Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng định lí cosin. a) BI² = AB² + AI² − 2·AB·AI·cos60° = 16 + 9 − 12 = 13 ⇒ BI = √13 cm, đúng. c) BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 16 + 25 − 20 = 21 ⇒ BC = √21 cm, đúng. b) Các cạnh là AB = 4, BC = √21 ≈ 4,58, AC = 5; cạnh lớn nhất AC: AC² = 25 < AB² + BC² = 16 + 21 = 37 nên tam giác nhọn, mệnh đề 'tù' sai. d) Trong tam giác BIC: BI = √13, IC = AC − AI = 2, BC = √21; cos BIC = (BI² + IC² − BC²)/(2·BI·IC) = (13 + 4 − 21)/(4√13) = −1/√13 = −√13/13 < 0, nên mệnh đề cos BIC = √13/13 sai (dấu sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
BI² = 4² + 3² − 2·4·3·cos60° = 25 − 12 = 13 ⇒ BI = √13 cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC = √21 ≈ 4,58; cạnh lớn nhất AC = 5 có AC² = 25 < 16 + 21 = 37 nên tam giác nhọn, không tù.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC² = 4² + 5² − 2·4·5·cos60° = 41 − 20 = 21 ⇒ BC = √21 cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos BIC = (13 + 4 − 21)/(2·√13·2) = −1/√13 = −√13/13, giá trị âm nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Vậy $A=60^{\circ }$, tức $a=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $2R=\frac{10}{\sin 60^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}$, suy ra $R=\frac{10}{\sqrt{3}}$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=16+25-20=21\Rightarrow BC=\sqrt{21}\approx 4,58<5=AC$, nên a) sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{21}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{7}$, diện tích $=\pi R^2=7\pi c{m}^2$, nên b) đúng. Tam giác $ABI$ có $AI=3,AB=4,\widehat{BAI}=60^{\circ }\Rightarrow B{I}^2=9+16-2\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=13\Rightarrow BI=\sqrt{13}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{BI}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{39}}{3}$, chu vi $=2\pi R=\frac{2\sqrt{39}\pi }{3}cm\ne \frac{\sqrt{39}\pi }{3}cm$, nên c) sai. Theo định lí sin: $\frac{\sin B}{AC}=\frac{\sin A}{BC}\Rightarrow \sin B=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=21\Rightarrow BC=\sqrt{21}\approx 4,58<5=AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}}=\sqrt{7}\Rightarrow S=\pi R^2=7\pi c{m}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BI=\sqrt{13}$, $R=\frac{\sqrt{13}}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{39}}{3}$, chu vi $=\frac{2\sqrt{39}\pi }{3}cm$, khác $\frac{\sqrt{39}\pi }{3}cm$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin B=\frac{AC\sin A}{BC}=\frac{5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình thoi là $a$. Trong tam giác $ABD$ ta có $AB=AD=a$, góc $BAD=150^{\circ }$, và $BD=8$. Theo định lí cosin: $B{D}^2=a^2+a^2-2a^2\cos 150^{\circ }=2a^2(1+\cos 30^{\circ })=2a^2\cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2}=a^2(2+\sqrt{3})$. Suy ra $a^2=\frac{64}{2+\sqrt{3}}=64(2-\sqrt{3})\approx 17.15$, nên $a\approx 4.141$. Cách khác: $BD=2a\sin 75^{\circ }\Rightarrow a=\frac{4}{\sin 75^{\circ }}\approx 4.141$. Vậy độ dài cạnh hình thoi xấp xỉ $4.1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chùm tia đi từ nguồn tia tới khối u, tạo với mặt da góc $\beta$. Khoảng cách từ khối u đến mặt da là 6,3 cm (cạnh đối), khoảng cách từ nguồn tia đến khối u là 9 cm (cạnh kề). Xét tam giác vuông, ta có $\tan \beta =\frac{\text{cạnh đoˆˊi}}{\text{cạnh keˆˋ}}=\frac{6,3}{9}=0,7$. Vậy $P=\tan \beta =0,7\approx 0,70$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+3^2-2\cdot 8\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=64+9-24=49$. Suy ra $b=7$ (độ dài cạnh dương). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $2R=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$, suy ra $R=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$, nên $BC=AC\cdot \frac{\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=4\cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{6}$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 4a\cdot \sin 120^{\circ }=4a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2a^2\sqrt{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-36}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\frac{\sqrt{224}}{15}=\frac{4\sqrt{14}}{15}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$. Bán kính đường tròn nội tiếp thỏa $S=p\cdot r$, suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$. Vậy đáp án A. (Lưu ý B sai vì mẫu là $a+b+c=2p$, cho kết quả nhỏ gấp đôi.)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=6$, $AC=8$ nên theo định lí Pythagoras: $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm. Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $BM=MC=5$ cm, và trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $AM=\frac{BC}{2}=5$ cm.

Xét tam giác $ABM$ có $AB=6$, $AM=BM=5$. Đây là tam giác cân, đường cao từ $M$ xuống $AB$ có độ dài $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$, nên diện tích $S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12$ cm².

Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB\cdot AM\cdot BM}{4S_{ABM}}=\frac{6\cdot 5\cdot 5}{4\cdot 12}=\frac{150}{48}=\frac{25}{8}=3,125$ cm.

Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy: $R\approx 3,13$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B+C=180^{\circ }$ nên $\cos (A+B)=\cos (180^{\circ }-C)=-\cos C=-\frac{1}{8}$, suy ra $\cos C=\frac{1}{8}$. Áp dụng định lí cosin tại đỉnh $C$ với $AC=4$, $BC=5$, $AB=c$: $$\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\frac{16+25-c^2}{40}=\frac{1}{8}$$ Suy ra $41-c^2=5\Rightarrow c^2=36\Rightarrow c=6$ (độ dài dương). Vậy $AB=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=36+64-48=52$. Suy ra $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với góc $B$ xen giữa hai cạnh $AB=4$, $BC=7$, cạnh đối là $AC=9$:
$$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{4^2+7^2-9^2}{2\cdot 4\cdot 7}=\frac{16+49-81}{56}=\frac{-16}{56}=-\frac{2}{7}.$$
Vậy $\cos B=-\frac{2}{7}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$. Suy ra $AC=AB\cdot \frac{\sin B}{\sin C}=5\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=5\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $AC=1km=1000m$, $CB=800m$, $\widehat{ACB}=105^{\circ }$:

$$A{B}^2=A{C}^2+C{B}^2-2\cdot AC\cdot CB\cdot \cos \widehat{ACB}$$

Ta có $\cos 105^{\circ }=\cos (60^{\circ }+45^{\circ })=\cos 60^{\circ }\cos 45^{\circ }-\sin 60^{\circ }\sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\approx -0,2588$.

Do đó:
$$A{B}^2=1000^2+800^2-2\cdot 1000\cdot 800\cdot \cos 105^{\circ }\approx 1000000+640000+414113=2054113$$

$$AB\approx \sqrt{2054113}\approx 1433,2\text{ (m)}$$

Vậy khoảng cách $AB\approx 1433$ m (làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị mét).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên thỏa bất đẳng thức tam giác: $|b-c|<a<b+c$ (và tương tự cho các cặp khác).
- A: $a<b+c$ nhân với $a>0$ được $a^2<ab+ac$: đúng.
- B: $a^2+c^2<b^2+2ac\iff (a-c{)}^2<b^2\iff |a-c|<b$: đúng theo bất đẳng thức tam giác.
- D: $ab+bc>b^2\iff b(a+c)>b^2\iff a+c>b$: đúng.
- C: $b^2+c^2>a^2+2bc\iff (b-c{)}^2>a^2\iff |b-c|>a$: sai, vì tam giác cho $|b-c|<a$. Vậy mệnh đề không đúng là C.