Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm số cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x}$ xác định khi $x\ne 0$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Với mọi $y\ne 0$, phương trình $\frac{1}{x}=y$ có nghiệm $x=\frac{1}{y}\ne 0$; với $y=0$ phương trình vô nghiệm, nên tập giá trị cũng là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Các phương án B, C, D đã được xác minh trên trang 8. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=(m+1)x+2$ là hàm bậc nhất, đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số góc $m+1>0$, tức là $m>-1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường gãy khúc dạng chữ V có đỉnh tại gốc tọa độ O, đối xứng qua trục Oy, nên có dạng $y=|ax|$. Từ hình vẽ, tại $x=2$ (và $x=-2$) thì $y=1$, suy ra $|2a|=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}$. Vậy đồ thị là của hàm số $y=\left|\frac{1}{2}x\right|$. Kiểm tra: với $y=|x|$ thì tại $x=2$ có $y=2$ (loại C); với $y=|2x|$ thì tại $x=2$ có $y=4$ (loại D); $y=|3-x|$ có đỉnh tại $x=3$ (loại B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, tương ứng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=ax$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a<0$. Trong các hàm số đã cho: $y=x$ có $a=1>0$ (đồng biến), $y=2x$ có $a=2>0$ (đồng biến), $y=\frac{1}{2}x$ có $a=\frac{1}{2}>0$ (đồng biến), còn $y=-2x$ có $a=-2<0$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-2$ vào $f(x)=\sqrt{2x^2+1}$: $f(-2)=\sqrt{2\cdot (-2{)}^2+1}=\sqrt{8+1}=\sqrt{9}=3$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $4-x\ge 0$ và $x-2\ge 0$, tức $2\le x\le 4$. Vậy $D=[2;4]$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $10>2$ nên $f(10)=10^2+m=100+m$. Theo đề bài $f(10)=2026$, suy ra $100+m=2026\Rightarrow m=1926$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 1: 1926).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x-2}$ xác định khi mẫu khác 0, tức $x-2\ne 0\iff x\ne 2$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Đáp án A, trùng với bảng đáp án mã đề 0102 (câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x-2026}$ xác định khi và chỉ khi $x-2026\ge 0$, tức $x\ge 2026$. Vậy tập xác định là $D=[2026;+\infty )$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x-2026}$ xác định khi và chỉ khi $x-2026\ge 0$, tức $x\ge 2026$. Vậy tập xác định là $D=[2026;+\infty )$. Đáp án khớp với bảng đáp án (mã đề 0101, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $10>2$ nên $f(10)=10^2+m=100+m=2026$, suy ra $m=2026-100=1926$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1926).

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án: $P(x)=a{x}^2$ với $a$ là hằng số thực tùy ý.

Bước 1: Thay $x=y=z=0$ ta được $3P(0)=6P(0)$, suy ra $P(0)=0$.

Bước 2: Thay $(x,y,z)=(t,-t,0)$ (thỏa $x+y+z=0$):
$$P(t^2)+P(t^2)+P(0)=2[P(-t^2)+P(0)+P(0)]\Rightarrow P(t^2)=P(-t^2).$$
Vì tập $$\begin{gathered} {t}^2:t\in \mathbb{R} \\ =[0,\infty ) \end{gathered}$$ và $P$ là đa thức, hai đa thức $P(u)$ và $P(-u)$ trùng nhau trên $[0,\infty )$ nên trùng nhau trên toàn $mathbbR$, tức $P$ là đa thức chẵn. Vậy $P(x)=Q(x^2)$ với $$\begin{gathered} Q(t)= \\ su{m}_{k=0}^n{c}_k{t}^k \end{gathered}$$.

Bước 3: Khi $x+y+z=0$, không mất tổng quát giả sử $z=-(x+y)$. Đặt $u=x^2,v=y^2$, phương trình trở thành
$$\begin{gathered} Q(u^2)+Q(v^2)+Q((u+v{)}^2)=2 \\ big[Q(uv)+Q(v(u+v))+Q(u(u+v)) \\ big] \end{gathered}$$
với mọi $$\begin{gathered} u,v \\ ge0 \end{gathered}$$, do đó là đồng nhất thức đa thức theo $u,v$. So sánh từng bậc, với mỗi $k$ phải có
$$\begin{gathered} u^{2k}+v^{2k}+(u+v{)}^{2k}=2 \\ big[(uv{)}^k+(v(u+v){)}^k+(u(u+v){)}^k]. \end{gathered}$$

- $k=0$: $$\begin{gathered} 3c_0=6c_0 \\ Rightarrow{c}_0=0 \end{gathered}$$.
- $k=1$: vế trái $=2u^2+2v^2+2uv$, vế phải $=2u^2+2v^2+6uv$, không đồng nhất $Rightarrow{c}_1=0$.
- $$\begin{gathered} k \\ ge1 \end{gathered}$$ nói chung: thay $v=u$, vế trái $=u^{2k}(2+4^k)$, vế phải $=2u^{2k}(1+2^{k+1})$. Đồng nhất đòi hỏi $4^k=2^{k+2}$, tức $2k=k+2$, suy ra $k=2$. Vậy $c_k=0$ với mọi $$\begin{gathered} k \\ neq2 \end{gathered}$$.

Bước 4: Kiểm tra $k=2$ thỏa mãn: với $x+y+z=0$ ta có $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$ và
$$x^4+y^4+z^4=2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2),$$
(do $(x^2+y^2+z^2{)}^2=4(xy+yz+zx{)}^2$ và $(xy+yz+zx{)}^2=x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+2xyz(x+y+z)$). Do đó với $P(x)=a{x}^2$:
$$P(x^2)+P(y^2)+P(z^2)=a(x^4+y^4+z^4)=2a(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)=2[P(xy)+P(yz)+P(zx)].$$

Kết luận: Tất cả các đa thức thỏa mãn là $P(x)=a{x}^2$, $$\begin{gathered} a \\ in \\ mathbbR \end{gathered}$$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$ vào $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$: $f(1)=\frac{2\cdot 1+1}{1-3}=\frac{3}{-2}=-1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+5}-2\sqrt{4-x}$ xác định khi $x+5\ge 0$ và $4-x\ge 0$, tức $-5\le x\le 4$. Vậy tập xác định là $[-5;4]$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ba phương án A, B, C đều là phương trình đường tròn (thiếu biến y bậc nhất, với mỗi x có thể có hai giá trị y hoặc không có y), nên không phải hàm số. Riêng phương án D: $3x^2+2y-5x+3=0\iff y=\frac{-3x^2+5x-3}{2}$, với mỗi giá trị x có duy nhất một giá trị y tương ứng, nên đây là hàm số (hàm bậc hai).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x}{x+5}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $x+5\ne 0\iff x\ne -5$. Vậy điều kiện xác định là $x\ne -5$ (tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới căn dương (vì nằm ở mẫu): $x-2>0\iff x>2$. Vậy tập xác định là $D=(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $x-1\ne 0\iff x\ne 1$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{3x-1}$ xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm: $3x-1\ge 0\iff x\ge \frac{1}{3}$. Vậy $D=\left[\frac{1}{3};+\infty \right)$, tương ứng phương án A. (Lưu ý: trong đề in, phương án B và C hiển thị giống nhau là $[0;+\infty )$, nhưng không ảnh hưởng đáp án đúng là A.)