Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đường trung tuyến: $A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}$. Suy ra $B{C}^2=2A{B}^2+2A{C}^2-4A{M}^2=2\cdot 16+2\cdot 100-4\cdot 36=32+200-144=88$. Vậy $BC=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\approx 9,3808\approx 9,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại B nên góc B = 90°, cạnh b = BC... thực tế b là cạnh huyền (đối diện góc B).

1) Tính góc C: vì A + B + C = 180° nên $C=180^{\circ }-90^{\circ }-62^{\circ }=28^{\circ }$.

2) Tính cạnh a (đối diện góc A): trong tam giác vuông, $\sin A=\frac{a}{b}$ nên
$$a=b\sin A=54\sin 62^{\circ }\approx 54\cdot 0,8829\approx 47,68.$$

3) Tính cạnh c (đối diện góc C): $\cos A=\frac{c}{b}$ nên
$$c=b\cos A=54\cos 62^{\circ }\approx 54\cdot 0,4695\approx 25,35.$$
(Kiểm tra: $a^2+c^2\approx 47,68^2+25,35^2\approx 2918\approx 54^2$, đúng.)

4) Tính đường cao $h_b$ từ B xuống cạnh huyền BC... chính xác là đường cao từ đỉnh B xuống cạnh huyền b: diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}ac=\frac{1}{2}b{h}_b$ nên
$$h_b=\frac{ac}{b}=\frac{47,68\cdot 25,35}{54}\approx 22,37.$$

Kết quả: $C=28^{\circ }$, $a\approx 47,68$, $c\approx 25,35$, $h_b\approx 22,37$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A nên $C=90^{\circ }-B=90^{\circ }-34^{\circ }=56^{\circ }$.

Cạnh huyền $a$ đối diện góc vuông A, cạnh $b$ đối diện góc B:
$$a=\frac{b}{\sin B}=\frac{43}{\sin 34^{\circ }}\approx \frac{43}{0,5592}\approx 76,90.$$

Cạnh $c$ đối diện góc C:
$$c=\frac{b}{\tan B}=\frac{43}{\tan 34^{\circ }}\approx \frac{43}{0,6745}\approx 63,75.$$

Đường cao $h_a$ từ A xuống cạnh huyền BC, dùng diện tích:
$$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}a{h}_a\Rightarrow h_a=\frac{bc}{a}\approx \frac{43\cdot 63,75}{76,90}\approx 35,65.$$

Vậy $C=56^{\circ }$, $a\approx 76,90$, $c\approx 63,75$, $h_a\approx 35,65$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a=BC$, $b=AC=8$ cm, $c=AB=5$ cm, $A=60^0$.

a) Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=89-40=49\Rightarrow BC=7$ cm.

b) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$ cm${}^2\approx 17,32$ cm${}^2$.

c) Theo định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}>0$ nên góc $B$ nhọn. Vậy $B=\arccos \frac{1}{7}\approx 81^{0}47^{\prime }\approx 81,79^0$.

d) Đường cao từ $A$: $AH=c\sin B=5\cdot \sqrt{1-\frac{1}{49}}=5\cdot \frac{4\sqrt{3}}{7}=\frac{20\sqrt{3}}{7}\approx 4,95$ cm. (Kiểm tra: $AH=\frac{2S}{a}=\frac{20\sqrt{3}}{7}$.)

e) Theo định lí sin: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}\approx 4,04$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AB=15m$, $BC=18m$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$:
$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=15^2+18^2-2\cdot 15\cdot 18\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=225+324+270=819.$$
Vậy $AC=\sqrt{819}\approx 28.6m$.
Độ dài dây điện nối từ nhà đến cột điện khoảng $28.6m$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $t$ (giờ) là thời gian đi. Sau $t$ giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=8t$ (hải lí), tàu thứ hai đi được $AC=10t$ (hải lí), với góc $BAC=120^{\circ }$.

Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }$$
$$B{C}^2=(8t{)}^2+(10t{)}^2-2\cdot 8t\cdot 10t\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=64t^2+100t^2+80t^2=244t^2$$

Theo đề bài $BC=60$ hải lí nên:
$$244t^2=3600\Rightarrow t^2=\frac{3600}{244}\Rightarrow t=\frac{60}{\sqrt{244}}\approx 3.841\text{ (giờ)}$$

Vậy sau khoảng $3.8$ giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là $60$ hải lí. (Hình minh họa không có trong tài liệu gốc nhưng dữ kiện đề đủ để giải, không cần hình.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, ta có $\hat{A}=\widehat{CAB}=45^{\circ }$, $\hat{B}=\widehat{CBA}=70^{\circ }$, nên $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-70^{\circ }=65^{\circ }$.

Theo định lí sin:
$$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\Rightarrow \frac{AC}{\sin 70^{\circ }}=\frac{40}{\sin 65^{\circ }}$$

Suy ra
$$AC=\frac{40\cdot \sin 70^{\circ }}{\sin 65^{\circ }}\approx \frac{40\cdot 0,9397}{0,9063}\approx 41,5\text{m}.$$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến gốc cây $C$ xấp xỉ $41,5$ m (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $D$ là chân tháp, $C$ là chân giác kế, $CD=60m$, $OC=1m$ với $OC\perp CD$. Kẻ $OH\perp AD$ tại $H$ (với $A$ là đỉnh tháp), khi đó $OH=CD=60m$ và $AH=AD-OC$. Trong tam giác vuông $AOH$ có $\widehat{AOH}=60^{\circ }$, nên $AH=OH\cdot \tan 60^{\circ }=60\sqrt{3}\approx 103,92m$. Vậy chiều cao tháp $AD=AH+OC=60\sqrt{3}+1\approx 104,92\approx 105m$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, AB=√3, AC=2√3.
(a) Theo định lý Pythagoras: BC² = AB² + AC² = 3 + 12 = 15, nên BC = √15. Mệnh đề (a) đúng.
(b) M là trung điểm BC nên trong tam giác vuông, AM = BC/2 = √15/2 ≈ 1,936, khác √15/4. Mệnh đề (b) sai.
(c) Diện tích tam giác: (1/2)AB·AC = (1/2)AH·BC nên AB·AC = AH·BC = √3·2√3 = 6. Mệnh đề (c) đúng.
(d) AH = 6/√15 = 6√15/15 = 2√15/5 ≈ 1,549, khác √15/5 ≈ 0,775. Mệnh đề (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC² = AB² + AC² = 3 + 12 = 15 (Pythagoras, vuông tại A).
b) (AI giải đề cho tôi)
AM = BC/2 = √15/2, không phải √15/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = AH·BC = 6 (từ diện tích tam giác vuông).
d) (AI giải đề cho tôi)
AH = 6/√15 = 2√15/5 ≈ 1,549, không phải √15/5.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu: A đúng vì $S=\frac{abc}{4R}$ là công thức diện tích tam giác theo bán kính đường tròn ngoại tiếp. B sai vì định lý sin cho $\frac{a}{\sin A}=2R$, tức $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$. C đúng vì $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (tích hai cạnh $b=CA$, $a=BC$ kẹp góc $C$). D đúng vì định lý cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=100-48=52$, nên $b=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC với góc C = 56°16' ≈ 56,2667°: $A{B}^2=C{A}^2+C{B}^2-2\cdot CA\cdot CB\cdot \cos C=200^2+180^2-2\cdot 200\cdot 180\cdot \cos 56^{\circ }16^{\prime }\approx 40000+32400-72000\cdot 0,5556\approx 32397$. Suy ra $AB\approx \sqrt{32397}\approx 180m$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19.

a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có
$$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$
Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.$

b) Diện tích tam giác $ABC$ với hai cạnh $a=4$, $c=5$ và góc xen giữa $B=150^{\circ }$:
$$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S=pr$ với $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi, nên $S=\frac{(a+b+c)r}{2}$, không phải $\frac{(a+b+c)r}{4}$. Do đó mệnh đề A sai. Các mệnh đề B, C, D đều đúng: B là định lí côsin, C là công thức $S=\frac{abc}{4R}$, D là định lí sin.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=100-48=52$, nên $a=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\Rightarrow R=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{9+36-25}{36}=\frac{5}{9}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-\frac{25}{81}}=\frac{\sqrt{56}}{9}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{56}}{9}=\sqrt{56}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=30\cdot 2=60km$, tàu thứ hai đi được $AC=40\cdot 2=80km$, góc $BAC=60^{\circ }$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=3600+6400-2\cdot 60\cdot 80\cdot \frac{1}{2}=10000-4800=5200$. Vậy $BC=\sqrt{5200}=20\sqrt{13}km$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$: góc ngoài tại $B$ bằng $48^{\circ }$ nên góc $ADB=63^{\circ }-48^{\circ }=15^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BD}{\sin 63^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 15^{\circ }}\Rightarrow BD=\frac{24\sin 63^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}$. Chiều cao tháp $h=BD\sin 48^{\circ }=\frac{24\sin 63^{\circ }\sin 48^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx \frac{24\cdot 0,8910\cdot 0,7431}{0,2588}\approx 61,4$ m. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $c^2=20^2+30^2-2\cdot 20\cdot 30\cos 60^{\circ }=400+900-600=700$, nên $c=\sqrt{700}=10\sqrt{7}\approx 26,5$ m. Vậy đáp án A.