Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $M\in SD\subset (SCD)$ và $M\in (MAB)$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng. b) Sai: Trong $(SCD)$, đường thẳng qua $M$ song song với $DC$ (do $AB\parallel DC$ và $AB\subset (MAB)$, $DC\subset (SCD)$) cắt $SC$ tại $N$. Vì $M$ là trung điểm $SD$ và $MN\parallel DC$ nên $N$ là trung điểm $SC$. Giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là $MN$, không phải $MC$. c) Đúng: Như trên, giao điểm của $SC$ và $(MAB)$ là $N$ trung điểm $SC$ (do $MN\parallel DC$, $M$ trung điểm $SD$ suy ra $N$ trung điểm $SC$). d) Sai: $MN\parallel AB$ và $MN=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB\ne AB$ nên $MNBA$ là hình thang, nhưng không có dữ kiện nào cho thấy hai cạnh bên $MA$ và $NB$ bằng nhau, do đó không kết luận được nó là hình thang cân. Khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M$ thuộc $SD\subset (SCD)$ và $M$ thuộc $(MAB)$ nên $M$ là điểm chung của hai mặt phẳng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$, $AB\subset (MAB)$, $CD\subset (SCD)$, giao tuyến đi qua $M$ và song song với $AB$, tức là $MN$ với $N\in SC$, không phải $MC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(SCD)$, qua $M$ kẻ đường song song $DC$ cắt $SC$ tại $N$; vì $M$ là trung điểm $SD$ nên $N$ là trung điểm $SC$, và $N\in (MAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel AB$, $MN=\frac{1}{2}AB$ nên $MNBA$ là hình thang; nhưng không có dữ kiện để kết luận $MA=NB$, nên không phải hình thang cân.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành), khi đó $O\in (SBD)$. Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $OM\parallel SA$. Xét mặt phẳng $(SAC)$: giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $SA$ (vì $SA\parallel OM\subset (SBD)$... chính xác hơn, giao tuyến là $OI$ với $I\in AM$). Vì $OM\parallel SA$, đường thẳng qua $O$ song song $SA$ cắt $AM$ tại $I$ là trung điểm của $AM$... Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),C=(1,1,0),S=(0,0,3)$, $M=(0,5;0,5;1,5)$. Mặt phẳng $(SBD)$: $3x+3y+z=3$. Điểm trên $AM$: $(0,5t;0,5t;1,5t)$, thay vào: $4,5t=3\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $I$ chia $AM$ với $\frac{IA}{IM}=\frac{2/3}{1-2/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1, Phần III: $2$).

Xét hai mặt phẳng $(IMN)$ và $(ABC)$ có $I$ là điểm chung (1).

Mặt khác $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}\iff MN//AB$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(IMN)$ và $(ABC)$ đi qua $I$ và song song với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
M thuộc $SA$ và N thuộc $SB$ nên cả M, N nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, do đó đường thẳng $MN$ nằm trong $(SAB)$. Mặt phẳng $(SAB)$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$. Vì N không trùng trung điểm $SB$ nên $MN$ không song song với $AB$ (nếu $MN\parallel AB$ thì theo định lý Thales N phải là trung điểm $SB$, mâu thuẫn). Vậy $MN$ cắt $AB$ tại một điểm duy nhất, và điểm đó thuộc cả $MN$ lẫn $(ABC)$. Kết luận: giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(6;0;0), C(6;6;0), D(0;6;0). Tam giác SAB đều cạnh 6 nên S(3;0;3√3). M thuộc BC với BM = 2 nên M(6;2;0); K ∈ SA với AK = 2 nên K(1;0;√3). Vectơ chỉ phương SA = (3;0;3√3), SB = (−3;0;3√3) đều có thành phần y bằng 0, nên mặt phẳng (P) qua M song song với SA và SB có pháp tuyến n = (0;1;0), tức (P): y = 2 (song song với mặt (SAB)). Mặt phẳng y = 2 cắt hình chóp tại: M(6;2;0) trên BC; điểm trên SC với t = 1/3: N(4;2;2√3); điểm trên SD: Q(2;2;2√3); điểm trên AD: R(0;2;0). Đa giác là hình thang cân MNRQ với hai đáy MR = 6, NQ = 2, hai cạnh bên MN = QR = √(2² + (2√3)²) = 4, chiều cao = 2√3. Diện tích = (6+2)/2 · 2√3 = 8√3 ≈ 13,856 ≈ 13,9. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13,9.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Vì $O=AC\cap BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt là $S$ và $O$, suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng $SO$. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1112: C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng thì có và chỉ có một mặt phẳng. Các phương án khác không đủ điều kiện: một đường thẳng và một điểm thuộc nó (A) chỉ xác định đường thẳng; ba điểm tùy ý có thể thẳng hàng (C); hai đường thẳng tùy ý có thể trùng nhau hoặc không cùng thuộc một mặt phẳng (D). Đáp án khớp với mã đề 1112: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý về điều kiện xác định mặt phẳng: qua ba điểm không thẳng hàng ta luôn vẽ được đúng một mặt phẳng. Các phương án khác không đủ điều kiện: hai đường thẳng thuộc mặt phẳng có thể trùng nhau hoặc không cắt nhau trong mặt phẳng đó; ba điểm bất kỳ có thể thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm thuộc nó chỉ xác định đường thẳng chứ không xác định mặt phẳng. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1111, Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ trục gốc S với các vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

b) $\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{SE}-\overrightarrow{SK}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}$, không tỉ lệ với $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, nên $KE$ không song song $BC$ → Sai.

c) $E\in SC\subset (SCD)$ nên $E$ nằm trên mặt phẳng $(SCD)$ → Đúng.

d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$ → Đúng.

a) Điểm $H=KE\cap (SAD)$: viết $P=K+t(E-K)=\frac{1}{2}\vec{b}+t\left(\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\right)$ và $P=\alpha \vec{a}+\beta (\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$. So sánh hệ số: $\beta =-\frac{1}{2}$, $\frac{t}{3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=-\frac{3}{2}$. Vậy $H$ nằm ngoài đoạn $KE$ phía trên $K$, khi đó $\frac{HE}{HK}=\frac{|t-1|}{|t|}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}\approx 1,67\ne 0,76$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp đáp án SSDD của mã đề 1111.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính theo tọa độ gốc S: H ứng với tham số t = -3/2 trên đường thẳng KE nên HE/HK = 5/3 ≈ 1,67 ≠ 0,76 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ KE = (1/3)c − (1/2)b không tỉ lệ với BC = c − b nên KE không song song BC → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
E thuộc SC nên E thuộc mặt phẳng (SCD) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) nên BC ∥ (SAD) → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh 6 nên $S(3;0;3\sqrt{3})$. Mặt phẳng $(SAB)$ là mặt phẳng $y=0$, nên $(P)$ đi qua $M\in BC$ với $BM=2$, tức $M(6;2;0)$, và song song với $(SAB)$ có phương trình $y=2$. Khi đó thiết diện: $(P)$ cắt $AD$ tại $N(0;2;0)$, cắt $BC$ tại $M(6;2;0)$, cắt $SC$ tại $I$ với $\frac{SI}{SC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ nên $I(4;2;2\sqrt{3})$, cắt $SD$ tại $J(2;2;2\sqrt{3})$. Thiết diện là hình thang $NMIJ$ trong mặt phẳng $y=2$ với hai đáy song song $NM=6$, $IJ=2$ và chiều cao $2\sqrt{3}$. Diện tích $S=\frac{6+2}{2}\cdot 2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\approx 13,856\approx 13,9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 13,9.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy cả $S$ và $O$ đều thuộc hai mặt phẳng, do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1111, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm không đồng phẳng, bất kỳ ba điểm nào cũng không thẳng hàng. Mỗi bộ ba điểm xác định một mặt phẳng, số bộ ba là $C_4^3=4$. Vậy xác định được 4 mặt phẳng phân biệt, khớp với đáp án D của mã đề 1104.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì M, N thuộc tam giác SAB nên mặt phẳng (ABNM) chính là mặt phẳng (SAB). Đường thẳng SO cắt mặt phẳng (SAB) tại S (O không thuộc (SAB)), không phải điểm D.
b) Đúng. O là giao điểm của AC và BD nên O thuộc BD và O thuộc (SAC). Vậy BD ∩ (SAC) = O, mà O là trung điểm của AC (tính chất hình bình hành).
c) Sai. Đường thẳng SA cắt mặt phẳng đáy (ABCD) tại điểm A (A thuộc SA và thuộc (ABCD)), không phải D.
d) Đúng. Xét mặt phẳng (SAC): mặt phẳng (MNCD) chứa M và C (vì C, D thuộc (MNCD)), nên giao tuyến của (MNCD) và (SAC) là đường thẳng MC. Gọi I = SO ∩ (MNCD), khi đó I = SO ∩ MC nằm trong tam giác SAC. Vì M là trung điểm SA và O là trung điểm AC nên MC và SO là hai đường trung tuyến của tam giác SAC, cắt nhau tại trọng tâm I. Suy ra SI : IO = 2 : 1, tức SI = 2IO. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(ABNM) chính là mặt phẳng (SAB) vì M, N thuộc tam giác SAB; SO cắt (SAB) tại S chứ không phải D.
b) (AI giải đề cho tôi)
O thuộc BD và O thuộc (SAC), O là trung điểm AC nên giao điểm là trung điểm của AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
SA cắt (ABCD) tại A, không phải D.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng (SAC), giao tuyến của (MNCD) với (SAC) là MC; I = SO ∩ MC là trọng tâm tam giác SAC nên SI = 2IO.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục affine với đáy: $A=0$, $B=\mathbf{b}$, $D=\mathbf{d}$, $C=\mathbf{b}+\mathbf{d}$, $O=(\mathbf{b}+\mathbf{d})/2$, $S=O+h\mathbf{k}$. Khi đó $M=(1/2,0,0)$, $N=(0,1/2,0)$, $P=(1/2,1/2,2h/3)$ (vì $SP=SO/3$). Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình dạng $2x+2y-\frac{3}{2h}z=1$. Điểm $H$ trên $SC$: $H=S+t(C-S)$ với $t=SH/SC$, tọa độ $(1/2+t/2,1/2+t/2,h(1-t))$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2+2t-\frac{3}{2}(1-t)=1⟹\frac{7}{2}t=\frac{1}{2}⟹t=\frac{1}{7}$. Vậy $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{7}$, phân số tối giản $a/b=1/7$, suy ra $a.b=7$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 3 = 7).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ toạ độ khái quát: đặt $\vec{A}=0$, $B=b$, $D=d$, $C=c$ (các vectơ cơ sở). Khi đó $M=\frac{b}{2}$, $N=\frac{c+d}{2}$, $P=\frac{d}{4}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $BD$ có dạng $I=(1-s)b+sd$ với $s=\frac{\overline{BI}}{\overline{BD}}$. Vì $I\in (MNP)$ nên $I=\alpha M+\beta N+\gamma P$, $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số theo $c$: $\frac{\beta }{2}=0\Rightarrow \beta =0$. So sánh hệ số theo $b$: $\frac{\alpha }{2}=1-s$; theo $d$: $\frac{\gamma }{4}=s$. Kết hợp $\alpha +\gamma =1$: $2(1-s)+4s=1\Rightarrow s=-\frac{1}{2}$. Vậy $I=\frac{3}{2}B-\frac{1}{2}D$, tức $I$ nằm ngoài đoạn $BD$ phía trên $B$, với $IB=\frac{1}{2}BD$ và $ID=\frac{3}{2}BD$. Suy ra $\frac{IB}{ID}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$, phân số tối giản với $a=1,b=3$, nên $a+b=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (4).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BN$ của tam giác này, với $\frac{BG}{GN}=2$. Xét tam giác $ABN$: $M$ là trung điểm $AB$, $G$ nằm trên cạnh $BN$, do đó đường thẳng $AG$ nằm trong mặt phẳng $(ABN)$. Đường thẳng $MN$ cũng nằm trong mặt phẳng $(ABN)$ (vì $M\in AB$, $N\in BN$). Trong mặt phẳng $(ABN)$, hai đường thẳng $AG$ và $MN$ không song song (vì $\frac{BG}{GN}=2\ne \frac{AM}{MB}=1$, nên $G$ không phải điểm để $AG\parallel MN$), suy ra chúng cắt nhau. Vậy $AG$ cắt đường thẳng $MN$. Các phương án khác sai: $AG$ không nằm trong mặt phẳng $(BCD)$ nên không cắt $CD$ (và cũng không cắt $DN$ vì $DN\subset (BCD)$); $CM$ và $AG$ không cùng mặt phẳng nên không cắt nhau. Kết quả khớp với đáp án mã đề 1104: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$. Trong tam giác $SAC$, $E$ là trung điểm của $SA$ nên $E\in (SAC)$, và $O\in AC\subset (SAC)$. Do đó đường thẳng $OE$ nằm hoàn toàn trong mặt phẳng $(SAC)$. Kiểm tra các phương án khác: $O\notin (SBC)$, $E\notin (ABCD)$, và $(CDE)$ cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $OE$ nhưng $OE$ không nằm trong $(CDE)$ vì $E,C$ xác định $(CDE)$ còn $O$ không thuộc mặt phẳng đó (nếu $O\in (CDE)$ thì $(CDE)\equiv (CDO)=(ABCD)$, mâu thuẫn vì $E\notin (ABCD)$). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$. Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, nên $O$ thuộc cả $AC\subset (SAC)$ và $BD\subset (SBD)$. Vậy $S$ và $O$ đều thuộc hai mặt phẳng, do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bốn điểm không đồng phẳng, mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không thẳng hàng. Số tổ hợp chập 3 của 4 điểm là $C_4^3=4$, tương ứng các mặt phẳng $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$. Vậy có 4 mặt phẳng phân biệt. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $ABCD$ là hình bình hành nên $O=AC\cap BD$ là trung điểm $AC$. Vì $O\in AC\subset (SAC)$ nên $BD\cap (SAC)=O$, tức giao điểm là trung điểm của $AC$.
b) Sai: $A\in (ABCD)$ và $A\in SA$ nên $SA\cap (ABCD)=A$, không phải $D$.
c) Sai: $M\in SA\subset (SAC)$ và $A\in (SAC)$ nên $(ABNM)\cap (SAC)=AM$. Trong tam giác $SAC$, $AM$ là trung tuyến từ $A$ (vì $M$ trung điểm $SA$) và $SO$ là trung tuyến từ $S$ (vì $O$ trung điểm $AC$), nên $SO\cap AM$ là trọng tâm tam giác $SAC$, không phải điểm $D$.
d) Đúng: $M,C$ cùng thuộc $(SAC)$ và $(MNCD)$ nên $(MNCD)\cap (SAC)=MC$. Gọi $I=SO\cap MC$; trong tam giác $SAC$, $SO$ và $MC$ là hai trung tuyến nên $I$ là trọng tâm, do đó $SI=2IO$.
So khớp đáp án nguồn (Mã đề 1102, Phần II Câu 4, trang 7): a) Đ, b) S, c) S, d) Đ — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $O=AC\cap BD$ là trung điểm $AC$ (tính chất hình bình hành) và $O\in (SAC)$, nên $BD\cap (SAC)=O$ là trung điểm $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA$ cắt mặt đáy $(ABCD)$ tại $A$ vì $A\in (ABCD)$, không phải $D$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(ABNM)\cap (SAC)=AM$; trong tam giác $SAC$, $SO$ và $AM$ là hai trung tuyến cắt nhau tại trọng tâm, không phải điểm $D$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(MNCD)\cap (SAC)=MC$; $I=SO\cap MC$ là trọng tâm tam giác $SAC$ (vì $M$, $O$ là trung điểm $SA$, $AC$), nên $SI=2IO$.