Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm số cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}$ xác định trên $[-1;3]$. Ta có $y^2=(x+1)+(3-x)+2\sqrt{(x+1)(3-x)}=4+2\sqrt{4-(x-1{)}^2}$. Vì $4-(x-1{)}^2\in [0;4]$ nên $y^2\in [4;8]$, suy ra $y>0$ nên $y\in [2;2\sqrt{2}]$. + GTNN $m=2$ đạt tại $x=-1$ hoặc $x=3$ → mệnh đề a đúng. + GTNN $M=2\sqrt{2}$ đạt tại $x=1$ (vì $(x+1)(3-x)$ lớn nhất bằng 4 khi $x=1$), không phải tại $x=-1$ (tại $x=-1$ thì $y=2$ là GTNN) → mệnh đề b sai. + $M+m=2\sqrt{2}+2\ne 4\sqrt{2}$ → mệnh đề c sai. + Bất phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}-m\ge 0\forall x\in [-1;3]$ tương đương $m\le \min y=2$, tức $m\in (-\infty ;2]$ → mệnh đề d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
GTNN của hàm số bằng 2, đạt tại $x=-1$ và $x=3$ (vì $y^2=4+2\sqrt{4-(x-1{)}^2}\ge 4$).
b) (AI giải đề cho tôi)
GTLN $M=2\sqrt{2}$ đạt tại $x=1$, không phải tại $x=-1$; tại $x=-1$ hàm số đạt GTNN bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M+m=2\sqrt{2}+2\ne 4\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình đúng với mọi $x\in [-1;3]$ khi và chỉ khi $m\le \min y=2$, tức $m\in (-\infty ;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $a=1$ vào phương trình hàm: $f(x+1)=f(x)+f(1)-2f(x)f(1)=f(x)+1-2f(x)=1-f(x)$. Suy ra $f(x+2)=1-f(x+1)=1-(1-f(x))=f(x)$, tức $f$ tuần hoàn chu kỳ 2. Với $x=0,a=1$: $f(1)=f(0)+f(1)-2f(0)f(1)$, thay $f(1)=1$ được $1=f(0)+1-2f(0)$ nên $f(0)=0$. Do đó $f(2026)=f(0)=0$ (vì $2026$ chẵn) và $f(2025)=f(1)=1$ (vì $2025$ lẻ). Vậy $H=f(2026)+f(2025)=0+1=1$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1011: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Với $15<x\le 25$: 8 phút đầu giá 5000 đ/phút, 7 phút tiếp theo (phút 9 đến 15) giá 5500 đ/phút, các phút từ 16 đến $x$ giá 6000 đ/phút. Số tiền phải trả (đồng): $y=8\cdot 5000+7\cdot 5500+(x-15)\cdot 6000=40000+38500+6000x-90000=6000x-11500$. Đổi ra nghìn đồng: $y=6x-11,5$, vậy $a=6$, $b=-11,5$, nên $a+b=-5,5$.

Trước tiên, ta xét $P(x)$ đồng nhất với 0, thay vào ta được $0=0.0$ (luôn đúng)
Xét trường hợp $P(x)$ không đồng nhất với 0, đặt $\mathrm{deg}P(x)=n(n\ge 0)$

Ta xét bậc của hai vế: $\mathrm{deg}(P(x^2))=2.\mathrm{deg}P=2n$

Đặt $Q(x)=x^3$ và $\mathrm{deg}Q=m=3$, vì vậy:

deg$(x^3.P(x))=\mathrm{deg}(Q.P)=\mathrm{deg}Q+\mathrm{deg}P=3+n$

Vì vậy ta có được $2n=3+n\iff n=3$

Chính vì vậy $P(x)$ là một đa thức bậc 3, nên có dạng tổng quát: $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
$\iff P(x^2)=a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d$
$\iff x^3.P(x)=x^3.(a{x}^3+b{x}^2+cx+d)=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$

Ta cần bằng hệ số:
So sánh các hệ số của $x^6$: $a{x}^6=a{x}^6$ (luôn đúng với mọi $a$)
So sánh các hệ số của $x^5$: $b{x}^4=b{x}^5\iff b=0$
So sánh các hệ số của $x^4$: $c{x}^2=c{x}^4\iff c=0$
So sánh các hệ số của $x^3$: $d=d{x}^3\iff d=0$

Vì vậy đa thức thoả mãn là $P(x)=a{x}^3$ (a là số thực tuỳ ý)

Thử lại $P(x^2)=a{x}^6$ và $x^3.P(x)=a{x}^6$ (đúng)

[Ghi chú sửa lỗi nguồn, do agent sửa câu hỏi: nguồn in 'Ta cần bằng hệ số' (thiếu chữ 'cân') và các đẳng thức so sánh hệ số viết dưới dạng 'bx⁴ = bx⁵ ⟺ b = 0', 'cx² = cx⁴ ⟺ c = 0', 'd = dx³ ⟺ d = 0' (trang 10) — đây là lỗi trình bày của nguồn. Lập luận đúng là: so sánh hệ số của $x^5$, $x^4$, $x^3$ trong đẳng thức $a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$: vế trái không có các lũy thừa $x^5,x^4,x^3$ nên $b=0$, $c=0$, $d=0$. Kết luận cuối cùng $P(x)=a{x}^3$ của nguồn là chính xác và được giữ nguyên.]

Đặt $u=x+y,v=xy$. Vì $x,y\in [0;1]$ nên $u\ge 0,v\ge 0$.
Giả thiết: $x^2+y^2=-3xy+1⟺(x+y{)}^2-2xy=-3xy+1⟺u^2+v=1⟺v=1-u^2$.
Điều kiện tồn tại $x,y$:
1) $v\ge 0⟹1-u^2\ge 0⟹u\le 1$.
2) $u^2\ge 4v⟺u^2\ge 4(1-u^2)⟺5u^2\ge 4⟺u\ge \frac{2}{\sqrt{5}}$ (do $u\ge 0$).
3) Do $x,y\in [0;1]$ nên $(1-x)(1-y)\ge 0⟺1-u+v\ge 0⟺1-u+1-u^2\ge 0⟺u^2+u-2\le 0⟺-2\le u\le 1$, điều này luôn thỏa với $u\in [\frac{2}{\sqrt{5}};1]$.
Do đó tập giá trị của $S=x+y$ là đoạn $[a;b]=\left[\frac{2}{\sqrt{5}};1\right]$.
Khi đó $a=\frac{2}{\sqrt{5}},b=1⟹a^2+b^2={\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^2+1^2=\frac{4}{5}+1=\frac{9}{5}$. Chọn C.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R},z\ne 4$). Ta có $|z-3i|=5⟺x^2+(y-3{)}^2=25⟺x^2+y^2-6y-16=0$ (1). Số phức $\frac{z}{z-4}=\frac{(x+yi)(x-4-yi)}{(x-4{)}^2+y^2}=\frac{x(x-4)+y^2-4yi}{(x-4{)}^2+y^2}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0: $x(x-4)+y^2=0⟺x^2+y^2-4x=0$ (2). Trừ (1) cho (2) ta được: $4x-6y-16=0⟺2x=3y+8⟺x=\frac{3y+8}{2}$. Thay vào (2): $13y^2+24y=0⟺y=0$ hoặc $y=-\frac{24}{13}$. Với $y=0⟹x=4$, khi đó $z=4$ loại vì làm mẫu số triệt tiêu. Với $y=-\frac{24}{13}⟹x=\frac{16}{13}\ne 4$, thỏa mãn. Vậy có đúng 1 số phức $z$. Chọn A.

Chọn A.
Điều kiện để hàm số xác định là:
$\{\begin{array}{l}x-m+7\ge 0\\ m-x\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge m-7\\ x\le m\end{array}\iff m-7\le x\le m.$
Để hàm số xác định trên $[-4;3]$ thì $[-4;3]\subseteq [m-7;m]$:
$\iff \{\begin{array}{l}m-7\le -4\\ m\ge 3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 3\end{array}\iff m=3.$
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên của $m$ là $m=3$.

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Vì $|z|=1$ nên $x^2+y^2=1⟹-1\le y\le 1$.
Ta có $z-\bar{z}=2yi$.
Khi đó: $5(z-\bar{z})-8-6i=10yi-8-6i=-8+(10y-6)i$.
$|5(z-\bar{z})-8-6i|=12⟺(-8{)}^2+(10y-6{)}^2=12^2=144$
$⟺64+(10y-6{)}^2=144⟺(10y-6{)}^2=80⟺10y-6=\pm 4\sqrt{5}$
$⟺y=\frac{6\pm 4\sqrt{5}}{10}=\frac{3\pm 2\sqrt{5}}{5}$.
- Với $y_1=\frac{3+2\sqrt{5}}{5}\approx 1,494>1$ (loại vì không thỏa mãn $-1\le y\le 1$).
- Với $y_2=\frac{3-2\sqrt{5}}{5}\approx -0,294\in [-1;1]$ (thỏa mãn).
Với giá trị $y_2$, ta có $x^2=1-y_2^2>0⟹x=\pm \sqrt{1-y_2^2}$ cho ta đúng 2 giá trị của $x$.
Vậy có tất cả 2 số phức $z$ thỏa mãn.