Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị hàm bậc ba có nhánh phải đi lên ($a>0$), đạt cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$, nên là đồ thị của hàm số $y=x^3-3x+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, cắt trục hoành tại $(2;0)$ và cắt trục tung tại $(0;-2)$, ứng với hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$.

a) Sai vì hàm số có $2$ điểm cực trị ($x=1$ và $x=3$).
b) Đúng vì $y^{\prime }>0$ trên $(3;+\infty )$.
c) Đúng vì đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$.
d) Sai vì trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$, hàm số đạt GTLN tại $x=1$ và $h(1)=1$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 3 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

a) Ta có đạo hàm $y^{\prime }=(-x^3+3x-1{)}^{\prime }=-3x^2+3$. Khẳng định a đúng.

b) Cho $y^{\prime }=0\iff -3x^2+3=0\iff x^2=1\iff x=\pm 1$.
Trên khoảng $(-1;1)$, ta có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Khẳng định b sai.

c) Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1=-1$ và $x_2=1$.
Vì $x_1\cdot x_2=-1<0$ nên hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung $Oy$. Khẳng định c đúng.

d) Trên đoạn $[0;2]$:
- $y(0)=-1$
- $y(1)=1$
- $y(2)=-2^3+3(2)-1=-8+6-1=-3$
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[0;2]$ là ${\min }_{[0;2]}y=y(2)=-3\ne 3$. Khẳng định d sai.

Từ đồ thị:
a) Sai vì trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến.
b) Sai vì hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, còn $-5$ là giá trị cực tiểu.
c) Đúng vì trên $[0;+\infty )$, ${\min }_{[0;+\infty )}f(x)=f(1)=-5$.
d) Đúng vì trên $[-1;2]$, hàm số đạt GTNN bằng $-5$ tại $x=1$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1201:
a) SAI. $y^{\prime }=\frac{x^2-4x}{(x-2{)}^2}>0⟺x<0$ hoặc $x>4$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$.
b) ĐÚNG. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
c) ĐÚNG. $y=x+1+\frac{4}{x-2}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
d) SAI. Với $x=0$, $y=-1\ne 2$, do đó đồ thị không đi qua $M(0;2)$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 16 có đáp án là: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.

- Ý a: Đúng vì mẫu số $x-2\ne 0⟺x\ne 2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
- Ý b: Đúng vì $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (-2)-(-4)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{2}{(x-2{)}^2}>0,\forall x\ne 2$.
- Ý c: Sai vì $f(4)=\frac{4-4}{4-2}=0\ne 2$.
- Ý d: Sai vì hàm số đồng biến trên $[4;6]$, do đó $m=f(4)=0$ và $M=f(6)=\frac{6-4}{6-2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, suy ra $M+m=\frac{1}{2}\ne 2$.

a) ĐÚNG. Từ bảng biến thiên, ta có ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty ⟹a<0$.
b) ĐÚNG. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A(1;2)$ và $B(3;4)$ nên đồ thị đi qua hai điểm $(1;2)$ và $(3;4)$.
c) SAI. Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)=0⟺x=1$ hoặc $x=3$.
d) SAI. Ta có $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^3+3x^2-\frac{9}{2}x+4$. Trên $[2;4]$, $f(2)=3$, $f(3)=4$, $f(4)=2$. Do đó ${\min }_{[2;4]}f(x)=2$ chứ không phải $\frac{7}{2}$.

Hàm số bậc ba $y=x^3+b{x}^2+cx+d$ có hệ số $a=1>0$ và $c<0$ nên $y^{\prime }=3x^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu, suy ra đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung $Oy$ và nhánh cuối đi lên, ứng với Hình $1$.

Đồ thị là đường cong bậc ba có nhánh cuối đi lên ($a>0$), đi qua $(0;1)$ và đạt cực đại tại $(0;1)$, cực tiểu tại $(2;-3)$, ứng với hàm số $y=x^3-3x^2+1$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$, đạt cực đại tại $(-2;-2)$ và cực tiểu tại $(0;2)$, nên là đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

Đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, và cắt trục tung tại $(0;-1)$, cắt trục hoành tại $(-1;0)$ nên là Hình (I).

Đồ thị hàm bậc ba có nhánh phải đi xuống ($a<0$), đạt cực tiểu tại $(0;-1)$ và cực đại tại $(2;3)$, nên là đồ thị của hàm số $y=-x^3+3x^2-1$.

Đồ thị hàm bậc ba có nhánh phải đi xuống ($a<0$), có hai điểm cực trị nằm hai phía trục $Oy$ ($ac<0$), và đi qua $(0;1)$ nên là hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm bậc ba có nhánh phải đi xuống ($a<0$), có hai điểm cực trị nằm hai phía trục $Oy$ ($ac<0$), và đi qua $(0;1)$ nên là hàm số $y=-x^3+3x+1$.

Đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a>0$, hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên hàm số là $y=x^3-3x+1$.

a) Sai vì $f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$. b) Sai vì $f(-2)=0\ne 8$. c) Đúng. d) Đúng vì phương trình $2x^2+mx+m-4=0$ ($x\ne -1$) có $\Delta =(m-4{)}^2+16>0,\forall m\in \mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=-3⟺x=1⟹y(1)=-4$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3(x-1)-4=-3x-1⟹m=-3,n=-1⟹m+n=-4$.

Đồ thị hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại $(0;-4)$ và đạt cực đại tại $(2;0)$, tương ứng với hàm số $y=-x^3+3x^2-4$.

Hàm số $y=x^3-3x^2+4$ có tập xác định $\mathbb{R}$ (a đúng), $y^{\prime }=3x^2-6x$ (b đúng), đạt cực đại tại $(0;4)$ và cực tiểu tại $(2;0)$ nên cả bảng biến thiên ở ý c) và đồ thị ở ý d) đều sai.