Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\sqrt{2}-1<1$ nên hàm số $y=(\sqrt{2}-1{)}^x$ là hàm số mũ với cơ số nhỏ hơn 1, do đó nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Từ ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^m<{\left(\sqrt{2}-1\right)}^n$ suy ra $m>n$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số: ${\log }_{a^5}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^5}=\frac{{\log }_{a}b}{5}=\frac{1}{5}{\log }_{a}b$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_3\left(\frac{3}{a}\right)={\log }_{3}3-{\log }_{3}a=1-{\log }_{3}a$ với $a>0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2026}(3-x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong dấu logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;3)$, trùng với phương án C. Kết quả này cũng khớp với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(27a)-{\log }_{3}a={\log }_{3}27+{\log }_{3}a-{\log }_{3}a={\log }_3{3}^3=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C, mã đề 211).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2026}(3-x)$ xác định khi và chỉ khi biểu thức trong logarit dương: $3-x>0\iff x<3$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;3)$, trùng với đáp án A (khớp với đáp án nguồn: câu 4, mã đề 211 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A\left(\frac{1}{2};2\right)$ thuộc đồ thị $y=a^x$ nên $a^{1/2}=2\Rightarrow a=4$. Điểm $A$ cũng thuộc đồ thị $y={\log }_{b}x$ nên ${\log }_b\frac{1}{2}=2\Rightarrow b^2=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (thỏa $b>0,b\ne 1$). Khi đó $T=a^2+2b^2=16+2\cdot \frac{1}{2}=16+1=17$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$, $y(0)=0,05$ ta có $y(x)=0,05e^{-7\cdot 10^{-4}x}$. a) $f^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}=-7\cdot 10^{-4}$: đúng. b) $f(x)=\ln y(x)=\ln 0,05-7\cdot 10^{-4}x$: đúng. c) $y(30)-y(15)=0,05e^{-0,021}-0,05e^{-0,0105}=0,05e^{-0,021}(1-e^{-0,0105})\approx 0,05\cdot 0,97922\cdot 0,010445\approx 5,11\cdot 10^{-4}\ne -6\cdot 10^{-4}$ (và dấu phải dương vì $y$ giảm): sai. d) Nồng độ trung bình $=\frac{1}{15}{\int }_{15}^{30}y(x)dx=\frac{0,05}{15\cdot 7\cdot 10^{-4}}\left(e^{-0,0105}-e^{-0,021}\right)\approx \frac{71,4286\cdot 0,010328}{15}\approx 0,0492\approx 0,05$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{y^{\prime }(x)}{y(x)}=-7\cdot 10^{-4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(x)=0,05e^{-7\cdot 10^{-4}x}$ nên $f(x)=-7\cdot 10^{-4}x+\ln (0,05)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(30)-y(15)\approx 5,11\cdot 10^{-4}>0$, không bằng $-6\cdot 10^{-4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nồng độ trung bình $\approx 0,0492\approx 0,05$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, logarit tự nhiên của số dương $x$ là $\ln x$ (logarit cơ số $e$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y=\log (x-1)$ là $x>1$; tập xác định của $y=\log (-x+1)$ là $x<1$. Hai tập xác định này rời nhau, nên phương trình $\log (x-1)=\log (-x+1)$ vô nghiệm. Vậy hai đồ thị có 0 giao điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\sqrt[4]{a}={\log }_a{a}^{1/4}=\frac{1}{4}=\frac{m}{n}$ với $m=1,n=4$. Vậy $m+n=1+4=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{7}9=m\iff 9=7^m$ (với $7>0$, $7\ne 1$, $9>0$). Do đó đáp án là A. Các phương án B, C, D đều sai vì viết sai cơ số, số mũ hoặc vị trí của $m$ trong biểu thức lũy thừa.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2026^x$ với cơ số $2026>0$, $2026\ne 1$ xác định với mọi số thực $x$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{123}(4x)$ xác định khi $4x>0$, tức $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Xét các đáp án: $2023>1$ (đồng biến), $0<0,3<1$ (nghịch biến), $\sqrt{\pi }>1$ (đồng biến), $2>1$ (đồng biến). Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y=0,3^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định: $x>0$ nên $D=(0;+\infty )\ne \mathbb{R}$ → Sai. b) Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) Thay $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$ → Đúng. d) Cắt $y=1$: ${\log }_{4}x=1\iff x=4\ne 3$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$ nên $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x-1)$ xác định khi $x-1>0$, tức $x>1$. Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$, suy ra $a=1$. Do đó $a^3+2=1^3+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, ta có ${\log }_{a}b=c\iff a^c=b$. Ví dụ kiểm tra: ${\log }_{2}8=3\iff 2^3=8$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b>0$, $a\ne 1$ (và để các logarit có nghĩa cần $b\ne 1$):
- A: ${\log }_a{b}^2=2{\log }_{a}b$ — đúng theo tính chất lũy thừa của logarit.
- B: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, chứ không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ với $a=2,b=4$: ${\log }_{2}4=2$ còn $-{\log }_{4}2=-\frac{1}{2}$, không bằng nhau. Vậy B sai.
- C: ${\log }_{a^3}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^3}=\frac{1}{3}{\log }_{a}b$ — đúng.
- D: ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a={\log }_{a}b\cdot \frac{1}{{\log }_{a}b}=1$ — đúng.
Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến là hàm số có cơ số $a$ thỏa $0<a<1$. Các hàm $y=5^x$, $y=e^x$ là hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến; $y=\log x$ có cơ số $10>1$ nên đồng biến. Riêng $y={\log }_{0,8}x$ có cơ số $0<0,8<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là D.