Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mệnh đề, phủ định, điều kiện cần/đủ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ví dụ a=1, b=-2 thì a≥b nhưng 1<4. b) Đúng: a=9k=3(3k). c) Sai: tam giác vuông có góc 60° không đều. d) Đúng: a=ck, b=cm nên a+b=c(k+m).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ: a=1, b=-2 thì a≥b nhưng a²=1 < 4=b².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu a chia hết cho 9 thì a=9k=3·(3k), nên a chia hết cho 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông có các góc 60°, 90°, 30° có một góc 60° nhưng không đều.
d) (AI giải đề cho tôi)
a=ck, b=cm nên a+b=c(k+m), chia hết cho c.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 6 = 2·3 và 2, 3 nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 2 và 3 ⟺ n chia hết cho 6. a) Đúng: P⇔Q được phát biểu 'khi và chỉ khi'. b) Đúng: P⇔Q nghĩa là P là điều kiện cần và đủ để có Q. c) Đúng: n chia hết cho 2 và 3 (vì 2, 3 nguyên tố cùng nhau) suy ra n chia hết cho 6. d) Sai: vì P⇔Q là mệnh đề đúng (như c và chiều ngược lại cũng đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q được phát biểu đúng là 'n chia hết cho 2 và 3 khi và chỉ khi n chia hết cho 6'.
b) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q tương đương với việc P là điều kiện cần và đủ để có Q.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nếu n chia hết cho cả 2 và 3, do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên n chia hết cho 6; mệnh đề P⇒Q đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
P⇔Q là mệnh đề đúng (cả P⇒Q và Q⇒P đều đúng), nên khẳng định 'P⇔Q là mệnh đề sai' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $P(x)$: '$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$'.

a) Thay $x=0$ ta được $0^2=0\ne 1$, nên $P(0)$ là mệnh đề SAI. Do đó khẳng định '$P(0)$ là mệnh đề SAI' là ĐÚNG.

b) Vì tồn tại $x=1\in \mathbb{Z}$ (hoặc $x=-1$) sao cho $x^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề ĐÚNG. Khẳng định ĐÚNG.

c) Phát biểu bằng lời: 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1' — đúng nghĩa của tồn tại $\exists$. Khẳng định ĐÚNG.

d) Phủ định của mệnh đề tồn tại là mệnh đề với lượng từ toàn phần và phủ định kết luận: $\overline{P(x)}$: '$\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$'. Đề đưa ra '$\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$' là SAI (chỉ đổi dấu bằng thành khác bằng mà không đổi lượng từ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $0^2=0\ne 1$, nên $P(0)$ là mệnh đề SAI; khẳng định 'P(0) là mệnh đề SAI' đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tồn tại $x=1\in \mathbb{Z}$ với $1^2=1$, nên $P(x)$ là mệnh đề ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phát biểu bằng lời 'có một số nguyên $x$ bình phương bằng 1' đúng nghĩa của $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định đúng phải là $\forall x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$ (đổi $\exists$ thành $\forall$), không phải $\exists x\in \mathbb{Z}:x^2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
P(x): x > x³. a) P(1): 1 > 1 sai. b) P(1/3): 1/3 > 1/27 đúng. c) ∀x∈N, P(x) sai vì với x=2 ta có 2 > 8 sai. d) ∃x∈N, P(x): xét x=0: 0>0 sai; x=1: 1>1 sai; x≥2: x<x³ sai. Không tồn tại số tự nhiên x thỏa mãn, nên mệnh đề này SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(1): 1 > 1³ = 1 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(1/3): 1/3 > (1/3)³ = 1/27 là đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì với x = 2 ∈ ℕ ta có 2 > 8 sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không tồn tại x ∈ ℕ để x > x³: x=0 cho 0>0 sai, x=1 cho 1>1 sai, x≥2 cho x<x³. Vậy mệnh đề ∃x∈ℕ, P(x) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề $P\Rightarrow Q$ với $P$: "$x\in \mathbb{N},x>0$" và $Q$: "$x^2-9\le 0$". Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ đúng khi $P$ sai hoặc $Q$ đúng. Vì đề xét các giá trị $x\in \mathbb{N},x>0$ nên $P$ đúng, khi đó mệnh đề đúng khi và chỉ khi $Q$ đúng: $x^2-9\le 0\iff -3\le x\le 3$. Kết hợp $x\in \mathbb{N},x>0$ ta được $x\in \{1;2;3\}$. Vậy có 3 giá trị của $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Mệnh đề $\forall x\in \mathbb{R},x^2+2-a>0$ đúng khi và chỉ khi biểu thức $x^2+2-a>0$ với mọi $x$ thực. Vì $x^2\ge 0$ với mọi $x$ và giá trị nhỏ nhất $x^2=0$ đạt tại $x=0$, điều kiện cần và đủ là $2-a>0$, tức $a<2$. Các giá trị nguyên dương của $a$ thỏa mãn $a<2$ là $a=1$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên dương của $a$ để mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A: Mệnh đề đảo là 'Nếu $tx=ty$ thì $x=y$'. Sai vì khi $t=0$ thì $tx=ty=0$ với mọi $x,y$, ví dụ $x=1,y=2$ thì $0=0$ nhưng $x\ne y$.
- B: Mệnh đề đảo là 'Nếu $x^3>y^3$ thì $x>y$'. Đúng vì hàm $f(t)=t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, nên $x^3>y^3\iff x>y$.
- C: Mệnh đề đảo là 'Nếu số nguyên $n$ chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của $n$ bằng 9'. Sai vì $n=6$ chia hết cho 3 nhưng tổng chữ số bằng 6, không phải 9.
- D: Mệnh đề đảo là 'Nếu $x^2>y^2$ thì $x>y$'. Sai vì lấy $x=-2,y=1$ thì $4>1$ nhưng $-2<1$.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) Hình vuông là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau — đúng, vì hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì là hình vuông. B) Sai: ba đường trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm, chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ (tính từ đỉnh), không phải tại trung điểm mỗi đường. C) Sai: tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông là giao các đường phân giác, không phải trung điểm cạnh huyền (trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp). D) Sai: ba đường cao đồng quy tại trực tâm, nhưng với tam giác tù trực tâm nằm ngoài tam giác. Vậy chỉ mệnh đề A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì với $x=0$ ta có $x^2=0$, không thỏa $x^2>0$. b) Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$ thì $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$. c) Đúng vì $n^2+n+2=n(n+1)+2$, tích $n(n+1)$ của hai số nguyên liên tiếp luôn chẵn nên $n(n+1)+2$ chẵn, chia hết cho 2. d) Đúng: nếu $5\mid n^2$ thì $5$ là số nguyên tố chia hết $n^2=n\cdot n$ nên $5\mid n$, tức $n⋮5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $x=0$ thì $x^2=0$, không thỏa mãn $x^2>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng, ví dụ $a=\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}$, khi đó $a^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}=a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì $n^2+n+2=n(n+1)+2$; $n(n+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chẵn, cộng thêm 2 vẫn chẵn, do đó chia hết cho 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: nếu $n^2⋮5$ thì vì 5 là số nguyên tố và $5\mid n\cdot n$ nên $5\mid n$, tức $n⋮5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: ∀x∈ℝ phát biểu là 'tất cả các số thực x' và x²−x+1>0 nghĩa là x²−x+1 dương. b) Sai: phủ định của ∀ là ∃ và đổi dấu > thành ≤, nên phải là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0, không phải >0. c) Đúng: phủ định đúng của P là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0. d) Đúng: x²−x+1 = (x−1/2)²+3/4 ≥ 3/4 > 0 với mọi x, nên P là mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
∀x∈ℝ, x²−x+1>0 phát biểu bằng lời: 'Tất cả các số thực x đều thỏa mãn x²−x+1 dương'.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định của P là ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0, không phải x²−x+1>0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phủ định đúng: ∃x∈ℝ, x²−x+1≤0.
d) (AI giải đề cho tôi)
x²−x+1=(x−1/2)²+3/4>0 với mọi x∈ℝ nên P đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 51.

a) Mệnh đề $A$: "$\forall x\in \mathbb{R},x^2-3x=5$". Phủ định của mệnh đề chứa lượng từ "$\forall$" là mệnh đề chứa lượng từ "$\exists$" với kết luận bị phủ định:
$$\overline{A}:\exists x\in \mathbb{R},x^2-3x\ne 5.$$

b) Mệnh đề $B$: "Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau." Đây là mệnh đề có dạng "$P\Rightarrow Q$" (nếu một tam giác là tam giác đều thì nó có ba cạnh bằng nhau). Phủ định của "$P\Rightarrow Q$" là "$P\wedge \overline{Q}$", nên:
$$\overline{B}:\text{Toˆˋn tại một tam giaˊc đeˆˋu khoˆng coˊ ba cạnh ba˘ˋng nhau.}$$

(cách phát biểu khác: "Có một tam giác đều mà ba cạnh của nó không cùng bằng nhau.")

c) Mệnh đề "$A\iff B$" (mệnh đề tương đương) có các cách phát biểu:
- "$A$ khi và chỉ khi $B$";
- "$A$ là điều kiện cần và đủ để có $B$";
- "$B$ là điều kiện cần và đủ để có $A$";
- "$A$ nếu và chỉ nếu $B$";
- "$A$ tương đương với $B$".

Ngoài ra, "$A\iff B$" đúng khi cả "$A\Rightarrow B$" và "$B\Rightarrow A$" cùng đúng, tức là $A$ và $B$ cùng đúng hoặc cùng sai.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. a) A: “∀x∈ℝ, x²+1>0”. Mệnh đề ĐÚNG vì với mọi x∈ℝ ta có x²≥0 nên x²+1≥1>0. Phủ định: ¬A: “∃x∈ℝ, x²+1≤0”. b) B: “∀x∈ℝ, x+2=x”. Mệnh đề SAI vì chẳng hạn với x=0 ta có 0+2=2≠0. Phủ định: ¬B: “∃x∈ℝ, x+2≠x”. c) C: “∃n∈ℕ, n²−3n+2=0”. Mệnh đề ĐÚNG vì phương trình n²−3n+2=0 có nghiệm n=1, n=2 (đều thuộc ℕ). Phủ định: ¬C: “∀n∈ℕ, n²−3n+2≠0”. d) D: “∃x∈ℚ, x²=5”. Mệnh đề SAI vì phương trình x²=5 có nghiệm x=±√5, mà √5 là số vô tỉ nên không tồn tại x∈ℚ thỏa mãn. Phủ định: ¬D: “∀x∈ℚ, x²≠5”.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề đảo của từng phương án:
- A. Mệnh đề: Nếu $a=b$ thì $a^2=b^2$. Đảo: Nếu $a^2=b^2$ thì $a=b$ — sai, vì $(-2{)}^2=2^2$ nhưng $-2\ne 2$.
- B. Mệnh đề: Nếu hình thoi có một góc bằng $90^{\circ }$ thì hình thoi đó là hình vuông. Đảo: Nếu hình vuông thì nó là hình thoi có một góc bằng $90^{\circ }$ — đúng, vì hình vuông là hình thoi có một góc vuông.
- C. Mệnh đề: Nếu $a$ chia hết cho 6 thì $a$ chia hết cho 3. Đảo: Nếu $a$ chia hết cho 3 thì $a$ chia hết cho 6 — sai, ví dụ $a=3$.
- D. Mệnh đề: Nếu một số tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5. Đảo: Nếu một số chia hết cho 5 thì số đó tận cùng bằng 5 — sai, ví dụ 10 chia hết cho 5 nhưng tận cùng bằng 0.
Vậy chỉ có mệnh đề ở phương án B có mệnh đề đảo đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A) Sai, vì ví dụ $a=-1<b=1$ nhưng $\frac{1}{a}=-1>1=\frac{1}{b}$ (mệnh đề chỉ đúng khi $a,b$ cùng dương). B) Đúng: tam giác cân có một góc $60^{\circ }$ thì là tam giác đều. C) Đúng: $x=5\Rightarrow x^2=25$. D) Đúng: nếu $3\mid x$ và $3\mid y$ thì $3\mid x+y$. Vậy mệnh đề Sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $1+3=4$ chẵn nhưng cả hai số đều lẻ.
- B sai: $2\cdot 3=6$ chẵn nhưng chỉ một số chẵn.
- C sai: $1+3=4$ chẵn, không lẻ.
- D đúng: tích hai số tự nhiên lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều lẻ. Thật vậy, nếu một trong hai số chẵn thì tích chẵn; ngược lại nếu cả hai lẻ thì tích lẻ. Vậy mệnh đề đúng là D.

a) Đúng. $P$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x>x^2$ " được phát biểu là "Mọi số thực đều lớn hơn bình phương của chính nó".
b) Đúng. Với $x=1$ ta có $1^2=1>0$ nên $Q$ đúng.
c) Sai. Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x^2\le 0$ ".
d) Đúng. Với $x=2$ ta có $2>4$ sai nên $P$ sai. Do $Q$ đúng, $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.
a) Đúng. $P$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x>x^2$ " được phát biểu là "Mọi số thực đều lớn hơn bình phương của chính nó".
b) Đúng. Với $x=1$ ta có $1^2=1>0$ nên $Q$ đúng.
c) Sai. Mệnh đề phủ định của $Q$ là $\overline{Q}$: " $\forall x\in \mathbb{R}:x^2\le 0$ ".
d) Đúng. Với $x=2$ ta có $2>4$ sai nên $P$ sai. Do $Q$ đúng, $P$ sai nên $Q\Rightarrow P$ là mệnh đề sai.

Đáp số: 37.

$x^2-4>0\iff x<-2$ hoặc $x>2$.

Với $x\in \mathbb{Z}$ và $x\in [-10;31]$:

$x\in \{-10;-9;\dots ;-3\}$ có 8 giá trị.

$x\in \{3;4;\dots ;31\}$ có 29 giá trị.

Vậy có $8+29=37$ giá trị.

Với $n=0\in \mathbb{N}$ thì $0<2.0$ là sai, nên mệnh đề $\forall n\in \mathbb{N}:n<2n$ sai.

Các mệnh đề còn lại đúng: $x^2\ge 0$ với mọi $x$; $x=\frac{1}{2}$ có $\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$; $n=1$ có $1^2=1$.

Chọn D.

Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai, tức là khách mua hóa đơn trên 500 nghìn đồng mà vẫn phải trả tiền giao hàng. Trường hợp mua hóa đơn 600 nghìn đồng và phải trả tiền giao hàng thỏa mãn điều này.