Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$. Trong các phương án: $y=\log x$ là hàm lôgarit; $y=\frac{1}{x^{2025}}=x^{-2025}$ là hàm lũy thừa; $y=x^3$ là hàm đa thức (lũy thừa); chỉ có $y=2^x$ có biến số ở số mũ, nên là hàm số mũ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Điều kiện xác định là $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$, nên $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ (khoảng mở, không phải nửa khoảng đóng).
b) Đúng: Hàm số $y={\log }_2(2x-5)$ xác định và đồng biến trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ vì $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$; do đó đồng biến trên khoảng con $(5;+\infty )$.
c) Đúng: $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; vì $A$ thuộc đồ thị nên $y_A={\log }_2(2a-5)$, suy ra $y_B=2y_A=2{\log }_2(2a-5)$. Vậy $B\left(2a;2{\log }_2(2a-5)\right)$.
d) Đúng: $B$ thuộc đồ thị nên $2{\log }_2(2a-5)={\log }_2(4a-5)\iff (2a-5{)}^2=4a-5\iff 2a^2-12a+15=0\iff a=3\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Vì $a>\frac{5}{2}$ nên $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$, khi đó $x_B=2a=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a S, 1b D, 1c D, 1d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$, không phải $\left[\frac{5}{2};+\infty \right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2}{(2x-5)\ln 2}>0$ trên $\left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên $(5;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A$ trung điểm $OB$, $x_A=a$ nên $x_B=2a$; $y_A={\log }_2(2a-5)$ nên $y_B=2{\log }_2(2a-5)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $(2a-5{)}^2=4a-5$ được $a=3+\frac{\sqrt{6}}{2}$ (vì $a>\frac{5}{2}$), nên $x_B=6+\sqrt{6}\approx 8,45$ không nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ đi qua điểm $(2;2)$ (theo hình vẽ, khi $x=2$ thì $y=2$). Do đó ${\log }_{a}2=2\iff a^2=2\iff a=\sqrt{2}$ (vì $a>0$, $a\ne 1$). Thử lại: đồ thị tăng (vì $a>1$) và đi qua $(2;2)$, khớp với hình vẽ. Vậy $a=\sqrt{2}$, chọn D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Đề 102, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ có TXĐ $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$, cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên toàn miền xác định, do đó đồng biến trên $(2;+\infty )$ — Đúng.
b) Giao trục hoành: ${\log }_3(5x-3)=0\iff 5x-3=1\iff x=\frac{4}{5}$, không phải $\frac{6}{5}$ — Sai.
c) Gọi $A(a;{\log }_3(5a-3))$ với $a>\frac{3}{5}$. Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $B(2a;2{\log }_3(5a-3))$. Để $B$ thuộc đồ thị: $2{\log }_3(5a-3)={\log }_3(10a-3)\iff (5a-3{)}^2=10a-3\iff 25a^2-40a+12=0\iff a=\frac{6}{5}$ hoặc $a=\frac{2}{5}$. Vì $a>\frac{3}{5}$ nên $a=\frac{6}{5}$, khi đó $x_B=2a=\frac{12}{5}$ không phải số nguyên — Sai.
d) Theo lập luận ở c), với $x_A=a>\frac{3}{5}$ thì $B(2a;2{\log }_3(5a-3))$ — Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên toàn TXĐ $\left(\frac{3}{5};+\infty \right)$ vì cơ số $3>1$, nên đồng biến trên $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao trục hoành tại $x=\frac{4}{5}$ (vì $5x-3=1$), không phải $\frac{6}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $B$ thuộc đồ thị cho $(5a-3{)}^2=10a-3$, tức $25a^2-40a+12=0$, với $a>\frac{3}{5}$ lấy $a=\frac{6}{5}$, suy ra $x_B=\frac{12}{5}$ không nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $x_B=2x_A=2a$ và $y_B=2y_A=2{\log }_3(5a-3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình đi qua điểm gần $(0;1)$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ và giảm dần, tiệm cận trục hoành khi $x\to +\infty$ — đây là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại A, D vì hàm logarit chỉ xác định khi $x>0$; loại B vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng nhất. Vậy đường cong là của $y=(0,8{)}^x$, khớp với đáp án nguồn C.

a) (0,75 điểm) Tính giá trị của biểu thức $A={\log }_{5}15-{\log }_{\sqrt{5}}\sqrt{3}$.

$A={\log }_{5}15-{\log }_{5}3$ (0,25 điểm)

$={\log }_5\frac{15}{3}$ (0,25 điểm)

$={\log }_{5}5=1$ (0,25 điểm)

b) (0,75 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\log \left(x^2-2(m+1)x+5-m\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=\log \left(x^2-2(m+1)x+5-m\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)

$\iff x^2-2(m+1)x+5-m>0\forall x\in \mathbb{R}$

$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\prime }<0\end{array}\iff m^2+3m-4<0$ (0,25 điểm)

$\iff -4<m<1$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$, do đó tập xác định là $(0;+\infty )$. Đáp án khớp với key đề: C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo tính chất logarit của một thương: ${\log }_2\frac{a}{2}={\log }_{2}a-{\log }_{2}2={\log }_{2}a-1$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1112, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2\frac{a}{2}={\log }_{2}a-{\log }_{2}2={\log }_{2}a-1$. Vậy đáp án đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1111, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=(x-1{)}^{2026}$ là hàm đa thức (lũy thừa nguyên dương của biểu thức $x-1$), nên xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, trùng với đáp án C và với đáp án của đề (đề 1111, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$, do đó tập xác định là $D=(0;+\infty )$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1111, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit: ${\log }_{a}M=3\iff a^3=M$ (với $a>0$, $a\ne 1$, $M>0$). Do đó khẳng định đúng là $a^3=M$, tương ứng phương án C. Đáp án này trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1002: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lôgarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với cơ số $a$ là hằng số thỏa $a>0$, $a\ne 1$ và biến số ở phần số. Xét các phương án: A) $y={\log }_{5}x$: cơ số $5>0$, $5\ne 1$ là hằng số, đây là hàm lôgarit. B) $y={\log }_{\sqrt{5}}x$: cơ số $\sqrt{5}>0$, $\sqrt{5}\ne 1$ là hằng số, đây là hàm lôgarit. C) $y={\log }_{\frac{1}{5}}x$: cơ số $\frac{1}{5}>0$, $\frac{1}{5}\ne 1$ là hằng số, đây là hàm lôgarit. D) $y={\log }_{x}5$: cơ số là biến số $x$ (không phải hằng số), nên đây không phải hàm số lôgarit. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$, $x,y>0$ ta có ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Ví dụ kiểm tra: $a=2,x=8,y=4$ thì ${\log }_2\frac{8}{4}={\log }_{2}2=1$ và ${\log }_{2}8-{\log }_{2}4=3-2=1$. Do đó khẳng định đúng là phương án D, trùng với đáp án của đề (Câu 3, mã đề 1002: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lôgarit có dạng $y={\log }_{a}x$ với cơ số $a$ là hằng số thỏa $a>0$, $a\ne 1$, và biến số nằm ở vị trí của số đối số. Xét các phương án: A) $y={\log }_{3}x$ có cơ số $3>0$, $3\ne 1$ là hằng số, nên là hàm số lôgarit. B) $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ có cơ số $\sqrt{3}>0$, $\sqrt{3}\ne 1$ là hằng số, nên là hàm số lôgarit. D) $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}>0$, $\frac{1}{3}\ne 1$ là hằng số, nên là hàm số lôgarit. C) $y={\log }_{x}3$: ở đây biến số $x$ nằm ở vị trí cơ số, không phải ở vị trí đối số, nên đây không phải hàm số lôgarit (cơ số phải là hằng số). Vậy hàm số không phải là hàm số lôgarit là $y={\log }_{x}3$, đáp án C. Kết quả này trùng khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a>0$, $a\ne 1$, $x,y>0$ ta có ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Do đó khẳng định đúng là C. Đáp án này cũng khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 7, Mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $p(h)=100e^{-h/7}$. a) $p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ với mọi $h$, nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng → Sai. b) $p(0)=100e^0=100$ kPa → Đúng. c) Đỉnh Everest $h=8,85$ km: $p(8,85)=100e^{-8,85/7}\approx 100\cdot 0,2822\approx 28,2$ kPa → Đúng. d) Yêu cầu $100e^{-h/7}\ge 60\iff -\frac{h}{7}\ge \ln 0,6\iff h\le -7\ln 0,6\approx 7\cdot 0,5108\approx 3,5759$ km $\approx 3576$ m → Đúng. Khớp đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=100e^0=100$ kPa.
c) (AI giải đề cho tôi)
$p(8,85)=100e^{-8,85/7}\approx 28,2$ kPa.
d) (AI giải đề cho tôi)
$100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le -7\ln 0,6\approx 3,576$ km $=3576$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $(C)$ đi qua điểm $B(4;1)$ nên ${\log }_{a}4=1\Rightarrow a=4$, hàm số là $y={\log }_{4}x$.
a) Sai: hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ xác định và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Sai: tập giá trị của hàm số logarit là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) Đúng: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên $(C)$ đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) Đúng: ${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$. Kết quả khớp đáp án chính thức (Mã đề 3267, Phần II Câu 4: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số logarit là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $a=4$ (đi qua $(4;1)$). ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên $(C)$ đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$, đúng như phát biểu.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên luôn nghịch biến trên khoảng xác định $(0;+\infty )$. Các hàm $y=\ln x$, $y=\log x$, $y={\log }_{\pi }x$ đều có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án A của đề (mã đề 3267).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$ (đồng biến trên $\mathbb{R}$, đi qua điểm $(0;1)$). Trên hình, đồ thị đi qua điểm $(1;2)$, nên $a^1=2\Rightarrow a=2$. Vậy hàm số là $y=2^x$. Các đáp án A, D có $0<a<1$ nên nghịch biến (loại); đáp án B với $y=3^x$ thì $3^1=3\ne 2$ (loại). Đáp án khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 3267, Câu 8: C).