Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lôgarit thập phân là lôgarit với cơ số 10, ký hiệu $\log A$ (tức ${\log }_{10}A$). Với số thực $A$ dương, lôgarit thập phân là $\log A$. Các đáp án khác: $\ln A$ là lôgarit tự nhiên (cơ số $e$), ${\log }_{2}A$ và ${\log }_{3}A$ là lôgarit với cơ số 2 và 3.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_7\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{7}a-{\log }_{7}b$ với $a,b>0$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y=log_5 x có cơ số 5>1 nên đồng biến trên tập xác định D=(0;+∞). a) Sai vì tập xác định là (0;+∞) chứ không phải ℝ. b) Đúng, hàm số đồng biến trên toàn tập xác định, do đó đồng biến trên (1;+∞). c) Sai, vì với 0<x<1 thì log_5 x<0, đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng (0;1). d) Đúng, log_5 x=0 ⟺ x=1, đồ thị cắt trục hoành tại điểm (1;0).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của y=log_5 x là D=(0;+∞), không phải ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số 5>1 nên hàm số đồng biến trên (0;+∞), do đó đồng biến trên (1;+∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với 0<x<1, log_5 x<0 nên đồ thị nằm dưới trục hoành trên khoảng (0;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
log_5 x=0 ⟺ x=1, đồ thị cắt trục hoành tại (1;0).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{5}a$ (với $a>0$, $t$ xác định). Ta có ${\log }_5{a}^4=4{\log }_{5}a=4t$ và ${\log }_{5^2}a={\log }_{25}a=\frac{1}{2}{\log }_{5}a=\frac{t}{2}$. Do đó ${\log }_5{a}^4+{\log }_{5^2}a=4t+\frac{t}{2}=\frac{9t}{2}=x\cdot t$. Vì $a$ dương tùy ý nên $t$ có thể khác 0, suy ra $x=\frac{9}{2}=4,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=a^x$ đi qua $N(2;2)$ nên $a^2=2$, suy ra $a=\sqrt{2}$ (thỏa $a>0$, $a\ne 1$). Đồ thị $y={\log }_{b}x$ đi qua $N(2;2)$ nên ${\log }_{b}2=2$, suy ra $b^2=2$, tức $b=\sqrt{2}$ (thỏa $b>0$, $b\ne 1$). Khi đó $T=a^2+2b^2=2+2\cdot 2=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$ (với $a\ne 1$, $c\ne 1$, $a,c>0$, $b>0$). Suy ra ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}a={\log }_{c}b$, tức khẳng định A đúng. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì thiếu dấu trừ (${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, không phải $-\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$); C sai vì $\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{a}c}=\frac{1/{\log }_{c}b}{1/{\log }_{c}a}=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}={\log }_{b}a\ne {\log }_{a}b$ nói chung; D sai vì ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{c}b={\log }_{c}a$ không phải đẳng thức logarit đúng nói chung (ví dụ $a=2,b=4,c=10$: ${\log }_{2}4\cdot {\log }_{10}4=2\cdot {\log }_{10}4\ne {\log }_{10}2$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình chỉ nằm với $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$, nên đó là đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$. Thật vậy, ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$ (đi qua $(1;0)$) và hàm số nghịch biến vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$. Các phương án khác: $y=x^2$ xác định trên toàn trục thực; $y={\log }_{2}x$ đồng biến; $y=2^x$ không đi qua $(1;0)$ và nhận giá trị dương.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=1$ vào công thức: $P(1)=40\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{1/3}=\frac{40}{2^{1/3}}\approx \frac{40}{1,2599}\approx 31,75$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng phần chục ta được $31,7$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét các phương án: A) $y={\left(\sqrt{2}+1\right)}^x$ có cơ số $a=\sqrt{2}+1>0$ và $a\ne 1$, biến $x$ ở số mũ, đây là hàm số mũ. B) $y=(x+1{)}^2$ là hàm số lũy thừa (biến ở cơ số). C) $y=x^{\sqrt{5}-1}$ cũng là hàm số lũy thừa. D) $y=\log x$ là hàm số lôgarit. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_7{7}^5=5{\log }_{7}7=5\cdot 1=5$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a(a^{2}b)={\log }_a{a}^2+{\log }_{a}b=2+{\log }_{a}b$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các đáp án: $\frac{2024}{2025}<1$ (nghịch biến), $0,5<1$ (nghịch biến), $\sqrt{3}>1$ (đồng biến), $\frac{1}{\pi }<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$ là $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đồ thị hàm số $y=a^x$ đi qua điểm $(1;3)$ và tăng, nên $a=3>1$, hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Đúng.
b) Theo tính chất logarit: với $b,c>0$, $\log (bc)=\log b+\log c$ (đúng với mọi cơ số). Đúng.
c) $\sqrt{3}-1\approx 0,732<1$ nên hàm số $y=(\sqrt{3}-1{)}^x$ nghịch biến; vì $2025>2024$ nên $(\sqrt{3}-1{)}^{2025}<(\sqrt{3}-1{)}^{2024}$. Sai.
d) Hàm số $y={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, tức $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cho thấy $a>1$ (hàm tăng, đi qua $(1;3)$), nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một tích: $\log (bc)=\log b+\log c$ với mọi $b,c>0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$, hàm mũ với cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến, nên $(\sqrt{3}-1{)}^{2025}<(\sqrt{3}-1{)}^{2024}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x^2-2x>0\iff x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$, nên $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ với cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2025}<{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2024}$, mệnh đề sai.
b) Sai: hàm số $y={\log }_2(x^2-2x)$ xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$, mệnh đề sai.
c) Đúng: với $b,c>0$, theo tính chất logarit của một tích, $\log (bc)=\log b+\log c$ (đúng với mọi cơ số), mệnh đề đúng.
d) Đúng: đồ thị $y=a^x$ ở trang 13 đi lên và đi qua điểm $(1;3)$ với $3>1$ nên $a>1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó đồng biến trên khoảng $(0;1)$, mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{3}-1<1$ nên hàm mũ cơ số nhỏ hơn 1 nghịch biến, suy ra ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2025}<{\left(\sqrt{3}-1\right)}^{2024}$, mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, vậy $D=\mathbb{R}\setminus [0;2]$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0;2\}$, mệnh đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $b,c$ dương, tính chất logarit của tích cho $\log (bc)=\log b+\log c$, mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=a^x$ (trang 13) đi lên và đi qua điểm $(1;3)$ với $3>1$ nên $a>1$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, do đó đồng biến trên $(0;1)$, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2030 cách năm 2020 là $t=2030-2020=10$ năm. Thay vào công thức: $P(10)=7,795\cdot (1,0105{)}^{10}$. Tính $(1,0105{)}^{10}\approx 1,11009$, nên $P(10)\approx 7,795\times 1,11009\approx 8,6532$ tỉ người. Làm tròn đến hàng phần trăm: $8,65$ tỉ người.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị ở trang 11 là đường cong tăng liên tục trên ℝ, đi qua điểm $(1;3)$ (đường đứt nét chỉ $x=1$, $y=3$) và có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$. Đó là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Vì $y(1)=a=3$ nên $a=3$, tức $y=3^x$. Loại B, C vì hàm logarit chỉ xác định với $x>0$ và có tiệm cận đứng $x=0$; loại A vì $2^1=2\ne 3$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề sai là C. Logarit không có tính chất ${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$; tính chất đúng là ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Phản ví dụ: với $a=2,b=c=1$ thì ${\log }_{2}2=1$ còn ${\log }_{2}1+{\log }_{2}1=0$. Các mệnh đề A, B, D đều đúng theo tính chất cơ bản của logarit: đổi cơ số ${\log }_{a^{\alpha }}a=\frac{1}{\alpha }$, hiệu của logarit, và lũy thừa ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$, ta có $\log (a^3{b}^2)=\log a^3+\log b^2=3\log a+2\log b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a,b>0$: $\log (a{b}^2)=\log a+\log b^2=\log a+2\log b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ đi qua điểm $(1;3)$ và đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên có dạng $y=a^x$ với $a>1$ và $a^1=3\Rightarrow a=3$. Vậy hàm số là $y=3^x$. Đáp án D.