Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=-3x^2$. Tại $x_0=-2$: $y(-2)=-(-2{)}^3+1=8+1=9$ và $y^{\prime }(-2)=-3\cdot (-2{)}^2=-12$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $-2$ là $y=y^{\prime }(-2)(x+2)+y(-2)=-12(x+2)+9=-12x-15$. Vậy $y=-12x-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi lên (đi lên ở hai đầu), có cực đại tại điểm có hoành độ âm và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương, đồng thời đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra đáp án C: $y=x^3-2x+1$ có $y(0)=1$ (đúng với đồ thị cắt trục tung tại 1); $y^{\prime }=3x^2-2=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0,58$. Tại $x=-0,58$: $y\approx -0,19+1,15+1\approx 1,96\approx 2$ (cực đại, khớp điểm cực đại khoảng $(-0,6;2)$ trên hình); tại $x=0,58$: $y\approx 0,19-1,15+1\approx 0,04\approx 0$ (cực tiểu chạm trục hoành, khớp hình). Các đáp án khác: A và D là hàm bậc ba đi xuống (loại); B: $y=x^3+2x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+2>0$ không có cực trị (loại). Vậy đồ thị là của hàm số $y=x^3-2x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; hơn nữa ${\lim }_{x\to (-1{)}^{-}}y=-\infty$ và ${\lim }_{x\to (-1{)}^{+}}y=+\infty$. Xét $y=\frac{1-2x}{x+1}$ (đáp án A): tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$; $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(1-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng. Khi $x\to (-1{)}^{-}$: tử $\to 3>0$, mẫu $\to 0^{-}$ nên $y\to -\infty$; khi $x\to (-1{)}^{+}$: $y\to +\infty$. Khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Các đáp án khác: B có tiệm cận ngang $y=2$; C có tiệm cận ngang $y=-2$ nhưng $y^{\prime }=\frac{-2(x+1)-(-2x-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$ (đồng biến); D có tiệm cận đứng $x=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-x^2}{x}=\frac{1}{x}-x$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên c) Đúng. Đạo hàm: $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1=\frac{-(1+x^2)}{x^2}\ne \frac{x^2-1}{x^2}$ nên a) Sai. Vì $x=0$ làm mẫu bằng 0 và ${\lim }_{x\to 0^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=0$, b) Đúng. Vì $y^{\prime }<0$ trên mọi khoảng xác định, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$, không đồng biến, d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{1}{x}-x$ nên $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}-1=\frac{-(1+x^2)}{x^2}$, khác $\frac{x^2-1}{x^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số bằng 0 tại $x=0$ và ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1-x^2}{x}=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1-x^2}{x}=-\infty$, nên tiệm cận đứng là $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x\ne 0$, tức $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-(1+x^2)}{x^2}<0$ với mọi $x\ne 0$, nên hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, hai nhánh đồng biến trên mỗi khoảng, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm (gần $-1$). Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$; TCĐ $x=-1$; TCN $y=1$; $y^{\prime }=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên mỗi khoảng; $y(0)=-1$ khớp giao với trục tung. Loại A (TCĐ $x=-3$, tiệm cận xiên), B (TCN $y=-1$, nghịch biến), D (hàm bậc ba không có tiệm cận). Đáp án C, trùng bảng đáp án mã 101 câu 7: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ và đi qua điểm $(0;-1)$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: mẫu triệt tiêu tại $x=1$ nên TCĐ $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên TCN $y=1$; $y(0)=\frac{1}{-1}=-1$ khớp đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=\frac{-1}{-1}=1$ (không khớp); C có TCĐ $x=-1$; D có TCN $y=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: điểm cực đại là $(0;1)$ nên $f(0)=1$; điểm cực tiểu là $(2;-3)$ nên $f(2)=-3\ne 3$. Các đường nét đứt cho thấy $f(1)=-1\ne 0$ và $f(3)=1\ne -1$. Vậy phát biểu đúng là $f(0)=1$, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm nhất biến có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Nhánh trái cắt trục tung tại $(0;2)$ (giao với $Oy$), còn nhánh phải cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=2$. Vậy giao điểm của $(C)$ và trục $Ox$ là $I(2;0)$, ứng với đáp án B, trùng đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 3: B).

Chọn D
Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a>0$.
Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$.
Suy ra hàm số cần tìm là $y=x^3-x-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a) Hàm số là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$, tức $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) Trên khoảng $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến: Sai.
c) Trên đoạn $[-1;0]$ ta có $x<1$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến trên đoạn này; do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=0$: $f(-1)=-1-6-9+2=-14$, $f(0)=2$, vậy ${\max }_{[-1;0]}f=2$: Đúng.
d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Hàm số nghịch biến trên $(1;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu; $f(3)=27-54+27+2=2$, vậy $y_{CT}=2$: Đúng.
Kết quả Đ-S-Đ-Đ trùng với đáp án đề 2061, Phần 2, Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)<0$ trên $(1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;0]$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; $f(-1)=-14$, $f(0)=2$ nên giá trị lớn nhất bằng 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=1,3$; hàm nghịch biến trên $(1;3)$ và đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu với $f(3)=2$, tức $y_{CT}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba có hai cực trị: khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$, đi xuống đến cực tiểu (bên trái gốc $O$), rồi đi lên qua cực đại (bên phải gốc $O$), rồi lại đi xuống khi $x\to +\infty$. Vậy hệ số $a$ của $x^3$ âm. Loại B, D (hàm bậc bốn, đồ thị trùng phương) và C vì $y=x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ nên đơn điệu tăng, không có cực trị. Xét A: $y=-x^3+3x+1$, $y^{\prime }=-3x^2+3=0⟺x=\pm 1$; $y^{\prime }>0$ khi $|x|<1$, $y^{\prime }<0$ khi $|x|>1$, nên hàm nghịch biến ngoài khoảng và đồng biến trên $(-1;1)$, có cực tiểu tại $x=-1$ và cực đại tại $x=1$ — khớp dạng đường cong trong hình. Đáp án A, trùng đáp án nguồn (Đề 2061, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: TCĐ x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1; TCN y=-1 nên a/c=-1 ⇒ a=1. Đồ thị đi qua (0;-2) ⇒ b=-2. Vậy f(x)=(x-2)/(1-x) (với x≠1). a) Đúng: TCĐ x=1, TCN y=-1. b) Đúng: f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(1-2)/(1-x)^2=-1/(1-x)^2<0 với mọi x≠1. c) Đúng: a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2. Kiểm tra thêm f(2)=0 khớp đồ thị. d) Sai: hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞;1) và (1;+∞), không có cực đại/cực tiểu; A(0;-2) và B(2;0) chỉ là các điểm cắt trục, không phải điểm cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ x=1 (c=-1) và TCN y=-1 (a/c=-1) đúng như đồ thị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với a=1,b=-2,c=-1: f'(x)=(a-bc)/(cx+1)^2=(1-2)/(1-x)^2=-1/(1-x)^2<0 với mọi x≠1.
c) (AI giải đề cho tôi)
a+b+c=1-2-1=-2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, không có điểm cực trị; A(0;-2), B(2;0) là giao điểm với các trục.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba (có hai điểm cực trị, một cực đại bên phải và một cực tiểu bên trái trục Oy, hàm nghịch biến trên khoảng lớn). Loại A, D vì hàm trùng phương có dạng hình W/U. Với $y=x^3+3x+1$: $y^{\prime }=3x^2+3>0$ luôn đồng biến, không có cực trị → loại C. Với $y=-x^3+3x+1$: $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; tại $x=1$ đạt cực đại $y=3$, tại $x=-1$ đạt cực tiểu $y=-1$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và nghịch biến khi $|x|>1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Đề 1061, câu 3: B).

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

[Hình cần kiểm tra lại: p21_f1]

Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ bằng $0$. Suy ra mệnh đề a) đúng.

b) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề b) sai.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$, suy ra mệnh đề c) sai.

d) Điểm cực đại là $A(-1;4)\Rightarrow OA=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{17}$. Suy ra mệnh đề d) đúng.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

Bảng biến thiên:

[Hình cần kiểm tra lại: p21_f1]

Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên khoảng $(-1;+\infty )$ bằng $0$. Suy ra mệnh đề đúng.
b) $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Suy ra mệnh đề sai.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;1)$, suy ra mệnh đề sai.
d) Điểm cực đại là $A(-1;4)\Rightarrow OA=\sqrt{(-1{)}^2+4^2}=\sqrt{17}$. Suy ra mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (trùng với các đáp án A, C, D; loại B vì tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$). Tiệm cận ngang là $y=-1$ và đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Xét $y=\frac{-x+1}{x+1}$: $y(0)=1$ thỏa; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-1$ thỏa. Với A: $y(0)=2$ (loại); với C: $y(0)=0$ (loại). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 202 (câu 8: D).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta phân tích các đặc điểm sau: Tiệm cận đứng: Đồ thị nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-1$ làm tiệm cận ngang, cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $(1;0)$ và $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $(-2;0)$. Xét $y=\frac{x+2}{x+1}$: mẫu bằng 0 tại $x=-1$ nên TCĐ $x=-1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên TCN $y=1$; $y(0)=\frac{2}{1}=2$; $y(-2)=0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$; B có $y(0)=-2$; C có TCĐ $x=1$ và cắt trục hoành tại $x=2$ — đều sai.

Đồ thị hàm số trên hình vẽ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-1$ mà ${\lim }_{x\to +\infty }y=a$, ${\lim }_{x\to -\infty }y=a$ nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=a$ suy ra $a=-1$. Suy ra $y=\frac{-x+b}{x+c}$. Đồ thị hàm số đi qua các điểm $A(0;-2),B(2;0)$ suy ra $\{\begin{array}{l}\frac{b}{c}=-2\\ 0=\frac{-2+b}{2+c}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=2\\ c=-1\end{array}$. $T=a+3b+2c=-1+6-2=3$.

Chọn D. Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số $a>0$. Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $d<0$. Suy ra hàm số cần tìm là $y=x^3-x-2$.

Từ đồ thị suy ra: Hệ số của $x^3$ phải là số dương. Suy ra loại phương án C. Hàm số có hai điểm cực trị nên loại phương án A. (Phương án A hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ do có $y^{\prime }=3x^2+2>0,\forall x\in \mathbb{R}$.) Hàm số không có điểm cực trị $x=0$ nên loại phương án D. (Phương án D hàm số có điểm cực trị $x=0$ do có $y^{\prime }=3x^2-4x=x(3x-4)$.) Vậy đáp án là phương án B.