Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi cơ số $a>1$. Xét các cơ số: $\sqrt{3}>1$ (A); $\frac{\pi }{6}\approx 0,52<1$ (B); $\frac{e}{3}\approx 0,91<1$ (C); $\frac{1}{4}<1$ (D). Vậy chỉ hàm $y={\log }_{\sqrt{3}}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x-1)$ xác định khi biểu thức trong logarit dương: $x-1>0\iff x>1$. Vậy tập xác định là $(1;+\infty )$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)$.

a) Điều kiện xác định: $-x^2+26x>0\iff x(26-x)>0\iff 0<x<26$. Vậy tập xác định là $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.

b) Với $u=-x^2+26x$, có $u^{\prime }=-2x+26$ và ${\log }_{\frac{1}{5}}u=\frac{\ln u}{\ln \frac{1}{5}}=\frac{\ln u}{-\ln 5}$. Do đó
$$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\cdot (-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}.$$ → Đúng.

c) $f(x)<-2\iff {\log }_{\frac{1}{5}}(-x^2+26x)<-2$. Vì cơ số $\frac{1}{5}<1$ nên $-x^2+26x>{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2}=25\iff x^2-26x+25<0\iff 1<x<25$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{2,3,\dots ,24\}$, gồm $24-2+1=23$ nghiệm, không phải 22. → Sai.

d) $f(x)=-2\iff -x^2+26x=25\iff x^2-26x+25=0$. Hai nghiệm $x=1$ và $x=25$ (đều thuộc tập xác định), tổng theo Vi-ét bằng $26$. → Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án SĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $-x^2+26x>0\iff 0<x<26$, nên $\mathcal{D}=(0;26)$, không phải $(-\infty ;0)\cup (26;+\infty )$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }}{u\ln \frac{1}{5}}=\frac{-2x+26}{(-x^2+26x)(-\ln 5)}=\frac{-2x+26}{-(-x^2+26x)\ln 5}$. → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<-2\iff -x^2+26x>25\iff 1<x<25$, có 23 nghiệm nguyên ($x=2$ đến $24$), không phải 22. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=-2\iff x^2-26x+25=0\iff x=1$ hoặc $x=25$; tổng bằng $26$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị chỉ xuất hiện với $x>0$, có tiệm cận đứng là trục $Oy$ ($x=0$), đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$. Xét các phương án: $y=e^x$ và $y=e^{-x}$ xác định trên $\mathbb{R}$, không có tiệm cận đứng $x=0$ nên loại B, C. $y={\log }_{\frac{2}{\pi }}x$ có cơ số $\frac{2}{\pi }<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không phù hợp đồ thị đồng biến, loại D. $y=\ln x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\ln x$ xác định với $x>0$, có tiệm cận đứng $x=0$, đi qua $(1;0)$ và đồng biến (vì hệ số $\frac{1}{2}>0$), hoàn toàn khớp với đồ thị. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
(AI giải)
Với $a>0$, $a\ne 1$ và $x,y>0$:
- A: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ với mọi $x,y>0$. Vậy A đúng.
- B: ${\log }_a(x.y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$, nói chung khác $y{\log }_{a}x$ (ví dụ $x=2,y=3$: vế trái $={\log }_{a}6$, vế phải $=3{\log }_{a}2={\log }_{a}8$). Vậy B sai.
- C: ${\log }_{a}a=1\ne 0$. Vậy C sai.
- D: ${\log }_{a}x=1$ chỉ khi $x=a$, không đúng với mọi $x>0$. Vậy D sai.
Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\ln x-\ln (x+1)$. a) Điều kiện xác định: $x>0$ và $x+1>0$, tức $x>0$, nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $(-1;+\infty )$ → Sai. b) $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$ → Đúng. c) $f(x)=\ln \frac{x}{x+1}=\ln 2\Rightarrow \frac{x}{x+1}=2\Rightarrow x=-2$, không có nghiệm bằng $-1$ (và $x=-1$ không thuộc tập xác định) → Sai. d) $f^{\prime }(k)=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{k(k+1)}$, nên $P={\sum }_{k=1}^{2026}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}\ne \frac{2025}{2026}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cần $x>0$ và $x+1>0$ nên tập xác định là $(0;+\infty )$, không phải $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\ln \frac{x}{x+1}=\ln 2\Rightarrow x=-2$, không có nghiệm bằng $-1$; hơn nữa $x=-1$ không thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(k)=\frac{1}{k(k+1)}$ nên $P=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}\ne \frac{2025}{2026}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y={\log }_{2}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$; mệnh đề A sai. Các mệnh đề còn lại đúng: $y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến trên tập xác định $(0;+\infty )$; $y=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$; $y={\log }_3(2x+1)$ có $2x+1>0$ với mọi $x\in (0;1)$ và đồng biến vì cơ số $3>1$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$, khi $x\in (0;+\infty )$ thì $t\in \mathbb{R}$. Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi phương trình $m{t}^2-4t+m+3=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$. Với $m=0$: $-4t+3=0$ có nghiệm $t=3/4$, loại. Với $m\ne 0$: cần $\Delta =16-4m(m+3)<0\iff m^2+3m-4>0\iff (m+4)(m-1)>0\iff m<-4$ hoặc $m>1$. Các giá trị nguyên $m\in (-2026;2026)$ thỏa mãn: $m\in \{-2025,\dots ,-5\}$ có $2021$ giá trị và $m\in \{2,\dots ,2025\}$ có $2024$ giá trị, tổng cộng $2021+2024=4045$ giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$, khi $x\in (0;+\infty )$ thì $t$ chạy khắp $\mathbb{R}$. Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $m{t}^2-4t+m+3>0$ với mọi $t\in \mathbb{R}$. Với $m=0$ biểu thức trở thành $-4t+3$ không dương với mọi $t$, loại. Với $m\ne 0$ cần $m>0$ và $\Delta <0$: $\Delta =16-4m(m+3)<0\iff m^2+3m-4>0\iff m>1$ hoặc $m<-4$. Kết hợp $m>0$ được $m>1$ hoặc $m<-4$. Số giá trị nguyên $m\in (-2026;2026)$: với $m<-4$: từ $-2025$ đến $-5$ có $2021$ giá trị; với $m>1$: từ $2$ đến $2025$ có $2024$ giá trị. Tổng $2021+2024=4045$, khớp đáp án B.

Chọn B. Ta có ${\log }_{a}M=\alpha \iff a^{\alpha }=M$

Chọn C. Ta có ${\log }_{27}{a}^3={\log }_{3^3}{a}^3={\log }_{3}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và mọi $x,y>0$ ta có ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Các phương án A, B, C đều sai (A sai vì ${\log }_a(x-y)$ có thể không xác định khi $x\le y$ và nói chung khác ${\log }_a\frac{x}{y}$; B là công thức của tích; C không phải công thức logarit). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102 (Câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit tự nhiên: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). B sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$; C sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$; D sai vì $\ln \frac{a}{b}\ne \frac{\ln a}{\ln b}$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có cơ số $4>1$. a) Tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai. b) Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$ → Đúng. c) ${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$ → Đúng. d) Điều kiện $x>2$. Đổi cơ số: ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$, phương trình trở thành $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow \sqrt{x}=x-2\Rightarrow x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x\le 2$) hoặc $x=4$ (thỏa). Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm $x=4$, không có hai nghiệm phân biệt → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $y={\log }_{4}x$ là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$ nên hàm số $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua điểm $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với điều kiện $x>2$: $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow \sqrt{x}=x-2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=4$. Phương trình chỉ có một nghiệm $x=4$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi $0<a<1$. Trong các phương án: $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{2}x$ có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến; $y=3^x$ là hàm số mũ với cơ số $3>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$; riêng $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1014, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2(8a)={\log }_{2}8+{\log }_{2}a=3+{\log }_{2}a$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Đề 1014, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Xét các đáp án: A có $\frac{3}{\pi }\approx 0,955<1$ (nghịch biến); B có $0,5<1$ (nghịch biến); C có $\sqrt{2}\approx 1,414>1$ (đồng biến); D có $\frac{2}{e}\approx 0,736<1$ (nghịch biến). Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Đề 1013, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=5^x$. a) Vì cơ số $5>1$ nên hàm số mũ $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ → Đúng. b) Tại $x=0$: $f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$ → Đúng. c) Bất phương trình ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff 5-x\ge x\iff x\le \frac{5}{2}$. Các nghiệm nguyên dương là $x\in \{1;2\}$, chỉ có 2 nghiệm chứ không phải 3 → Sai. d) ${\log }_{5}f(x)={\log }_5{5}^x=x$, phương trình trở thành $x=2x-2\iff x=2$, không có nghiệm $x=4$ (thử $x=4$: vế trái $=4$, vế phải $=6$) → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $5>1$ nên $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff x\le \frac{5}{2}$; nghiệm nguyên dương là $x=1,2$ (2 nghiệm, không phải 3).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}f(x)=x$, nên $x=2x-2\iff x=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{4}x$ có tập xác định $D=(0;+\infty )$ nên a) Sai. Vì cơ số $4>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, b) Đúng. Tại $x=\frac{1}{4}$: $y={\log }_4\frac{1}{4}=-1$, nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$, c) Đúng. Phương trình ${\log }_{4}x={\log }_2(x-2)$ với điều kiện $x>2$. Đổi cơ số: $\frac{1}{2}{\log }_{2}x={\log }_2(x-2)\Rightarrow {\log }_{2}x=2{\log }_2(x-2)\Rightarrow x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại vì $x\le 2$) hoặc $x=4$ (thỏa mãn). Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=4$, d) Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$ nên tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $4>1$ nên $y={\log }_{4}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_4\frac{1}{4}=-1$ nên đồ thị đi qua $A\left(\frac{1}{4};-1\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>2$, phương trình tương đương $x=(x-2{)}^2\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ (loại) hoặc $x=4$ (nhận). Chỉ có một nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2(8a)={\log }_{2}8+{\log }_{2}a=3+{\log }_{2}a$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Đề 1012, Câu 4: A).