Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=6x^2-4x+1$ là $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$. Do đó $F(x)=2x^3-2x^2+x+C_1$, $G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$. Từ $F(1)=1+C_1=5$ suy ra $C_1=4$; từ $G(0)=C_2=2$ suy ra $C_2=2$. a) Đúng theo công thức nguyên hàm. b) $G(1)=1+2=3\ne 5$ nên sai. c) $F(x)-G(x)=C_1-C_2=2\ne 3$ nên sai. d) $|F(x)-G(x)|=2$ với mọi $x$, diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2\cdot 7=14$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(2x^3-2x^2+x{)}^{\prime }=6x^2-4x+1=f(x)$ nên $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$ với $G(0)=C_2=2$, nên $G(1)=2-2+1+2=3\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nguyên hàm của cùng một hàm số sai khác một hằng số: $F(x)-G(x)=C_1-C_2=4-2=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;8]$, $|F(x)-G(x)|=2$ nên diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2(8-1)=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2x-3\cos x$.
a) Đạo hàm của $y=x^2-3\sin x$ là $y^{\prime }=2x-3\cos x=f(x)$, nên $f(x)$ là một nguyên hàm của $y=x^2-3\sin x$. Đúng.
b) $\int f(x)dx=\int (2x-3\cos x)dx=x^2-3\sin x+C$, không phải $x^2+3\sin x+C$. Sai.
c) Nguyên hàm tổng quát $F(x)=x^2-3\sin x+C$. Điều kiện $F(\frac{\pi }{2})=\frac{{\pi }^2}{4}-3+C=3\Rightarrow C=6-\frac{{\pi }^2}{4}$. Vậy $F(x)=x^2-3\sin x+6-\frac{{\pi }^2}{4}$. Đúng.
d) $F(0)=0-0+6-\frac{{\pi }^2}{4}=6-\frac{{\pi }^2}{4}\ne 3-\frac{{\pi }^2}{4}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3\sin x{)}^{\prime }=2x-3\cos x=f(x)$ nên $f(x)$ là nguyên hàm của $y=x^2-3\sin x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2x-3\cos x)dx=x^2-3\sin x+C$, dấu trước $\sin x$ phải là trừ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2-3\sin x+C$; từ $F(\frac{\pi }{2})=\frac{{\pi }^2}{4}-3+C=3$ suy ra $C=6-\frac{{\pi }^2}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(0)=6-\frac{{\pi }^2}{4}$, không bằng $3-\frac{{\pi }^2}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos (3x)dx=\frac{1}{3}\sin (3x)+C$ vì ${\left(\frac{1}{3}\sin (3x)\right)}^{\prime }=\frac{1}{3}\cdot 3\cos (3x)=\cos (3x)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) Đúng, vì $(F-G{)}^{\prime }=f-g$. b) Sai, vì $\int g(x)dx=\int (5^x-e^x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$. c) Sai, vì $f(x)=x^{3/2}+8$ nên $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, không phải $\frac{5}{2}{x}^{5/2}$. d) Sai: từ $F(0)=5$ suy ra $C_1=5$ nên $F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$; từ $G(0)=\frac{1}{\ln 5}-1$ suy ra $G(x)=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x-1$ nên $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e-1$. Do đó $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e+1$, khác khẳng định đề (thiếu $+1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(F(x)-G(x){)}^{\prime }=f(x)-g(x)$ nên $\int (f-g)dx=F-G+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\int (x\sqrt{x}+8)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, hệ số phải là $\frac{2}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{67}{5}$, $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e-1$, nên $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e+1$, khác khẳng định.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sqrt{2x-1}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{t}dt$ với $t=2x-1$, $dt=2dx$, nên $=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}t\sqrt{t}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}$ là $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot 2\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\ln |x-1|+C$. Với $x=2$: $F(2)=\ln 1+C=C=1$, suy ra $C=1$. Do đó $F(3)=\ln |3-1|+1=\ln 2+1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m^2{x}^2+2(3m+2)x-4$. So sánh với $f(x)=3x^2+10x-4$: hệ số $x^2$ cho $3m^2=3\Rightarrow m=\pm 1$; hệ số $x$ cho $2(3m+2)=10\Rightarrow 3m+2=5\Rightarrow m=1$. Hệ số tự do $-4=-4$ thỏa mãn. Vậy $m=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. a) Tích phân từng hạng tử: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$; $\int 5^{x}dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C$; $\int \sin xdx=-\cos x+C$; $\int \ln xdx=x\ln x-x+C$ (tính bằng tích phân từng phần: $u=\ln x,dv=dx$). Vậy $\int \left(x^2-5^x-\sin x-\ln x\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{5^x}{\ln 5}+\cos x-x\ln x+x+C$ (với $x>0$ do có $\ln x$).

b) Khai triển: ${\left(2x-\frac{1}{2x}\right)}^2=4x^2-2\cdot 2x\cdot \frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}=4x^2-2+\frac{1}{4x^2}$ (với $x\ne 0$). Do đó $\int \left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)dx=\frac{4x^3}{3}-2x+\frac{1}{4}\cdot \frac{x^{-1}}{-1}+C=\frac{4x^3}{3}-2x-\frac{1}{4x}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $\frac{d}{dx}\left(\frac{4x^3}{3}-2x-\frac{1}{4x}\right)=4x^2-2+\frac{1}{4x^2}$ đúng bằng biểu thức đã khai triển.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{3/2}}=x^{-3/2}$. Do đó $\int x^{-3/2}dx=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}+C=-2x^{-1/2}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C$ (với $x>0$). Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{2}{\sqrt{x}}$ là $-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=x^{-3/2}=\frac{1}{x\sqrt{x}}$, đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x\sqrt{x}+8=x^{3/2}+8$ nên $\int f(x)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C$. Với $g(x)=5^x-e^x$ thì $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C$.

a) Đúng. Vì $F,G$ là nguyên hàm của $f,g$ nên $F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$, do đó $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.

b) Sai. $\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, không phải $5^x\ln 5-e^x+C_2$.

c) Sai. Nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, không phải $\frac{5}{2}{x}^{5/2}$.

d) Đúng. Từ $F(0)=5$ suy ra $F(x)=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+5$, nên $F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$. Từ $G(0)=\frac{1}{\ln 5}-1$ suy ra hằng số $C=0$, tức $G(x)=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x$, nên $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$. Vậy $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F-G$ là một nguyên hàm của $f-g$ nên $\int (f(x)-g(x))dx=F(x)-G(x)+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int g(x)dx=\frac{5^x}{\ln 5}-e^x+C_2$, hệ số phải là $\frac{1}{\ln 5}$ chứ không phải $\ln 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^{3/2}+8)dx=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+8x+C_1$, hệ số là $\frac{2}{5}$ chứ không phải $\frac{5}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{2}{5}+8+5=\frac{67}{5}$; $G(1)=\frac{5}{\ln 5}-e$; do đó $F(1)-G(1)=\frac{67}{5}-\frac{5}{\ln 5}+e$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sqrt{2x-1}dx=\int (2x-1{)}^{1/2}dx=\frac{(2x-1{)}^{3/2}}{2\cdot \frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(2x-1{)}^{3/2}+C=\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left[\frac{1}{3}(2x-1)\sqrt{2x-1}\right]}^{\prime }=\frac{1}{3}\left[2\sqrt{2x-1}+(2x-1)\cdot \frac{1}{\sqrt{2x-1}}\right]=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{2x-1}=\sqrt{2x-1}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=\frac{1}{x-1}$ là $F(x)=\ln |x-1|+C$. Với $x>1$: $F(2)=\ln 1+C=0+C=1\Rightarrow C=1$. Vậy $F(3)=\ln 2+1$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=3x^2+10x-4$ thì $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m^2{x}^2+2(3m+2)x-4$. So sánh hệ số: $3m^2=3\Rightarrow m=\pm 1$; $2(3m+2)=10\Rightarrow 6m+4=10\Rightarrow m=1$ (thỏa mãn $m=\pm 1$); hệ số tự do $-4=-4$ đúng. Vậy $m=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}=x^{-3/2}$. Do đó $\int x^{-3/2}dx=\frac{x^{-1/2}}{-1/2}+C=-2x^{-1/2}+C=-\frac{2}{\sqrt{x}}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $-\frac{2}{\sqrt{x}}$ là $-2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2}=x^{-3/2}=\frac{1}{x\sqrt{x}}$, đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+x^3+C$. Theo $F(1)=\frac{2}{\ln 2}+1+C=\frac{2}{\ln 2}$ suy ra $C=-1$. Vậy $F(2)=\frac{4}{\ln 2}+8-1=\frac{4}{\ln 2}+7\approx 5,7708+7=12,7708\approx 12,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{3x^3-5x+1}{x}=3x^2-5+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. Do đó $\int ydx=\int \left(3x^2-5+\frac{1}{x}\right)dx=x^3-5x+\ln |x|+C$. Nguyên hàm phải có hằng số $C$ và dùng $\ln |x|$ vì tập xác định gồm cả $x<0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$ và $\int \frac{3}{{\sin }^{2}x}dx=3\int {\csc }^{2}xdx=-3\cot x+C$. Vậy $\int f(x)dx=-2\cos x-3\cot x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(-2\cos x-3\cot x{)}^{\prime }=2\sin x+3{\csc }^{2}x=f(x)$. Các phương án A–D nằm ở đầu trang 10 và khớp với dữ liệu đề. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3m{x}^2+2x-3$. So sánh với $f(x)=-x^2+2x-3$: hệ số của $x^2$ cho $3m=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$; các hệ số còn lại khớp nhau ($2x$ và $-3$). Vậy $m=-\frac{1}{3}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$, nguyên hàm $F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+x+C$. So sánh với $F(x)=\frac{x^3}{a}+b{x}^2+cx+C$ cho $a=3$, $b=-1$, $c=1$. Vậy $T=a+b+c=3-1+1=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=\sin x$ là $F(x)=-\cos x+C$. Đồ thị đi qua $M(0;1)$ nên $F(0)=-\cos 0+C=-1+C=1\Rightarrow C=2$. Vậy $F(x)=-\cos x+2$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2=0+2=2$. Đáp án A.