sqrt{61}}{5}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tung độ của $B$ là $y_B=2b=2$, là số nguyên.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $OB$ là điểm $A=\left(\frac{6}{5};1\right)$, không phải $\left(\frac{12}{5};1\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$H=\left(\frac{12}{5};0\right)$ nên $S_{\Delta OBH}=\frac{1}{2}\cdot \frac{12}{5}\cdot 2=\frac{12}{5}\ne \frac{\sqrt{61}}{25}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{{\left(\frac{12}{5}-\frac{6}{5}\right)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{\frac{36}{25}+1}=\frac{\sqrt{61}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa và logarit: ${\log }_a{a}^2=2$ (với $a>0$, $a\ne 1$). Do đó $a^{{\log }_a{a}^2}=a^2$. Cách khác: dùng công thức $a^{{\log }_{a}b}=b$ với $b=a^2$, ta được $a^{{\log }_a{a}^2}=a^2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình: hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ (nên loại hai hàm logarit ở A và C vì chúng chỉ xác định khi $x>0$), đi qua điểm $(0;1)$ và nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (đường cong đi xuống từ trái sang phải, tiệm cận ngang là trục hoành). Đó là đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với cơ số $0<a<1$. Trong hai hàm mũ: $y=(\sqrt{2}{)}^x$ có cơ số $\sqrt{2}>1$ nên đồng biến (loại D); $y=(0,8{)}^x$ có cơ số $0<0,8<1$ nên nghịch biến, phù hợp với đồ thị. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $e^x$ và $\ln x$ là hai hàm số ngược nhau nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
b) Sai: $f(x)=\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) Đúng: $f(e^2)=\ln (e^2)=2$ nên đồ thị $y=\ln x$ đi qua điểm $(e^2;2)$.
d) Sai: $e^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị $y=e^x$ không cắt trục hoành (chỉ tiệm cận nó).
Tóm lại: a đúng, b sai, c đúng, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $e^x$ và $\ln x$ là hai hàm số ngược nhau nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(x)=\ln x$ chỉ xác định khi $x>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $f(e^2)=\ln (e^2)=2$ nên đồ thị $y=\ln x$ đi qua điểm $(e^2;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $e^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồ thị $y=e^x$ không cắt trục hoành (chỉ tiệm cận nó).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2(4a^2)={\log }_{2}4+{\log }_2{a}^2=2+2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: với $a=1$, ${\log }_{2}4=2$ và $2+2{\log }_{2}1=2$, khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2|x|$ xác định khi $|x|>0$, tức $x\ne 0$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=2^{-x}={\left(0,5\right)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$, nên đồ thị hai hàm đối xứng qua đường thẳng $y=x$ (không phải $y=-x$) → a) Sai. Tập xác định: $f$ xác định trên $(0;+\infty )$, $g$ xác định trên $\mathbb{R}$, nên không phải cả hai đều có tập xác định $\mathbb{R}$ → b) Sai. Xét $h(x)=f(x)-g(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$ trên $(0;+\infty )$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=0-0,5=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ với mọi $x>0$ (vì $\ln 2\cdot 2^{-x}<\ln 2<\frac{1}{x\ln 2}$ do $x{\ln }^{2}2<1$... kiểm tra trực tiếp: hàm $\frac{1}{x\ln 2}$ giảm chậm hơn $\ln 2\cdot 2^{-x}$ tiến về 0, và tại mọi điểm mẫu $h^{\prime }<0$), nên $h$ nghịch biến và có đúng một nghiệm → hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm → c) Đúng. Cả $f$ (cơ số $0,5<1$) và $g$ (cơ số $0,5<1$) đều nghịch biến trên tập xác định của chúng → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=2^{-x}=(0,5{)}^x$ là hàm ngược của $f(x)={\log }_{0,5}x$ nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y=x$, không phải $y=-x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f$ là $(0;+\infty )$, của $g$ là $\mathbb{R}$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xét $h(x)={\log }_{0,5}x-2^{-x}$: $h(x)\to +\infty$ khi $x\to 0^{+}$, $h(1)=-0,5<0$, và $h^{\prime }(x)=\frac{-1}{x\ln 2}+\ln 2\cdot 2^{-x}<0$ trên $(0;+\infty )$ nên $h$ nghịch biến, có đúng một nghiệm. Hai đồ thị cắt nhau tại đúng một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai hàm đều có cơ số $0,5<1$ nên đều nghịch biến trên tập xác định của chúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với mọi $a,b>0$ ta có $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, nên mệnh đề A đúng.

Xét các phương án còn lại:
- B sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, không phải thương $\frac{\ln a}{\ln b}$.
- C sai vì $\ln (ab)=\ln a+\ln b\ne \ln a\cdot \ln b$.
- D sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ chứ không phải $\ln b-\ln a$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(9a)={\log }_{3}9+{\log }_{3}a=2+{\log }_{3}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$, tương ứng phương án C.