Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $p(h)=100e^{-h/7}$. a) $p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ với mọi $h$, nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng → Sai. b) Tại mặt nước biển $h=0$: $p(0)=100e^0=100$ kPa → Đúng. c) Đỉnh Everest $h=8,85$ km: $p=100e^{-8,85/7}=100e^{-1,2643}\approx 28,2$ kPa → Đúng. d) Cần $100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le 7\ln \frac{100}{60}\approx 7\cdot 0,5108\approx 3,5757$ km $\approx 3576$ m → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$p^{\prime }(h)=-\frac{100}{7}{e}^{-h/7}<0$ nên hàm số nghịch biến, không phải hàm tăng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=100e^0=100$ kPa.
c) (AI giải đề cho tôi)
$h=8,85$ km: $p=100e^{-8,85/7}\approx 28,2$ kPa.
d) (AI giải đề cho tôi)
$100e^{-h/7}\ge 60\iff h\le 7\ln (100/60)\approx 3,5757$ km $\approx 3576$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $(C)$ đi qua điểm $B(4;1)$ nên ${\log }_{a}4=1\Rightarrow a=4$. Vậy $y={\log }_{4}x$.
a) Sai: hàm số chỉ xác định và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Sai: tập giá trị của hàm $y={\log }_{4}x$ là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) Đúng: ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) Đúng: ${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$. Khớp với đáp án chính thức SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ chỉ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $M\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{4}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{-1/2}=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên khoảng xác định $(0;+\infty )$. Các hàm $y=\ln x$, $y={\log }_{\pi }x$, $y=\log x$ đều có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(1;2)$ và tăng lên, nên là hàm mũ cơ số $a>1$ với $a^1=2$, tức $y=2^x$. Các hàm $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ nghịch biến; $y=3^x$ đi qua $(1;3)$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ qua $A(1;0)$ song song $Oy$ nên có phương trình $x=1$. Khi đó $B(1;a^1)=(1;a)$ và $C(1;2^1)=(1;2)$. Vì $0<a<1$ nên $AB=a$ và $AC=2$. Điều kiện $AC=5AB$ cho $2=5a$, suy ra $a=\frac{2}{5}=0,4$ (thỏa mãn $0<a<1$). Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,4.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(1;3)$ và tăng nhanh, đồng biến trên $\mathbb{R}$, cắt trục tung tại $y=1$: đây là đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ với $a>1$. Vì $a^1=3$ nên $a=3$, tức $y=3^x$. Loại $y=2^x$ (vì $2^1=2\ne 3$) và các hàm logarit (tập xác định $(0;+\infty )$, không phù hợp hình vẽ). Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit $y={\log }_{a}f(x)$ xác định khi $f(x)>0$. Với A và C: $y={\log }_{2}x$, $y={\log }_{3}x$ cần $x>0$, tập xác định là $(0;+\infty )$. Với B: $y={\log }_2(x^2+x)$ cần $x^2+x>0\iff x<-1$ hoặc $x>0$. Với D: $y={\log }_2(x^2+1)$, vì $x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a>1$. Xét từng phương án: A. $y=(0,5{)}^x$ có cơ số $0,5<1$ nên nghịch biến. B. $y={\left(\frac{\pi }{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{\pi }{3}\approx 1,047>1$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C. $y=(\pi -3{)}^x$ có cơ số $\pi -3\approx 0,14<1$ nên nghịch biến. D. $y={\left(\frac{3}{\pi }\right)}^x$ có cơ số $\frac{3}{\pi }\approx 0,955<1$ nên nghịch biến. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{5}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$. a) Sai: hàm số chỉ đồng biến trên tập xác định $(0;+\infty )$, không phải trên tập số thực. b) Đúng: cơ số của hàm số là 5. c) Sai: ${\log }_{5}x=0\iff x=5^0=1$, nên $x=1$ (không phải $x=5$) là nghiệm. d) Đúng: cắt trục hoành khi ${\log }_{5}x=0\iff x=1$, tức tại điểm $(1;0)$. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-S; B-Đ; C-S; D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{5}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$ nên chỉ đồng biến trên tập xác định này, không đồng biến trên tập số thực.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số của hàm số $y={\log }_{5}x$ là 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}x=0\iff x=5^0=1$, nên nghiệm là $x=1$, không phải $x=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành khi $y=0$: ${\log }_{5}x=0\iff x=1$, tức tại điểm $(1;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và $x,y>0$ ta có ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó đáp án đúng là D. Các phương án A, B, C đều sai (A là công thức của tích, B sai vì ${\log }_a(x-y)$ có thể không xác định khi $x\le y$, C là công thức đổi cơ số sai). Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 163, Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Trong các đáp án: $y=e^x$ là hàm số mũ (cơ số $e>1$); $y=x^2$ là hàm số lũy thừa (biến số ở cơ số); $y=(x^2+1{)}^{\pi }$ không phải hàm số mũ vì cơ số chứa biến số; $y=\ln x$ là hàm số lôgarit. Vậy đáp án A, trùng với đáp án của đề (Mã đề 163, Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Xét từng hàm số: $y=5^{\frac{x}{3}}=(\sqrt[3]{5}{)}^x$ là hàm số mũ (cơ số $\sqrt[3]{5}>0$, khác 1); $y=4^{-x}={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ là hàm số mũ; $y=(\sqrt{3}{)}^x$ là hàm số mũ. Còn $y=x^{-4}=\frac{1}{x^4}$ có biến số $x$ ở cơ số, không phải số mũ, đây là hàm số lũy thừa (đa thức phân thức), không phải hàm số mũ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{5}x$ có cơ số $a=5>1$. a) Đúng, cơ số là 5. b) Sai, vì ${\log }_{5}x=3\iff x=5^3=125\ne 15$. c) Đúng, vì ${\log }_{5}25=2$ nên đồ thị đi qua $M(25;2)$. d) Đúng, vì cơ số $5>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{5}x$ có cơ số $a=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}x=3\iff x=5^3=125$, không phải $x=15$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}25=2$ nên đồ thị đi qua $M(25;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a^3}a=\frac{\ln a}{\ln a^3}=\frac{\ln a}{3\ln a}=\frac{1}{3}$ (với $a>0,a\ne 1$ nên $\ln a\ne 0$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, với $a>0,a\ne 1$ ta có ${\log }_{a}1=0$ (vì $a^0=1$), do đó mệnh đề A phát biểu ${\log }_{a}1=1$ là SAI. Các mệnh đề còn lại đều đúng: ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$ (tính chất cơ bản của logarit), ${\log }_{a}a=1$ (vì $a^1=a$), và $a^{{\log }_{a}b}=b$ (định nghĩa logarit, với $b>0$). Kết quả khớp với bảng đáp án Mã đề 102, Câu 2: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ xác định với mọi số thực $x$ (cơ số $\frac{1}{2}>0$, $\ne 1$), nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Khớp với đáp án B trong bảng đáp án Mã đề 102 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua $(1;0)$ và $(2;1)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$. Với $y={\log }_{2}x$: $y(1)=0$, $y(2)=1$, đồng biến vì cơ số $2>1$. Hàm $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến; các hàm mũ $y=2^x$, $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$, không khớp. Vậy đáp án A, trùng đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một tích: ${\log }_a(b.c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c=2+5=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (7).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, ${\log }_{a}1=0$ với mọi $a>0,a\ne 1$, nên mệnh đề ${\log }_{a}1=1$ ở phương án A là SAI. Các mệnh đề còn lại đều đúng: ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$, ${\log }_{a}a=1$, $a^{{\log }_{a}b}=b$. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (Câu 3, Mã đề 101: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có cơ số $\frac{1}{2}>0$, $\frac{1}{2}\ne 1$, nên được xác định với mọi giá trị $x$ thực. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4, Mã đề 101: B).