Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(2;1)$ và tăng trên $(0;+\infty )$, có tiệm cận đứng là trục $Oy$ nên là hàm logarit với cơ số $a>1$. Vì ${\log }_{2}2=1$ nên đồ thị là của $y={\log }_{2}x$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (x-3{)}^2$ xác định khi $(x-3{)}^2>0$, tức là $x\ne 3$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 288, câu 10: D).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi $2026-2a>1\iff a<1012,5$

Vì $a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\in \{0;1;...;1012\}$. Vậy có tất cả 1013 số tự nhiên thỏa mãn YCBT.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo tính chất logarithm: ${\log }_2(2a)={\log }_{2}2+{\log }_{2}a=1+{\log }_{2}a$. Vậy đáp án là A, trùng với bảng đáp án (mã đề 288, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ nghịch biến, đi qua $(0;1)$ và $(-1;2)$. Xét $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$: tại $x=0$ có $y=1$; tại $x=-1$ có $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=(\sqrt{2}{)}^x$ và $y=2^x$ đồng biến nên loại; $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ có tập xác định $(0;+\infty )$ nên loại. Vậy đáp án là D, trùng với bảng đáp án mã đề 288 (câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và nghịch biến nên là hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$, loại A (logarit), B và C (hàm mũ với cơ số $>1$ nên đồng biến).
Trên đồ thị, khi $x=-1$ thì $y=2$, nên $a^{-1}=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}$.
Vậy hàm số là $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, trùng với đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 119).

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ khi $2026-2a>1\iff a<1012,5$

Vì $a\in \mathbb{N}\Rightarrow a\in \{0;1;...;1012\}$. Vậy có tất cả 1013 số tự nhiên thỏa mãn YCBT.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (x-3{)}^2$ xác định khi $(x-3{)}^2>0$, tức là $x\ne 3$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$. Kết quả này trùng với đáp án A và bảng đáp án của đề (mã đề 119, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2(2a)={\log }_{2}2+{\log }_{2}a=1+{\log }_{2}a$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án (mã đề 119, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_4(x-1)$ có tập xác định $D=(1;+\infty )$ vì điều kiện $x-1>0$. a) Sai: cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến. b) Đúng: tại $x=\frac{5}{4}$, $y={\log }_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{5}{4};-1\right)$. c) Đúng: ${\log }_4(x-1)\le 2\iff 0<x-1\le 16\iff 1<x\le 17$, tập nghiệm $S=(1;17]$. d) Sai: tập xác định là $D=(1;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$, hàm $y={\log }_4(x-1)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y\left(\frac{5}{4}\right)={\log }_4\left(\frac{1}{4}\right)=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{5}{4};-1\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4(x-1)\le 2\iff 0<x-1\le 4^2=16\iff 1<x\le 17$, tức $S=(1;17]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1>0$ nên tập xác định là $D=(1;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $y=2^x$ và $y=3^x$ có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến; $y={\left(\frac{4}{3}\right)}^x$ có cơ số $\frac{4}{3}>1$ nên đồng biến. Chỉ có $y={\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ có cơ số $0<\frac{3}{4}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (x-3)$ xác định khi $x-3>0$, tức $x>3$. Vậy tập xác định là $D=(3;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_5(5a)={\log }_{5}5+{\log }_{5}a=1+{\log }_{5}a$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Trong các đáp án: $\pi >1$, $3>1$, $\sqrt{5}>1$ nên các hàm $y={\log }_{\pi }x$, $y={\log }_{3}x$, $y={\log }_{\sqrt{5}}x$ đồng biến. Riêng $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$ có cơ số $\frac{1}{e}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên tập xác định $(0;+\infty )$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(2;2)$ và cắt trục tung tại $y=1$, hàm đồng biến. Với $y=(\sqrt{2}{)}^x$: $y(0)=1$, $y(2)=(\sqrt{2}{)}^2=2$, đồng biến vì cơ số $\sqrt{2}>1$ → thỏa mãn. $y=x$ không đi qua $(0;1)$; $y=(\sqrt{2}{)}^{-x}$ nghịch biến; $y=2^x$ cho $y(2)=4\ne 2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$, do đó ${\log }_x\sqrt[4]{x^3}={\log }_x{x}^{\frac{3}{4}}=\frac{3}{4}$ (với $x>0$, $x\ne 1$). Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_6(x+2)$ xác định khi $x+2>0$, tức $x>-2$. Vậy tập xác định là $(-2;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{\frac{1}{a}}{b}^3=\frac{\ln b^3}{\ln \frac{1}{a}}=\frac{3\ln b}{-\ln a}=-3{\log }_{a}b$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(1;1)$. Xét $y={\log }_2(x+1)$: tập xác định $x>-1$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$; tại $x=1$ ta có $y={\log }_{2}2=1$, khớp với đồ thị. Các phương án khác: ${\log }_{2}x+1$ và $y={\log }_{3}x$ có tiệm cận đứng $x=0$; ${\log }_3(x+1)$ tại $x=1$ cho ${\log }_{3}2\ne 1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, ${\log }_{a}a=1$ (vì $a^1=a$), nên mệnh đề ${\log }_{a}a=2a$ là SAI. Các mệnh đề còn lại đều đúng: ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$, ${\log }_{a}1=0$, và $a^{{\log }_{a}b}=b$ (với $a,b>0$, $a\ne 1$).