Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{3}}x$ có cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Các hàm $y={\log }_{3}x$, $y={\log }_{2}x$ có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến; $y=3^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Đề 1012, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=5^x$. a) Đúng: $5>1$ nên hàm số mũ $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Đúng: tại $x=0$, $f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$. c) Sai: ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff 5-x\ge x\iff x\le \frac{5}{2}$. Các nghiệm nguyên dương là $x=1,2$ — chỉ có 2 nghiệm, không phải 3. d) Sai: ${\log }_{5}f(x)={\log }_5{5}^x=x$, nên $x=2x-2\iff x=2$, không phải $x=4$. Khớp đáp án chính thức ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $5>1$, hàm số $y=5^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=5^0=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}\ge 5^x\iff 5^{5-x}\ge 5^x\iff x\le \frac{5}{2}$; nghiệm nguyên dương: $x=1,2$ — chỉ 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{5}f(x)=x$, phương trình trở thành $x=2x-2\iff x=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a>1$. Xét từng đáp án: A: $\sqrt{2}\approx 1,414>1$ nên $y=(\sqrt{2}{)}^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. B: $\frac{3}{\pi }\approx 0,955<1$ nên nghịch biến. C: $\frac{2}{e}\approx 0,736<1$ nên nghịch biến. D: $0,5<1$ nên nghịch biến. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Đề 1011, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(2x^2+x)$ xác định khi $2x^2+x>0\iff x(2x+1)>0\iff x<-\frac{1}{2}$ hoặc $x>0$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án A trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 112, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án C trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 111, câu 6).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarithm của một tích: với $a>0$, $a\ne 1$ và mọi $x,y>0$ ta có ${\log }_a(x.y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Các phương án A, B, C đều sai (B là công thức của thương, C nhầm tích log thành log của tích). Đáp án khớp với mã đề 1002, câu 11: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ có điều kiện xác định $x>0$ nên tập xác định $D=(0;+\infty )$, do đó A sai, D đúng. Với $x=4$: $y={\log }_{2}4=2\ne -2$ nên B sai. Vì cơ số $2>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$, nên C sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2^x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ (B đúng). Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên A sai; C sai vì tập xác định không phải $(0;+\infty )$; D sai vì với $x=0$ thì $y=2^0=1$, đồ thị đi qua $(0;1)$ chứ không phải $(0;2)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn B (mã đề 1001, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và mọi $x,y>0$ ta có ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó phương án C đúng. Các phương án A, B, D sai vì logarit không biến đổi qua phép trừ, phép chia hay phép cộng như vậy. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\log (100a)=\log 100+\log a=2+7=9$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(3x-9)$ xác định khi $3x-9>0\iff x>3$. Vậy tập xác định là $(3;+\infty )$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1012, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(3x-6)$ xác định khi $3x-6>0\iff x>2$. Vậy tập xác định là $(2;+\infty )$, trùng với đáp án B (khớp với bảng đáp án mã đề 1011, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với $a,b>0$ ta có ${\log }_2(ab)={\log }_{2}a+{\log }_{2}b$. Do đó khẳng định A đúng. B sai vì logarit của một tổng không bằng tổng các logarit; C sai vì ${\log }_2\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_{2}a-{\log }_{2}b$; D sai vì ${\log }_2(ab)\ne {\log }_{2}a\cdot {\log }_{2}b$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với $a,b>0$ ta có ${\log }_2(ab)={\log }_{2}a+{\log }_{2}b$. Các khẳng định A, C, D đều sai vì logarit của một tích (hoặc tổng) không bằng tích các logarit, và ${\log }_2(a+b)\ne {\log }_{2}a+{\log }_{2}b$. Đáp án khớp với mã đề 111, Câu 1: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(6-2x)$ xác định khi $6-2x>0\iff x<3$. Vậy $D=(-\infty ;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, $a\ne 1$, ta có $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$. Do đó $P={\log }_a\left(a^{\frac{1}{3}}\right)=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0<a<1$; hàm số lũy thừa/logarit chỉ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi là hàm mũ với cơ số trong $(0;1)$. Xét từng phương án: $y=(0,2{)}^x$ có cơ số $0<0,2<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (đúng). $y=4^x$ có cơ số $4>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$ (sai). $y={\log }_{3}x$ và $y={\log }_{0,2}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (sai). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1004, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên R phải là hàm số mũ với cơ số 0<a<1. Xét các phương án: A. y=4^x có cơ số 4>1 nên đồng biến trên R. B. y=(0,2)^x có cơ số 0<0,2<1 nên nghịch biến trên R. C. y=log_3 x và D. y=log_{0,2} x chỉ xác định trên (0;+∞), không xác định trên toàn R nên bị loại. Vậy hàm số nghịch biến trên R là y=(0,2)^x, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 3: B).