Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(4^x-2^x+m)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $4^x-2^x+m>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đặt $t=2^x>0$, khi đó bất thức trở thành $t^2-t+m>0$ với mọi $t>0$. Xét $f(t)=t^2-t+m$ có đỉnh tại $t=\frac{1}{2}>0$ với giá trị nhỏ nhất $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+m=m-\frac{1}{4}$. Để $f(t)>0$ với mọi $t>0$ thì $m-\frac{1}{4}>0$, tức $m>\frac{1}{4}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln (x^2-2mx+4)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+4>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện này tương đương với phương trình $x^2-2mx+4=0$ vô nghiệm, tức là biệt thức $\Delta <0$: $\Delta =(-2m{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4m^2-16<0\iff m^2<4\iff -2<m<2$. Vậy $m\in (-2;2)$, tương ứng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ ($a>0$, $a\ne 1$) luôn đi qua điểm $(0;1)$, nằm phía trên trục hoành, và tăng dần khi $a>1$ (hoặc giảm dần khi $0<a<1$). Xét các hình: Hình A là đường cong đi qua gốc tọa độ (không đi qua $(0;1)$) nên không phải. Hình B và D là đồ thị hàm lôgarit (chỉ xác định khi $x>0$, đi qua $(1;0)$) nên không phải. Hình C là đường cong tăng dần, nằm trên trục hoành và đi qua điểm $(0;1)$ — đúng là đồ thị hàm số mũ với $a>1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình đi qua điểm $(0;1)$, tăng liên tục trên toàn trục hoành, nằm hoàn toàn phía trên trục $Ox$ và có tiệm cận ngang là trục $Ox$ khi $x\to -\infty$ — đây là đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Loại A vì $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ nghịch biến; loại B vì $y=x^2$ là parabol đi qua gốc tọa độ; loại C vì $y={\log }_{2}x$ chỉ xác định với $x>0$ và có tiệm cận đứng $x=0$. Vậy đồ thị đã cho là của hàm số $y=2^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ trong hình là hàm đồng biến (tăng trên $(0;+\infty )$), nên $a>1$. Đồ thị đi qua điểm $(2;2)$, tức là ${\log }_{a}2=2\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\sqrt{2}$ (thỏa $a>1$, $a\ne 1$). Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $(C_1)$ là đồ thị hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $a>1$. $(C_2)$ là đồ thị hàm số $y=b^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, nên $0<b<1$. Vậy $0<b<1<a$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị $y=a^x$ (màu xanh lá) đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $a>1$. Đồ thị $y={\log }_{b}x$ (màu đỏ) nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $0<b<1$. Vậy mệnh đề đúng là $a>1;0<b<1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (p6_f1): đường $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; hai đường $y=b^x$ và $y=c^x$ đồng biến nên $b>1$, $c>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=b^x$, tức $c^x>b^x\Rightarrow c>b$. Vậy $0<a<1<b<c$, tức $a<b<c$. Đáp án C. (Ghi chú: đề in trên trang 5 lặp '$y=a^x$' hai lần, nhưng hình vẽ trang 6 ghi rõ ba đồ thị $y=a^x,y=b^x,y=c^x$; giải theo hình vẽ.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 49: Cho $a,b,c>0$, $a,b,c\ne 1$.
a) Đúng: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.
b) Sai: công thức đổi cơ số đúng là ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$; đề cho $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ là nghịch đảo của công thức đúng. Ví dụ $a=2,b=8,c=10$: ${\log }_{2}8=3$ nhưng $\frac{\log 2}{\log 8}=\frac{1}{3}$.
c) Đúng: theo tính chất logarit của một tích, ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$.
d) Sai: theo định nghĩa logarit, $a^{{\log }_{a}b}=b$, nói chung $b\ne {\log }_{a}b$. Ví dụ $a=2,b=8$: $2^{{\log }_{2}8}=8\ne 3={\log }_{2}8$. Vậy mệnh đề ${\log }_{a}b=a^{{\log }_{a}b}$ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một thương: ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, đúng với $a,b,c>0$, $a\ne 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Công thức đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$. Đề bài viết $\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$ (nghịch đảo) nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tính chất logarit của một tích: ${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: $a^{{\log }_{a}b}=b$, nói chung $b\ne {\log }_{a}b$. Ví dụ $a=2,b=8$: $2^{{\log }_{2}8}=8\ne 3={\log }_{2}8$. Vậy mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $a<b<0$ thì $a,b$ đều âm nên $\ln a$ và $\ln b$ không xác định; tuy nhiên $\frac{a}{b}>0$, $ab>0$, $a^2>0$, $b^2>0$, $(ab{)}^2>0$ đều xác định.

a) $\ln \left(\frac{a}{b}\right)$ xác định vì $\frac{a}{b}>0$, nhưng vế phải $\ln a-\ln b$ vô nghĩa vì $a<0,b<0$ → Sai.

b) $ab>0$ nên $\ln \left(\sqrt{ab}\right)=\ln (ab{)}^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (ab)$ → Đúng.

c) ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}>0$ nên $\ln {\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\ln \frac{a^2}{b^2}=\ln (a^2)-\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định vì $a^2>0,b^2>0$ → Đúng.

d) $(ab{)}^2=a^2{b}^2>0$ nên $\ln (ab{)}^2=\ln (a^2{b}^2)=\ln (a^2)+\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $a<b<0$ nên $\ln a$ và $\ln b$ không xác định, do đó vế phải vô nghĩa dù vế trái $\ln (a/b)$ xác định (vì $a/b>0$).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$ab>0$ nên $\ln \left(\sqrt{ab}\right)=\ln (ab{)}^{1/2}=\frac{1}{2}\ln (ab)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\ln {\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\ln \frac{a^2}{b^2}=\ln (a^2)-\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định vì $a^2>0,b^2>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(ab{)}^2=a^2{b}^2>0$ nên $\ln (ab{)}^2=\ln (a^2{b}^2)=\ln (a^2)+\ln (b^2)$, mọi biểu thức đều xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\log }_{\sqrt{a}}{b}^3=\frac{\ln b^3}{\ln \sqrt{a}}=\frac{3\ln b}{\frac{1}{2}\ln a}=6{\log }_{a}b$ và $Q={\log }_b{a}^4=4{\log }_{b}a=\frac{4}{{\log }_{a}b}$.
a) $P$ xác định khi cơ số $\sqrt{a}>0$, $\sqrt{a}\ne 1$ (tức $a>0,a\ne 1$) và $b^3>0$ (tức $b>0$). Mệnh đề đúng.
b) $Q={\log }_b{a}^4$ xác định khi $b>0$, $b\ne 1$ và $a^4>0$ (tức $a\ne 0$, do $a>0$ nên luôn có). Điều kiện cần là $b\ne 1$, không phải $a\ne 1$; hơn nữa khi $b=1$ thì $Q$ không xác định dù $a\ne 1$. Mệnh đề sai.
c) Khi $b=a$: $Q={\log }_a{a}^4=4$. Mệnh đề đúng.
d) $M=P\cdot Q=6{\log }_{a}b\cdot \frac{4}{{\log }_{a}b}=24\ne {\log }_{a}b$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $\sqrt{a}$ phải dương và khác 1 ($a>0,a\ne 1$), đối số $b^3>0$ tức $b>0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q={\log }_b{a}^4$ cần $b>0$, $b\ne 1$ và $a^4>0$. Điều kiện $a\ne 1$ không liên quan; khi $b=1$ thì $Q$ không xác định. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $b=a$, $Q={\log }_a{a}^4=4$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=P\cdot Q=6{\log }_{a}b\cdot \frac{4}{{\log }_{a}b}=24$, không phải ${\log }_{a}b$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2^x$ với cơ số $2>1$. a) Tập xác định $D=\mathbb{R}$: đúng. b) Vì $2>1$ nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến: sai. c) Tại $x=2$, $y=2^2=4$ nên đồ thị đi qua $A(2;4)$: đúng. d) Thay $x$ bằng $-x$ trong $y=2^x$ được $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm mũ $y=2^x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$, hàm số $y=2^x$ đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2$: $y=2^2=4$, nên đồ thị đi qua điểm $A(2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$, là kết quả của phép đối xứng $x\mapsto -x$ qua trục tung, nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$, nên mệnh đề a SAI. b) Hàm lôgarit có tập giá trị $T=\mathbb{R}$, mệnh đề b ĐÚNG. c) Vì cơ số $4>1$ nên hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$, không phải trên $(-\infty ;+\infty )$, mệnh đề c SAI. d) Giải ${\log }_{4}x=1\Rightarrow x=4^1=4\ne 3$, mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm lôgarit với cơ số $4>1$ nhận mọi giá trị thực, $T=\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ vì không xác định khi $x\le 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=1\iff x=4$, hoành độ giao điểm là 4 chứ không phải 3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ xác định khi $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, nên tập xác định là $D=\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, do đó mệnh đề a sai. Vì cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên tập xác định $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, mệnh đề b đúng. Tại $x=2$: $y={\log }_3(5\cdot 2-3)={\log }_{3}7\ne 7$, nên đồ thị không đi qua $M(2;7)$, mệnh đề c sai. Trên $\left[\frac{4}{5};\frac{12}{5}\right]$, do hàm đồng biến nên $\min f=f\left(\frac{4}{5}\right)={\log }_3(4-3)={\log }_{3}1=0$ và $\max f=f\left(\frac{12}{5}\right)={\log }_3(12-3)={\log }_{3}9=2$; tổng $\max +\min =0+2=2$, mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $5x-3>0\iff x>\frac{3}{5}$, nên $D=\left(\frac{3}{5};+\infty \right)\ne (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên $y={\log }_3(5x-3)$ đồng biến trên tập xác định $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2$: $y={\log }_3(10-3)={\log }_{3}7\ne 7$, nên đồ thị không đi qua $M(2;7)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $\left[\frac{4}{5};\frac{12}{5}\right]$: $\min f=f\left(\frac{4}{5}\right)={\log }_{3}1=0$, $\max f=f\left(\frac{12}{5}\right)={\log }_{3}9=2$; tổng bằng $0+2=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=b^x$ nghịch biến nên $0<b<1$; $y=a^x$ và $y=c^x$ đồng biến nên $a>1$, $c>1$. Với $x>0$, đồ thị $y=c^x$ nằm trên $y=a^x$ nên $c>a$. Vậy $c>a>1>b$. a) Đúng vì $a^1=a$. b) Sai vì $c>1$ nên không có $1>c$. c) Sai vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0\ne +\infty$. d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $y=a^1=a$, nên điểm $(1;a)$ thuộc đồ thị $y=a^x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=c^x$ đồng biến nên $c>1$, do đó khẳng định $1>c$ sai (dù $a>1$ đúng).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<b<1$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }{b}^x=0$, không phải $+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình: $c>a>1$ (cả hai đồng biến, $c^x$ tăng nhanh hơn) và $0<b<1$, nên $c>a>1>b$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (x^2-2mx+4)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+4>0$ với mọi $x$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-16<0\iff m^2<4\iff -2<m<2$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-1;0;1\}$, vậy có 3 giá trị nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức phân rã $m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$ với $m_0=100$ gam, $T=138$ ngày, $t=100$ ngày:
$$m(100)=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{100}{138}}=100\cdot 2^{-\frac{100}{138}}.$$
Tính: $\frac{100}{138}\approx 0,7246$, nên $2^{-0,7246}=e^{-0,7246\ln 2}\approx e^{-0,5023}\approx 0,6052$.
Vậy $m(100)\approx 100\cdot 0,6052\approx 60,518$ gam.
Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là khoảng $60,518$ gam.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Tìm tập xác định:
a) $y=\frac{1}{\sqrt{2-x}}+3^x$: cần $2-x>0\iff x<2$. Tập xác định $D=(-\infty ;2)$.
b) $y={\log }_2(x+3)$: cần $x+3>0\iff x>-3$. Tập xác định $D=(-3;+\infty )$.
c) $y={\log }_{x^2+1}2023$: cần cơ số $x^2+1>0$ và $x^2+1\ne 1$. Vì $x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x$, chỉ cần $x^2+1\ne 1\iff x\ne 0$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
d) $y=\log \left(\frac{3-x}{x+1}\right)$: cần $\frac{3-x}{x+1}>0\iff -1<x<3$. Tập xác định $D=(-1;3)$.
e) $y={\log }_2(4x-x^2)$: cần $4x-x^2>0\iff x(4-x)>0\iff 0<x<4$. Tập xác định $D=(0;4)$.

Chọn A. Hàm số $y=a^x$ đồ thị có dáng đi xuống từ trái sang phải nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ do đó $0<a<1$ (1). Hai hàm số $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ do đó $b>1>a$, $c>1>a$ (2). Quan sát đồ thị ta thấy với $0<x<1$ thì ${\log }_{b}x<{\log }_{c}x$, suy ra $c>b$. Quan sát đồ thị ta thấy với $x>1$ thì ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$, suy ra $c>b$. Suy ra $1<b<c$ (3). Từ (1), (2), (3) suy ra $c>b>a$. Cách khác: Dễ thấy $a<1$, $b>1$, $c>1$. Nên $a$ là số nhỏ nhất. Xét đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hai hàm số $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ lần lượt tại các điểm $B(b;1)$ và $C(c;1)$. Dễ thấy $c>b$ vậy $c>b>a$.

Chọn C. Ta có $f(x)={\log }_2\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}\right)={\log }_2\left(\frac{(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)$. $f(x)+f(1-x)={\log }_2\left(\frac{(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)+{\log }_2\left(\frac{-(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)$ $={\log }_{2}4=2$. Vậy $T=\left[f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2024}{2025}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1012}{2025}\right)+f\left(\frac{1013}{2025}\right)\right]=2.1012=2024$.