Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai. Tập xác định của f(x)=log_{√3}(x-2) là (2;+∞), nên không thể nói f đồng biến trên (0;+∞). b) Sai. g(0)=log₃1=0 nên đồ thị đi qua gốc tọa độ, nhưng với -1<x<0 thì g(x)<0 (ví dụ g(-0.5)=log₃0.5<0), nên đồ thị không luôn nằm phía trên trục hoành. c) Sai. f(x)=4 ⇔ log_{√3}(x-2)=4 ⇔ x-2=(√3)^4=9 ⇔ x=11, chỉ có 1 nghiệm. d) Sai. Với x>2: f(x)=2log₃(x-2), bất phương trình trở thành 2log₃(x-2)>log₃(x+1) ⇔ (x-2)²>x+1 ⇔ x²-5x+3>0 ⇔ x<(5-√13)/2 hoặc x>(5+√13)/2. Kết hợp x>2 ta được S=((5+√13)/2;+∞)≈(4.30;+∞), khác (3;+∞). Vậy cả bốn phát biểu đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(x)=log_{√3}(x-2) có tập xác định (2;+∞), do đó không đồng biến trên (0;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
g(0)=0 nên đi qua gốc tọa độ, nhưng với -1<x<0 thì g(x)<0, đồ thị không luôn nằm trên trục hoành.
c) (AI giải đề cho tôi)
log_{√3}(x-2)=4 ⇔ x-2=9 ⇔ x=11: chỉ có 1 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
(x-2)²>x+1 với x>2 cho S=((5+√13)/2;+∞), không phải (3;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, $f(x)=C{e}^{kx}$. Lúc đầu ($x=0$) có 45 vi khuẩn nên $f(0)=C=45$. Sau 1 giờ: $f(1)=45e^k=270\Rightarrow e^k=6$. Vậy $f(x)=45\cdot 6^x$. Sau 5 giờ: $f(5)=45\cdot 6^5=45\cdot 7776=349920$ (con vi khuẩn).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b.c>0$ nên $b,c$ cùng dấu, nhưng $b$ hoặc $c$ có thể âm, do đó các công thức ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$ (B) và ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (C) chỉ đúng khi $b>0,c>0$, không đảm bảo với dữ kiện. Xét A và D: với $0<a\ne 1$ thì $a^2>0$ và $a^2\ne 1$, và $b^2>0$ nên ${\log }_{a^2}{b}^2$ xác định. Ta có ${\log }_{a^2}{b}^2=\frac{\ln b^2}{\ln a^2}=\frac{2\ln |b|}{2\ln a}={\log }_a|b|$. Vậy khẳng định D đúng, còn A sai (A chỉ đúng khi $b>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A. $y=3^{-x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$ nhưng số mũ $-x$ có hệ số âm. B. $y={\log }_{3}x$ đồng biến nhưng chỉ trên $(0;+\infty )$, không phải trên $\mathbb{R}$. C. $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}=3^x$, hàm số mũ với cơ số $3>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=g(x)$ xác định với mọi $x$, tăng nhanh, đi qua điểm có tung độ dương khi $x=0$ (đi qua gần $(0;1)$) nên $g(x)$ là hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Còn $y=f(x)$ chỉ xác định khi $x>0$, có tiệm cận đứng $x=0$, đồng biến nên $f(x)$ là hàm lôgarit $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Vì hai đồ thị đối xứng qua $y=x$ nên chúng là hai hàm ngược nhau, do đó cùng cơ số $a>1$. Vậy: (1) sai vì $g$ là hàm mũ chứ không phải lôgarit; (2) sai vì $f$ là hàm lôgarit chứ không phải hàm mũ; (3) đúng vì hai hàm ngược nhau cùng cơ số. Có đúng 1 khẳng định đúng, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(0)={\log }_{3}9=2$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, tổng bằng $3$ → đúng. b) Điều kiện $9-2x>0\Rightarrow x<\frac{9}{2}$, nên $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)\ne \mathbb{R}$ → sai. c) $f(x)={\log }_3(9-2x)$ nghịch biến trên tập xác định vì hệ số của $x$ âm → sai. d) Xét $g(x)={\log }_3(9-2x)-{\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$ trên $(-1;\frac{9}{2})$: ${\log }_3(9-2x)$ nghịch biến, ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$ đồng biến nên $g$ nghịch biến, phương trình có nhiều nhất một nghiệm. Mặt khác $g(0)=2>0$ và khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì ${\log }_{\sqrt{5}}(x+1)\to -\infty$ nên $g\to +\infty$... thực tế tại $x$ gần $-1$, $g>0$; tại $x=4$: ${\log }_{3}1=0<{\log }_{\sqrt{5}}5=2$ nên $g(4)<0$. Vậy $g$ đổi dấu, phương trình có nghiệm duy nhất → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)={\log }_{3}9=2$, $f(3)={\log }_{3}3=1$, nên $f(0)+f(3)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần $9-2x>0\Rightarrow x<\frac{9}{2}$, tập xác định $D=\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên tập xác định $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$ vì $9-2x$ nghịch biến và ${\log }_{3}t$ đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;\frac{9}{2})$, vế trái nghịch biến, vế phải đồng biến nên có nhiều nhất một nghiệm; lại có $g(0)=2>0$, $g(4)=0-2=-2<0$ nên tồn tại nghiệm, vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{2}a=3$ và ${\log }_{2}b=-4$. Áp dụng tính chất lũy thừa của logarit: ${\log }_2\left(a^{-2}{b}^3\right)=-2{\log }_{2}a+3{\log }_{2}b=-2\cdot 3+3\cdot (-4)=-6-12=-18$. Vậy giá trị của biểu thức là $-18$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_8(a^6)=\frac{{\log }_2(a^6)}{{\log }_{2}8}=\frac{6{\log }_{2}a}{3}=2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, nên mệnh đề A viết ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ là sai (thương bị đảo ngược). Các mệnh đề B, C, D đều là các tính chất đúng của lôgarit: hiệu, lũy thừa, tổng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên toàn tập $\mathbb{R}$ phải là hàm số mũ với cơ số $0<a<1$. Các đáp án A, D là hàm logarit (tập xác định $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$). C: $y=e^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. B: $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ có cơ số $\frac{4}{5}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{6-x}$ xác định khi $\frac{1}{6-x}>0$, tức $6-x>0\iff x<6$. Vậy tập xác định là $D=(-\infty ;6)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi cơ số $a>1$. Xét các phương án: A có $\frac{1}{\pi }<1$ (nghịch biến); B có $\frac{2}{3}<1$ (nghịch biến); C có $\sqrt{3}>1$ (đồng biến); D có $0,5<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\ln x$, thay $x=1$ ta được $y=\ln 1=0$, nên đồ thị đi qua điểm $(1;0)$. Các điểm khác: $\ln 2\ne e^2$, $\ln (2e)=1+\ln 2\ne 2$, và $x=0$ không thuộc tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số logarit: ${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$ với $a>0$, $b>0$, $b\ne 1$. Các phương án A, B, C sai vì $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, không phải $\ln (a+b)$; $\ln a\cdot \ln b$ không bằng $\ln (a+b)$; và $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$, không phải $\ln (a-b)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) So sánh số mũ: √5/3 ≈ 0,745 > √2/2 ≈ 0,707. Nếu a^0,745 > a^0,707 thì hàm số mũ đồng biến, tức a > 1. Khẳng định 0 < a < 1 là SAI.
b) Cơ số a−1 > 0. Vì −3/4 > −4/5, bất đẳng thức (a−1)^(−3/4) > (a−1)^(−4/5) đúng khi cơ số > 1, tức a−1 > 1 ⇒ a > 2. ĐÚNG.
c) Vì 3/4 < 4/5 và log_b(3/4) < log_b(4/5) nên hàm log đồng biến ⇒ b > 1. ĐÚNG.
d) Vì 5 < 6 mà log_a 5 > log_a 6 nên hàm log nghịch biến ⇒ 0 < a < 1, không phải a > 1. SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
√5/3 ≈ 0,745 > √2/2 ≈ 0,707; a^(√5/3) > a^(√2/2) ⇒ a > 1, không phải 0 < a < 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
−3/4 > −4/5; với cơ số dương, bất đẳng thức đúng khi a−1 > 1 ⇒ a > 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
3/4 < 4/5 và log_b(3/4) < log_b(4/5) ⇒ hàm đồng biến ⇒ b > 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
5 < 6 nhưng log_a 5 > log_a 6 ⇒ hàm nghịch biến ⇒ 0 < a < 1.

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện x/(x-1)>0 ⟺ x<0 hoặc x>1, nên D=(-∞;0)∪(1;+∞): đúng. b) Điều kiện ln|x-1|≠0 ⟺ |x-1|≠1 và x≠1, tức x≠0, x≠2, x≠1, nên D=ℝ\{0;1;2}: đúng. c) Điều kiện 2x-1>0 ⟺ x>1/2, nên D=(1/2;+∞): đúng. d) Điều kiện 4x-x²>0 ⟺ x²-4x<0 ⟺ 0<x<4, nên D=(0;4), không phải (-∞;0)∪(4;+∞): sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
x/(x-1)>0 ⟺ x<0 hoặc x>1 nên D=(-∞;0)∪(1;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần |x-1|≠1 và x≠1, tức x≠0;1;2, nên D=ℝ\{0;1;2}.
c) (AI giải đề cho tôi)
2x-1>0 ⟺ x>1/2 nên D=(1/2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
4x-x²>0 ⟺ 0<x<4, nên D=(0;4) chứ không phải (-∞;0)∪(4;+∞).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$. Ta có ${\log }_a(ab)=1+{\log }_{a}b=1+x$ và $\frac{\ln b}{\ln a}={\log }_{a}b=x$. Do đó biểu thức trong căn: $(1+x{)}^2-2x-1=x^2+2x+1-2x-1=x^2$. Suy ra $Q=\sqrt{x^2}=|x|=1\cdot |{\log }_a{b}^1|$, vậy $m=1$, $n=1$ và $S=m+2n=1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A=(x_0,{\log }_3(5x_0-3))$ với $x_0>3/5$. Vì $A$ là trung điểm của $OB$ nên $B=(2x_0,2{\log }_3(5x_0-3))$. Điểm $B$ thuộc đồ thị nên $2{\log }_3(5x_0-3)={\log }_3(10x_0-3)$, suy ra $(5x_0-3{)}^2=10x_0-3$, tức $25x_0^2-40x_0+12=0$. Nghiệm $x_0=\frac{2}{5}$ (loại vì $5x_0-3<0$) và $x_0=\frac{6}{5}$. Khi đó $A=(6/5,1)$, $B=(12/5,2)$, nên $AB=\sqrt{(6/5{)}^2+1^2}=\sqrt{61}/5$. Vậy $a=61$, $b=5$, $a-b^2=61-25=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Vẽ đồ thị hai hàm số mũ và logarit.

a) $y=2^{x+1}$.
Đây là hàm số mũ $y=2^x$ được dịch trái theo phương ngang 1 đơn vị (vì $x+1=0\iff x=-1$).
- Tập xác định: $\mathbb{R}$; tiệm cận ngang: $y=0$ (trục hoành).
- Đồ thị luôn đi qua điểm có hoành độ $x=-1$: $y=2^0=1$, tức đi qua $(-1;1)$; cắt trục tung tại $x=0$: $y=2$, tức $(0;2)$.
- Bảng giá trị tham khảo:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>y</td><td>\frac{1}{4}</td><td>\frac{1}{2}</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td></tr></tbody></table>$$
Cách vẽ: lấy đồ thị $y=2^x$ (đi qua $(0;1)$, $(1;2)$, $(-1;\frac{1}{2})$) và dịch chuyển toàn bộ đồ thị sang trái 1 đơn vị. Đồ thị đi lên từ trái sang phải, nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tiến gần trục hoành khi $x\to -\infty$ và tăng nhanh khi $x\to +\infty$.

b) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$.
- Tập xác định: $(0;+\infty )$.
- Đồ thị đi qua điểm $(1;0)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$; cắt điểm $(\frac{1}{2};1)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$; điểm $(2;-1)$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$; điểm $(4;-2)$.
- Tiệm cận đứng: trục $Oy$ (khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$); khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$.
- Hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì cơ số $\frac{1}{2}<1$.
- Bảng giá trị tham khảo:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>\frac{1}{4}</td><td>\frac{1}{2}</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td></tr><tr><td>y</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>-1</td><td>-2</td></tr></tbody></table>$$
Cách vẽ: vẽ đường cong đi qua các điểm $(\frac{1}{4};2)$, $(\frac{1}{2};1)$, $(1;0)$, $(2;-1)$, $(4;-2)$, nằm bên phải trục $Oy$, tiến gần trục $Oy$ khi $x\to 0^{+}$ và đi xuống vô hạn khi $x$ tăng. Lưu ý đồ thị $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ đối xứng với đồ thị $y=2^x$ qua đường thẳng $y=x$.

(Mô tả hình vẽ: a) đường cong hàm mũ đi qua $(-1;1)$, $(0;2)$, $(1;4)$, tiệm cận ngang $y=0$; b) đường cong logarit đi qua $(1;0)$, $(2;-1)$, $(\frac{1}{2};1)$, tiệm cận đứng $x=0$.)