Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_6(6a)={\log }_{6}6+{\log }_{6}a=1+{\log }_{6}a$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 0$: ${\log }_{16}{x}^4=\frac{{\log }_2{x}^4}{{\log }_{2}16}=\frac{4{\log }_2|x|}{4}={\log }_2|x|$ và ${\log }_2{x}^2=2{\log }_2|x|$. Suy ra $Q=2^{{\log }_2|x|+2{\log }_2|x|}=2^{3{\log }_2|x|}=|x{|}^3$. a) $Q=|x{|}^3>0$ với mọi $x\ne 0$: đúng. b) $x=2\Rightarrow Q=2^3=8$: đúng. c) $x=-2\Rightarrow Q=|-2{|}^3=8\ne -8$ (và $Q=2^t$ luôn dương): sai. d) $x=3\Rightarrow Q=3^3=27\ne 9$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$Q=2^{{\log }_{16}{x}^4+{\log }_2{x}^2}=2^{{\log }_2|x|+2{\log }_2|x|}=2^{3{\log }_2|x|}=|x{|}^3>0$ với mọi $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=2\Rightarrow Q=|2{|}^3=8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=-2\Rightarrow Q=|-2{|}^3=8\ne -8$; hơn nữa $Q=2^t$ luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=3\Rightarrow Q=|3{|}^3=27\ne 9$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) $y=2^x$ là hàm số mũ, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng. b) $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x+2e^x$ là tổng các hàm số mũ, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng. c) $y={\log }_2(x-3x^2)$ cần $x-3x^2>0\iff x(1-3x)>0\iff 0<x<\frac{1}{3}$, nên $D=\left(0;\frac{1}{3}\right)$, đúng. d) $y=\ln x^2+3\log (x+2)$: điều kiện $x^2>0\iff x\ne 0$ và $x+2>0\iff x>-2$, nên $D=(-2;0)\cup (0;+\infty )\ne (-2;+\infty )$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=2^x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ và $e^x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x-3x^2>0\iff x(1-3x)>0\iff 0<x<\frac{1}{3}$, nên $D=\left(0;\frac{1}{3}\right)$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2>0\iff x\ne 0$ và $x+2>0\iff x>-2$. Vậy $D=(-2;0)\cup (0;+\infty )$, khác $(-2;+\infty )$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên ý a) sai. Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, ý b) đúng. Tại $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$, ý c) đúng. Cắt đường thẳng $y=1$: ${\log }_{4}x=1\iff x=4\ne 3$, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $4>1$ nên hàm số $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{1}{4}\right)={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$. a) Sai: tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. b) Đúng: vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$. c) Đúng: $y=0\iff {\log }_{0,5}x=0\iff x=1$, nên đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$. d) Đúng: với $x=\frac{1}{2}$, $y={\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$, nên đồ thị đi qua điểm $N\left(\frac{1}{2};1\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $0,5\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}x=0\iff x=1$, đồ thị cắt trục hoành tại $A(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ nên đồ thị đi qua $N\left(\frac{1}{2};1\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x={\log }_{a}b$ thì ${\log }_{b}a=\frac{1}{x}$ và ${\log }_{ab}b=\frac{\ln b}{\ln a+\ln b}=\frac{x}{x+1}$ (do $ab\ne 1$ nên $x\ne -1$).

Ta có:
$${\log }_{a}b+{\log }_{b}a+2=x+\frac{1}{x}+2=\frac{(x+1{)}^2}{x},$$
$${\log }_{a}b-{\log }_{ab}b=x-\frac{x}{x+1}=\frac{x^2}{x+1}.$$

Do đó:
$$P=\frac{(x+1{)}^2}{x}\cdot \frac{x^2}{x+1}\cdot \frac{1}{x}-1=(x+1)-1=x={\log }_{a}b.$$

Vậy $P=1\cdot {\log }_a{b}^1$, tức $(2m-1){\log }_a{b}^n$ với $2m-1=1\Rightarrow m=1$ và $n=1$. Suy ra $S=m-n=1-1=0$.

Chọn B

Ta có $P={\log }_2\frac{40}{3}={\log }_{2}40-{\log }_{2}3={\log }_{2}8+{\log }_{2}5-\frac{1}{2}{\log }_{2}9=3+a-\frac{1}{2}b$.

(Lưu ý: trang đề in các phương án A, C, D khác với trang lời giải: đề ghi A. $P=4-2a+5b$; C. $P=4-2a+b$; D. $P=3-2a+\frac{1}{2}b$; trang lời giải ghi A. $P=3+a-2b$; C. $P=\frac{3a}{2b}$; D. $P=3+a-\sqrt{b}$; đáp án B nhất quán ở cả hai trang.)

a) ĐKXD: $4-x^2>0\iff -2<x<2$. Vậy TXĐ: $D=(-2;2)$ chứa 3 giá trị nguyên. Chọn ĐÚNG.

b) Ta có $y^{\prime }=\frac{-2x}{\left(4-x^2\right)\ln 2025}$. Chọn SAI.

c) ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)=0\iff 4-x^2=1\iff x=\pm \sqrt{3}$. Giả sử $A\left(-\sqrt{3};0\right),B\left(\sqrt{3};0\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$; $d(C,Ox)=3$. Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot d(C,Ox)=3\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.

d) Phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)={\log }_{2025}\left(2x+m-1\right)\iff \{\begin{array}{l}-2<x<2\\ x^2+2x=5-m\end{array}$. Xét $g(x)=x^2+2x$ trên $(-2;2)$, hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $\iff -1<5-m<0\iff 5<m<6$ hay $a=5,b=6\Rightarrow a+b=11$. Chọn ĐÚNG.
a) a) ĐKXD: $4-x^2>0\iff -2<x<2$. Vậy TXĐ: $D=(-2;2)$ chứa 3 giá trị nguyên. Chọn ĐÚNG.
b) b) Ta có $y^{\prime }=\frac{-2x}{\left(4-x^2\right)\ln 2025}$. Chọn SAI.
c) c) Xét phương trình ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)=0\iff 4-x^2=1\iff x=\pm \sqrt{3}$. Giả sử $A\left(-\sqrt{3};0\right),B\left(\sqrt{3};0\right)\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$; $d(C,Ox)=3$. Vậy $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot d(C,Ox)=3\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.
d) d) Phương trình hoành độ giao điểm: ${\log }_{2025}\left(4-x^2\right)={\log }_{2025}\left(2x+m-1\right)$ (1) $$\iff \{\begin{array}{l}4-x^2>0\\ 4-x^2=2x+m-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2<x<2\\ x^2+2x=5-m\end{array}(\ast ).$$ Xét $g(x)=x^2+2x$ trên $(-2;2)$ ta có bảng biến thiên



Để hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt hay hệ (*) có hai nghiệm phân biệt $\iff -1<5-m<0\iff 5<m<6$ hay $a=5,b=6\Rightarrow a+b=11$. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ xác định khi $x\ge 0$ và $\sqrt{x}-2\ne 0$, tức $x\ne 4$. Vậy $D=[0;+\infty )\setminus \{4\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định của nó:
- $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ vì cơ số $\frac{1}{2}<1$.
- $y={\left(\frac{\pi }{4}\right)}^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $0<\frac{\pi }{4}<1$.
- $y={\log }_{2026}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nhưng không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (tập xác định không phải $\mathbb{R}$).
- $y={\left(\frac{e}{2}\right)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì $\frac{e}{2}>1$ và tập xác định là $\mathbb{R}$.
Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án (mã đề 0101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$, đồ thị $y=a^{-x}$ là ảnh của $y=a^x$ qua phép đối xứng trục tung (điểm $(x;a^x)$ đối xứng với $(-x;a^x)$). Vậy A đúng. B sai vì $y=a^x$ với $a>1$ đồng biến; C sai vì với $0<a<1$ hàm nghịch biến; D sai vì đồ thị $y=a^x$ đi qua $(0;1)$, không phải $(a;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ giảm, đi qua điểm $(0;1)$ và qua điểm $(-1;2)$. Vì hàm giảm nên cơ số $0<a<1$, loại A, B, C. Kiểm tra $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$: tại $x=0$, $y=1$; tại $x=-1$, $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$ khớp với đồ thị. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2035 cách năm 2020 là $t=15$ năm. Thay vào công thức: $A=18\cdot 2^{\frac{15}{30}}=18\cdot 2^{0.5}=18\sqrt{2}\approx 18\cdot 1,4142\approx 25,46$ triệu người. Làm tròn đến chữ số hàng triệu (hàng đơn vị triệu) ta được $25$ triệu người. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$. Xét từng đáp án: A có $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}>1$ nên đồng biến; B có $\frac{2022}{2023}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$; C có $1,25>1$ nên đồng biến; D có $e>1$ nên đồng biến. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3^x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (B đúng), tập giá trị $(0;+\infty )$ (C đúng), đồng biến trên $\mathbb{R}$ vì cơ số $3>1$ (D đúng). Đồ thị hàm số luôn nằm phía trên trục $Ox$ và không cắt trục $Ox$ (vì $3^x>0$ với mọi $x$), nên mệnh đề A là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a>1,b>1$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Với $x>1$, đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm trên $y={\log }_{b}x$ tức ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$, suy ra $a<b$ (vì với cơ số lớn hơn thì logarit nhỏ hơn tại $x>1$). Vậy $0<c<1<a<b$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\sqrt{a}=a^{1/2}$ nên ${\log }_{\sqrt{a}}a={\log }_{a^{1/2}}a=\frac{1}{1/2}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ đi qua điểm $(2;1)$ vì tại $x=2$ ta có $y=1$, tức ${\log }_{a}2=1\Rightarrow a=2$. Đồng thời đồ thị tăng trên $(0;+\infty )$ nên cơ số $a>1$, phù hợp với $a=2$. Vậy hàm số là $y={\log }_{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét cơ số: $0<2-\sqrt{3}<1$ nên hàm mũ $a^x$ nghịch biến, do đó ${\left(2-\sqrt{3}\right)}^{-5}<{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{-6}$, A sai. Với $1+\sqrt{3}>1$ hàm mũ đồng biến nên ${\left(1+\sqrt{3}\right)}^{-3}>{\left(1+\sqrt{3}\right)}^{-4}$, B sai. Với $0<\sqrt{2}-1<1$ hàm mũ nghịch biến nên ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^6<{\left(\sqrt{2}-1\right)}^5$, C đúng. Với $\sqrt{2}+2>1$ ta có ${\left(\sqrt{2}+2\right)}^3<{\left(\sqrt{2}+2\right)}^4$, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì khi $0<a<1$, cả $y=a^x$ (trên $\mathbb{R}$) và $y={\log }_{a}x$ (trên $(0;+\infty )$) đều nghịch biến. B đúng vì hàm logarit $y={\log }_{a}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$. C đúng vì $a^x>0$ với mọi $x$, nên đồ thị $y=a^x$ nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$. D sai vì ${\log }_{a}x$ nhận cả giá trị âm (khi $0<x<1$ với $a>1$, hoặc $x>1$ với $0<a<1$), nên đồ thị $y={\log }_{a}x$ nằm hai phía của trục $Ox$, không nằm hoàn toàn phía trên. Vậy mệnh đề sai là D.