Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 0119, Phần II, Câu 3: DDSS (a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng). Nhận xét từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $f(x)\to 2$ nên đồ thị chỉ có một tiệm cận ngang $y=2$ (a Sai); $f^{\prime }(x)<0$ trên phần lớn $(-2;+\infty )$ nên hàm không đồng biến trên khoảng này (b Sai); trên $(-\infty ;0]$, $f$ giảm từ 2 về 1 nên $\min f=1$, do đó $\min h=2\cdot 1-2025=-2023$ (c Đúng); hàm có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=1$ (d Đúng). Nguồn không cung cấp lời giải chi tiết.

Theo bảng đáp án chính thức của đề (mã đề 0119, trang 5), đáp án của Câu 8 là D.

Lưu ý mâu thuẫn với hình vẽ: đồ thị trong hình là đường cong bậc ba có cực đại tại (1;1) và cực tiểu tại (-1;-3), tương ứng với $y=-x^3+3x-1$ (câu A): $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$; $y(1)=1$ (cực đại), $y(-1)=-3$ (cực tiểu). Hàm $y=\frac{x+2}{x-1}$ (câu D) là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, không có cực trị, không khớp với đường cong bậc ba trong hình. Vì đáp án chính thức ghi D nên giữ nguyên D và ghi nhận mâu thuẫn này.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, nên hàm số có dạng $y=\frac{ax+b}{x+1}$ với $a=2$. Xét A: $y=\frac{2x-1}{x+1}=2-\frac{3}{x+1}$, có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, tiệm cận đứng $x=-1$; với $x<-1$ thì $y>2$ (nhánh trái nằm trên tiệm cận ngang), với $x>-1$ thì $y<2$ (nhánh phải nằm dưới), $y(0)=-1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Xét C: $y=\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$ có $y(0)=1$, không khớp giao điểm với trục tung trong hình (đồ thị cắt trục tung tại $y=-1$). B là hàm bậc ba không có tiệm cận; D có tiệm cận xiên $y=2x+1$, không phải tiệm cận ngang. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1062, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba đi qua $(-2;0)$, cắt trục tung tại $(0;2)$, tiếp xúc trục hoành tại $(1;0)$ và có cực đại tại $x=-1$. Xét $y=x^3-3x+2$: $y(-2)=-8+6+2=0$, $y(0)=2$, $y(1)=1-3+2=0$; $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ nên $x=1$ là nghiệm kép của phương trình $y=0$ (đồ thị tiếp xúc trục hoành tại $x=1$), $y(-1)=-1+3+2=4$ là cực đại. Tất cả khớp với đồ thị. Loại A (hàm phân thức có tiệm cận), C (hàm bậc ba hệ số âm, đi xuống khi $x\to +\infty$), D (parabol). Đáp án khớp với bảng mã đề 1061: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}=1-\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. a) Trên đoạn $[1;2]$ hàm số đồng biến nên GTNN tại $x=1$: $y(1)=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$ → Đúng. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang $y=1$; ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. c) Vì $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ nên hàm đồng biến trên khoảng này → Đúng. d) Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ không có cực trị, do đó không tồn tại giá trị cực đại $y=1$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên [1;2] nên GTNN tại x=1: y(1)=-1/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim y=1 khi x→±∞ (TCN y=1); lim y→+∞ khi x→-1⁺ (TCĐ x=-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
y'=3/(x+1)²>0 trên (-∞;-1) nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị nên không có giá trị cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+2}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+2)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. a) Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$, nên mệnh đề đồng biến là SAI. b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$; ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$. Mệnh đề ĐÚNG. c) Trên đoạn $[-2;0]$ hàm nghịch biến nên GTLN là $y(-2)=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\ne 6$. Mệnh đề SAI. d) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định nên không có cực trị. Mệnh đề SAI. Kết quả khớp đáp án chính thức SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ (TCN $y=2$) và ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$ (TCĐ $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ nên GTLN $=y(-2)=\frac{2}{3}\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định nên không có giá trị cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$.
a) Đúng: $y^{\prime }>0$ trên mọi khoảng xác định nên hàm số không có cực trị.
b) Sai: Cắt trục hoành tại $A\left(\frac{1}{2};0\right)$, cắt trục tung tại $B(0;-1)$. Diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
c) Đúng: ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=-1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang $y=2$.
d) Đúng: $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002, câu 13: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, hàm số không có cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A\left(\frac{1}{2};0\right)$, $B(0;-1)$, $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ nên đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi từ $-\infty$ đến $+\infty$, có điểm cực đại bên trái trục tung (hoành độ âm), điểm cực tiểu bên phải (hoành độ dương), và cắt trục tung tại điểm có hoành độ gốc dương. Loại D vì hàm phân số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Xét các hàm bậc ba: với $y=x^3-3x+1$ (B), $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ (bên trái trục tung), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), và $y(0)=1>0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Với A, $y=-x^3+3x+1$ có cực đại tại $x=1$ (bên phải) và cực tiểu tại $x=-1$ (bên trái) — ngược với hình. Với C, $y=x^3-3x$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, không khớp hình (đồ thị cắt trục tung tại điểm dương). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1002: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Cắt trục hoành: $2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$, nên $A\left(\frac{1}{2};0\right)$. Cắt trục tung: $y=-1$, nên $B(0;-1)$. Diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.
b) $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, không có $y^{\prime }=0$ nên hàm số không có cực trị → Đúng.
c) Vì $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ → Đúng.
d) $x=-1$ là tiệm cận đứng (mẫu số bằng 0), $y=2$ là tiệm cận ngang (tỉ số hệ số cao nhất $2/1$) → Đúng.
Kết quả: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ, khớp bảng đáp án mã đề 1001 (SĐĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$A\left(\frac{1}{2};0\right)$, $B(0;-1)$, diện tích tam giác $OAB=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với $x\ne -1$, không có nghiệm $y^{\prime }=0$ nên không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ dương (nhánh trái đi xuống, nhánh phải đi lên), có cực đại tại $x<0$ và cực tiểu tại $x>0$, đồng thời cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương. Loại B vì là hàm phân thức có tiệm cận. Loại A vì hệ số $x^3$ âm (nhánh trái đi lên). Với $y=x^3-3x$ thì $y(0)=0$, đồ thị đi qua gốc tọa độ, không khớp hình vẽ. Với $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1>0$ (cắt trục tung phía trên gốc $O$), $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1<0$, cực tiểu tại $x=1>0$, khớp hoàn toàn với hình vẽ. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$. a) Điều kiện $x\ne 1$ nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$: đúng. b) Tại $x=0$: $y=\frac{2}{-1}=-2$, đồ thị cắt trục tung tại $M(0;-2)$: đúng. c) Vì $y=(x-1)+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x-2$: sai. d) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$ (cắt trục tung tại $-1$), nhánh phải có điểm nhỏ nhất $(2;2)$, nhánh trái đi qua $(0;-2)$ — khớp với hình vẽ: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=\frac{0-0+2}{-1}=-2$, nên đồ thị cắt trục tung tại $M(0;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, không phải $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCX $y=x-1$, điểm nhỏ nhất $(2;2)$ trên nhánh phải và đi qua $(0;-2)$ trên nhánh trái, khớp với hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong bậc ba đi từ $+\infty$ (khi $x\to -\infty$) xuống $-\infty$ (khi $x\to +\infty$), có một điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành gần gốc tọa độ và một điểm cực đại tại khoảng $(2;3)$, nên loại ngay các phương án A, C (hàm phân thức có tiệm cận đứng). Xét hai phương án còn lại:
- $y=x^3-3x^2-1$: $y^{\prime }=3x^2-6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-1$ (cực tiểu), $y(2)=8-12-1=-5$ (cực đại). Điểm cực đại có tung độ âm, không khớp hình vẽ (cực đại có tung độ dương khoảng 3) → loại D.
- $y=-x^3+3x^2-1$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$; $y(0)=-1$ (cực tiểu, nằm dưới trục hoành gần gốc), $y(2)=-8+12-1=3$ (cực đại tại $(2;3)$, đúng như hình vẽ). Đồng thời $y=0\Rightarrow x^3-3x^2+1=0$ cho nghiệm gần $x\approx 0,65$ và $x\approx 2,53$, khớp với hai giao điểm của đồ thị với trục hoành trong hình.
Vậy hàm số có đồ thị như hình vẽ là $y=-x^3+3x^2-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên, nhánh phải đạt cực tiểu tại điểm có tung độ $2$ khi $x=0$. Xét $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x+1$; $y(0)=2$; $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\Rightarrow x=0$ (cực tiểu, $y=2$) và $x=-2$ (cực đại, $y=-1$), khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác có tiệm cận đứng $x=2$ (C, D) hoặc không cho giá trị $y(0)=2$ với cực trị đúng vị trí (B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, và $y(0)=\frac{1}{-1}=-1$ — khớp hoàn toàn. Loại A vì $y(0)=1$; loại C vì TCĐ $x=-1$; loại D vì TCĐ $x=-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: nhánh phải đi lên nên $a>0$. Cực đại nằm bên trái trục tung ($x_1<0$) và cực tiểu nằm bên phải ($x_2>0$), do đó tổng hai nghiệm của $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c=0$ là $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$; tích hai nghiệm $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm phía trên gốc $O$ nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1203, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ nên có TCĐ $x=1$; bậc tử bằng bậc mẫu nên có TCN $y=\frac{1}{1}=1$; tại $x=0$ có $y=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Tất cả khớp với hình vẽ. Hàm ở D cho $y(0)=-2$, không khớp; B và C là đa thức không có tiệm cận. Đáp án A, trùng đáp án nguồn (mã 1203, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(0;2)$ và cắt trục hoành tại $x=2$. Xét $y=\frac{x-2}{x-1}$: tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$; ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên có TCĐ $x=1$; ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCN $y=1$; $y(0)=\frac{-2}{-1}=2$; $y=0\iff x=2$. Tất cả khớp với hình vẽ. Các đáp án khác: A và C là đa thức (không có tiệm cận), D có $y(0)=-2$ và cắt trục hoành tại $x=-2$ (không khớp). Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nhìn đồ thị hàm bậc ba: hai nhánh đi lên nên $a>0$. Điểm cực đại có hoành độ $x_1<0$, điểm cực tiểu có hoành độ $x_2>0$. y' = 3ax²+2bx+c có hai nghiệm $x_1,x_2$ với $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$; $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0\Rightarrow c<0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Vậy $a>0,b<0,c<0,d>0$, khớp đáp án D (cũng trùng với bảng đáp án mã đề 1201: câu 9 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=1$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$. Xét $y=\frac{x-1}{x+1}$: có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1$; tại $x=1$ thì $y=0$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có TCĐ $x=1$, TCN $y=2$; B là hàm bậc ba không có tiệm cận; C có TCĐ $x=2$, TCN $y=x+3$ — đều loại. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Đề 2, Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, nghịch biến trên mỗi khoảng, cắt trục tung tại điểm có tung độ âm. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên mỗi khoảng xác định; $y(0)=-1<0$ — tất cả phù hợp hình vẽ. A có tiệm cận ngang $y=2$ nên loại; C có tiệm cận đứng $x=2$ nên loại; D là hàm bậc ba nên loại. Vậy đáp án là B, trùng đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1: B).