Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

a) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$. b) Đúng: $S=[-2;-1)\cup (6;7]$ nên $a+b+c+d=-2-1+6+7=10$. c) Đúng: $D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)$ nên $6a+b=6(-1)+6=0$. d) Sai: phương trình $f(2^x)=m$ luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$; với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $m\in [-5;5]$ có 5 giá trị $m\in \{1;2;3;4;5\}$.
a) Chọn Sai. Trên $(-\infty ;-1)\cup (6;+\infty )$, ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$.
b) Chọn Đúng. Điều kiện: $x^2-5x-6>0\iff \{\begin{array}{l}x<-1\\ x>6\end{array}$. Xét $f(x)\le 3\iff x^2-5x-6\le 8\iff x^2-5x-14\le 0\iff -2\le x\le 7$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)\le 3$ là $S=[-2;-1)\cup (6;7]$. $\Rightarrow a=-2;b=-1;c=6;d=7\Rightarrow a+b+c+d=10$.
c) Chọn Đúng. Ta có: $y=f(\ln (x))={\log }_2\left({\ln }^{2}x-5\ln x-6\right)$. Xét $\{\begin{array}{l}x>0\\ {\ln }^{2}x-5\ln x-6>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}\ln x<-1\\ \ln x>6\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}x<e^{-1}\\ x>e^6\end{array}\end{array}$. $\Rightarrow D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)\Rightarrow a=-1,b=6\Rightarrow 6a+b=0$.
d) Chọn Sai. Ta có: $y=f\left(2^x\right)={\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)$. Điều kiện: $2^{2x}-5.2^x-6>0\iff \{\begin{array}{l}{2}^x<-1\\ 2^x>6\end{array}\iff x>{\log }_{2}6$. Có $f\left(2^x\right)=m\iff {\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)=m\iff 2^{2x}-5.2^x-6=2^m$. Xét hàm số $g(x)=2^{2x}-5.2^x-6$; $g^{\prime }(x)=2.2^{2x}\ln 2-5.2^x\ln 2$. $g^{\prime }(x)=0\iff x={\log }_2\frac{5}{2}<{\log }_{2}6$. Bảng xét dấu [Hình cần kiểm tra lại: p22_f1]: dựa vào bảng xét dấu và vì $2^m>0,\forall m\in \mathbb{R}$ nên phương trình $f\left(2^x\right)=m$ luôn có nghiệm với $\forall m\in \mathbb{R}$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $m\in [-5;5]$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (5 giá trị).

Chọn C
Giả sử $B=(m;2{\log }_{a}m)$ thì $A=(m^2;2{\log }_{a}m)$, $C=(m;3{\log }_{a}m)$, $m>0$.
Ta có $AB=\left|m^2-m\right|$, $BC=\left|{\log }_{a}m\right|$.
Vì $AB=BC$, $S_{\Delta ABC}=18$ nên $\frac{1}{2}AB.BC=18\Rightarrow AB=BC=6$.
$\left|m^2-m\right|=6\iff \left[\begin{array}{c}{m}^2-m-6=0\\ m^2-m+6=0(VN)\end{array}\right];m>0\Rightarrow m=3$.
$\left|{\log }_{a}m\right|=6\iff \left|{\log }_{a}3\right|=6\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{a}3=6\\ {\log }_{a}3=-6<0\end{array}\right],a>1\Rightarrow a^6=3\iff a=\sqrt[6]{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<a\ne 1$: A đúng vì ${\log }_{a}a=1$; B đúng vì ${\log }_{a}1=0$; D đúng theo định nghĩa logarit: $5^{{\log }_{5}a}=a$. C sai vì $a^{{\log }_{5}a}=a$ chỉ đúng khi $a=5$, nói chung $a^{{\log }_{5}a}\ne a$ (đúng phải là $5^{{\log }_{5}a}=a$ hoặc $a^{{\log }_{a}5}=5$). Vậy mệnh đề sai là C, khớp đáp án nguồn (MD 1112, câu 1: C).

Đáp số: 3
Ta có: $1=\log 10=\log 2+\log 5$ nên $\log 5=1-\log 2=1-a$.
Khi đó:
$${\log }_{20}50=\frac{\log 50}{\log 20}=\frac{1+\log 5}{1+\log 2}=\frac{2-a}{a+1}\Rightarrow m+n+p+q=3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<a\ne 1$: ${\log }_{a}1=0$ (đúng vì $a^0=1$); ${\log }_{a}a=1$ (đúng vì $a^1=a$); $5^{{\log }_{5}a}=a$ (đúng theo định nghĩa logarit). Còn $a^{{\log }_{5}a}=a$ chỉ đúng khi ${\log }_{5}a=1$, tức $a=5$, không đúng với mọi $0<a\ne 1$, nên mệnh đề này sai. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (MD 1111, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $OA=a$, $OB=b$ với $O$ nằm giữa $A$ và $B$. Theo công thức $L=\log \frac{k}{R^2}$: $\log \frac{k}{a^2}=5\Rightarrow \frac{k}{a^2}=10^5$; $\log \frac{k}{b^2}=7\Rightarrow \frac{k}{b^2}=10^7$. Suy ra $\frac{a^2}{b^2}=10^{-2}\Rightarrow a=\frac{b}{10}$. Trung điểm $I$ của $AB$ cách $O$ một khoảng $OI=\frac{a+b}{2}-a=\frac{b-a}{2}=\frac{9b}{20}$. Khi đó $L_I=\log \frac{k}{O{I}^2}=\log \left(\frac{k}{b^2}\cdot \frac{400}{81}\right)=7+\log \frac{400}{81}=7+\log 400-\log 81\approx 7+2,6021-1,9085=7,6936$? Kiểm tra lại: thực tế $L_I=\log \left(\frac{k}{b^2}\cdot \frac{400}{81}\right)$ với $\frac{k}{b^2}=10^7$ cho $7,69$, không khớp đáp án 5,69; do đó phải dùng $\frac{k}{a^2}=10^5$ với $OI=\frac{9a}{20}$ (tức $a$ là khoảng cách xa hơn, tương ứng $L_A=5$ tại điểm gần... xét lại: $L_A=5$ nhỏ hơn nên $A$ xa nguồn hơn, $a>b$, và $\frac{k}{a^2}=10^5$, $\frac{k}{b^2}=10^7$ suy ra $\frac{b^2}{a^2}=10^{-2}$, $b=\frac{a}{10}$, đúng như trên). Trung điểm $I$: $OI=\frac{a-b}{2}=\frac{9a}{20}$. Vậy $L_I=\log \left(\frac{k}{a^2}\cdot \frac{400}{81}\right)=5+\log \frac{400}{81}\approx 5+0,6936=5,6936\approx 5,69$ (Ben), khớp đáp án nguồn 5,69 (mã đề 202, Câu 21).

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=(2;+\infty )$.

a) Sai. Với $x\in D$: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=\frac{{\log }_2(2x-4)}{{\log }_2\sqrt{2}}=2{\log }_2(2x-4)={\log }_2(2x-4{)}^2$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$. Hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$: vế trái $=2$, vế phải $=1/2$).

b) Sai. Xét ${\log }_2(2x-4)>x-6$ với $x\in \mathbb{Z},x\ge 3$. Kiểm tra: $x=3,4,5,6,7,8,9$ đều thỏa (ví dụ $x=9$: ${\log }_{2}14\approx 3,807>3$); $x=10$: ${\log }_{2}16=4$ không lớn hơn $4$; với $x\ge 10$ bất đẳng thức không thỏa vì ${\log }_2(2x-4)$ tăng chậm hơn $x-6$. Vậy có đúng 7 số nguyên $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$, không phải 5.

c) Đúng. Phương trình ${\log }_2(2x-4)=2{\log }_{2}x-2$, điều kiện $x>2$. Xét $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$; $g^{\prime }(x)=\frac{2}{\ln 2}\left(\frac{1}{2x-4}-\frac{1}{x}\right)=\frac{2(4-x)}{\ln 2\cdot x(2x-4)}$. Vậy $g$ tăng trên $(2;4)$ và giảm trên $(4;+\infty )$, đạt max $g(4)={\log }_{2}4-2{\log }_{2}4+2=0$. Suy ra $g(x)\le 0$ với dấu bằng duy nhất tại $x=4$, tức tập nghiệm là $\{4\}$.

d) Đúng. $f(3)={\log }_2(2\cdot 3-4)={\log }_{2}2=1$, nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(2x-4)=2{\log }_2(2x-4)$, còn ${\log }_2\sqrt{2x-4}=\frac{1}{2}{\log }_2(2x-4)$; hai vế không bằng nhau (ví dụ $x=3$).
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{3,4,5,6,7,8,9\}$: đúng 7 số, không phải 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $g(x)={\log }_2(2x-4)-2{\log }_{2}x+2$ tăng trên $(2;4)$, giảm trên $(4;+\infty )$, $g(4)=0$ là giá trị lớn nhất nên nghiệm duy nhất $x=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)={\log }_{2}2=1$ nên đồ thị đi qua $M(3;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và $x,y>0$ thì ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó mệnh đề đúng là A. Phương án B sai vì $x-y$ có thể âm và log của thương không bằng log của hiệu; C là công thức của tích; D không phải là tính chất logarit.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,x,y>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\frac{1}{x}={\log }_a{x}^{-1}=-{\log }_{a}x$, trong khi $\frac{1}{{\log }_{a}x}$ là giá trị khác. Ví dụ $x=a$ thì vế trái $=-1$, vế phải $=1$. Vậy A sai.
- B: ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của tích.
- C: ${\log }_{b}a\cdot {\log }_{a}x=\frac{\ln a}{\ln b}\cdot \frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\ln x}{\ln b}={\log }_{b}x$ đúng.
- D: ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ đúng theo tính chất logarit của thương.
Mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ đúng với mọi $a,b>0$, $a\ne 1$ và mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ (tính chất lũy thừa của logarit) — đúng. B) ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$ chỉ đúng khi $b\ne 1$ (vì ${\log }_{b}a$ phải xác định), mệnh đề chỉ yêu cầu $a\ne 1$ nên sai. C) ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_{a}bc$ cần $c>0$, đề chỉ nói $a,b$ dương nên thiếu điều kiện, sai. D) Đúng phải là ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, mệnh đề đảo ngược tử mẫu nên sai. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với mọi $a,b>0$ ta có $\log (ab)=\log a+\log b$. Các phương án A, B sai vì logarit của tích (thương) không bằng tích (thương) các logarit. Phương án D sai vì đúng phải là $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của thương, với $a,b>0$ ta có $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$. Các mệnh đề còn lại sai vì $\log (ab)=\log a+\log b$ (không phải tích hay hiệu của hai logarit) và $\log \frac{a}{b}\ne \frac{\log a}{\log b}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số, với $a>0$, $b>0$, $b\ne 1$ ta có ${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$. Các phương án A, B, C sai vì $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, không phải $\ln (a+b)$; $\ln (a+b)\ne \ln a\cdot \ln b$; và $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$ (còn $a-b$ có thể âm). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, ${\log }_{a}a=1$ (vì $a^1=a$), nên mệnh đề ${\log }_{a}a=2a$ ở phương án A là SAI. Các phương án còn lại đều đúng: ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$ (tính chất lũy thừa của logarit), ${\log }_{a}1=0$ (vì $a^0=1$), và $a^{{\log }_{a}b}=b$ (tính chất cơ bản của logarit với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit tự nhiên: với mọi $a,b>0$ ta có $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, nên A đúng. B sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, không phải thương $\frac{\ln a}{\ln b}$. C sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. D sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ (đề viết ngược thứ tự).

(AI giải đề cho tôi)
A, B, C đều là các tính chất đúng của lôgarit: ${\log }_a{a}^c=c$, ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ (với $b>0$). Mệnh đề D sai vì không có tính chất ${\log }_a|b-c|={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$; nói chung ${\log }_a|b-c|\ne {\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (ví dụ $b=1,c=2$: vế trái $={\log }_{a}1=0$, vế phải $={\log }_{a}1-{\log }_{a}2=-{\log }_{a}2\ne 0$). Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $a,b,c>0$, $a,b\ne 1$:
- A: ${\log }_a\left(\frac{b}{a^3}\right)={\log }_{a}b-3{\log }_{a}a={\log }_{a}b-3\ne \frac{1}{3}{\log }_{a}b$ → sai.
- B: $a^{{\log }_{b}a}=a^{\frac{\ln a}{\ln b}}$, nói chung không bằng $b$ (ví dụ $a=4,b=2$: $4^{{\log }_{2}4}=4^2=16\ne 2$) → sai.
- C: ${\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{{\log }_{a}b}{{\log }_a{a}^{\alpha }}=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b\ne \alpha {\log }_{a}b$ → sai.
- D: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{b}c\cdot {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{a}c}{{\log }_{a}b}\cdot {\log }_{a}b={\log }_{a}c$ → đúng.
Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 22 (trang 9–10): Với $a>0$, ta có ${\log }_3(3a)={\log }_{3}3+{\log }_{3}a=1+{\log }_{3}a$ vì ${\log }_{3}3=1$. Vậy đáp án đúng là C. (Lưu ý: các lỗi trước đó nhầm với câu 23 dùng ${\log }_5$; câu 22 thực tế là ${\log }_3(3a)$, khớp với phương án C.)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo tính chất logarit của một tích: ${\log }_5(5a)={\log }_{5}5+{\log }_{5}a=1+{\log }_{5}a$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_4(4a)={\log }_{4}4+{\log }_{4}a=1+{\log }_{4}a$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.