Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\vec{A}=\vec{0}$, $\vec{B}=\vec{b}$, $\vec{C}=\vec{c}$, $\vec{D}=\vec{d}$. Khi đó $\vec{M}=\frac{\vec{b}}{2}$, $\vec{N}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$, $\vec{P}=\frac{\vec{d}}{4}$. Điểm $I$ trên đường thẳng $BD$: $\vec{I}=(1-t)\vec{b}+t\vec{d}$ với $t=\frac{BI}{BD}$. Vì $I\in (MNP)$ nên $\vec{I}=\vec{M}+\alpha (\vec{N}-\vec{M})+\beta (\vec{P}-\vec{M})$. So sánh hệ số theo $\vec{c}$: $\alpha =0$. Theo $\vec{d}$: $\frac{\beta }{4}=t\Rightarrow \beta =4t$. Theo $\vec{b}$: $\frac{1}{2}-\frac{\beta }{2}=1-t\Rightarrow \frac{1}{2}-2t=1-t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$. Vậy $I$ nằm ngoài đoạn $BD$, phía phía $B$: $\vec{I}=\frac{3}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{d}$. Suy ra $\overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{d})$, $\overrightarrow{ID}=\frac{3}{2}(\vec{b}-\vec{d})$, do đó $\frac{IB}{ID}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$. Vậy $a=1,b=3\Rightarrow a+b=4$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án Phần III, Mã đề 1102, Câu 2 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(2;0;0)$, $D=(0;2;0)$, $C=(2;2;0)$, $O=(1;1;0)$, $S=(0;0;3)$. Khi đó $M=(1;0;0)$, $N=(0;1;0)$. Vì $SO=3SP$ nên $SP=\frac{1}{3}SO$, suy ra $P=S+\frac{1}{3}(O-S)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};2\right)$.

Vectơ $\overrightarrow{MN}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{MP}=\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3};2\right)$, nên pháp tuyến của $(MNP)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(2;2;\frac{1}{3}\right)$, tức phương trình mặt phẳng: $6x+6y+z=6$.

Điểm $H$ trên $SC$: $H=S+t(C-S)=(2t;2t;3-3t)$ với $t=\frac{SH}{SC}$. Thay vào: $12t+12t+3-3t=6\Rightarrow 21t=3\Rightarrow t=\frac{1}{7}$.

Vậy $\frac{SH}{SC}=\frac{1}{7}$, $a=1$, $b=7$, $a.b=7$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành tâm O nên AC và BD cắt nhau tại O, tức O thuộc cả AC và BD. Do đó O thuộc mặt phẳng (SAC) (vì O ∈ AC) và thuộc mặt phẳng (SBD) (vì O ∈ BD). Mặt khác, S cũng thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung S và O, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng SO. Đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$, do đó $O\in AC$. Mặt khác $E$ là trung điểm của $SA$ nên $E\in SA$. Vậy cả $O$ và $E$ đều thuộc mặt phẳng $(SAC)$, suy ra đường thẳng $OE\subset (SAC)$. Các mặt phẳng $(SBC)$, $(ABCD)$, $(CDE)$ không đồng thời chứa $O$ và $E$ (ví dụ $E\notin (ABCD)$ vì $E$ nằm trên cạnh $SA$ ngoài đáy). Đáp án khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BN$ của tam giác này, do đó $G\in BN$ với $\frac{BG}{GN}=2$ (lưu ý $G$ không phải là trung điểm của $BN$). Xét mặt phẳng $(ABN)$: vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\in (ABN)$, và $A,G\in (ABN)$, do đó cả đường thẳng $AG$ và đường thẳng $MN$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABN)$. Trong tam giác $ABN$: $MN$ là đường trung tuyến từ $N$ (vì $M$ là trung điểm của $AB$), còn $AG$ là đường thẳng từ $A$ cắt cạnh $BN$ tại điểm $G$ với $\frac{BG}{GN}=2$. Hai đường thẳng $AG$ và $MN$ nằm trong cùng mặt phẳng $(ABN)$ và không song song (vì $G$ không phải trung điểm $BN$ nên $AG$ không song song với $MN$), do đó chúng cắt nhau. Vậy $AG$ cắt $MN$. Các đường thẳng $CM$, $CD$, $DN$ không thỏa mãn. Đáp án khớp với mã đề 1102: A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $A$ nằm trong hình bình hành biểu diễn mặt phẳng $(P)$ nên $A\in (P)$; điểm $B$ nằm ngoài mặt phẳng nên $B\notin (P)$. Với điểm, ký hiệu đúng là $\in$ (không dùng $\subset$ dành cho tập hợp). Vậy khẳng định đúng là $A\in (P)$, trùng đáp án nguồn (mã đề 201, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy điểm $A$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ (kí hiệu $A\in (P)$), còn điểm $B$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Xét các khẳng định: A sai vì $A$ là điểm, không dùng kí hiệu $\subset$; B đúng vì $A\in (P)$; C sai vì $B$ nằm ngoài $(P)$; D sai vì $B$ là điểm, không dùng kí hiệu $\not\subset$. Vậy đáp án đúng là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: B).

Chọn D. Ta có $MN$ cắt $BD$ tại $I$ nên $\{\begin{array}{l}I\in MN\subset (ABD)\\ I\in BD\end{array}\Rightarrow I$ thuộc các mp $(ABD),(BCD),(CMN)$.

Chọn B. Ta có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow \{\begin{array}{l}MN\parallel AB\\ MN=\frac{1}{2}AB\end{array}$ (1). Lại có $\{\begin{array}{l}CD\parallel AB\\ CD=\frac{1}{2}AB\end{array}$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $\{\begin{array}{l}MN\parallel CD\\ MN=CD\end{array}$ nên tứ giác MNCD là hình bình hành $\Rightarrow MD\parallel NC$.

Chọn C. Ta có G là điểm chung của 2 mp (GIJ) và (BCD). Mà $IJ\parallel CD$ nên giao tuyến của 2 mp (GIJ) và (BCD) là đường thẳng qua $G$ và song song với $CD$.

a) S, O là 2 điểm chung của (SAC) và (SBD) nên $SO=(SAC)\cap (SBD)\Rightarrow$ a) Đúng.
b) Ta có $(OIA)\equiv (ACI)\Rightarrow C=CD\cap (OIA)\Rightarrow$ b) Đúng.
c) Chọn mp(SAD) chứa SA, K là điểm chung của 2 mặt phẳng $(SAD),(CKB)$. Lại có $BC\parallel AD$ nên $(SAD)\cap (CKB)=Kx$ ($Kx\parallel AD\parallel BC$). Trong mặt phẳng (SAD), đường Kx cắt SA tại J thì J là điểm chung của SA và (CKB) $\Rightarrow$ c) Sai.
d) Do K là trung điểm của SD, KJ song song với AD nên J là trung điểm của SA. Lại có I là trung điểm của SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow IJ\parallel AB$ mà $AB\parallel CD$ nên $IJ\parallel CD\Rightarrow$ d) Đúng.
a) S, O là 2 điểm chung của (SAC) và (SBD) nên $SO=(SAC)\cap (SBD)\Rightarrow$ a) Đúng.
b) Ta có $(OIA)\equiv (ACI)\Rightarrow C=CD\cap (OIA)\Rightarrow$ b) Đúng.
c) Chọn mp(SAD) chứa SA, K là điểm chung của 2 mặt phẳng $(SAD),(CKB)$. Lại có $BC\parallel AD$ nên $(SAD)\cap (CKB)=Kx$ ($Kx\parallel AD\parallel BC$). Trong mặt phẳng (SAD), đường Kx cắt SA tại J thì J là điểm chung của SA và (CKB) $\Rightarrow$ c) Sai.
d) Do K là trung điểm của SD, KJ song song với AD nên J là trung điểm của SA. Lại có I là trung điểm của SB nên IJ là đường trung bình của tam giác SAB $\Rightarrow IJ\parallel AB$ mà $AB\parallel CD$ nên $IJ\parallel CD\Rightarrow$ d) Đúng.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}S\in (SAD)\cap (SBC)\\ AD\parallel BC\\ AD\subset (SAD)\\ BC\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=Sx$ (Sx qua $S$, $Sx\parallel AD\parallel BC$). (0,5 điểm)
b) Ta có $\{\begin{array}{l}M\subset SC\subset (SAC)\\ O\subset AC\subset (SAC)\end{array}\Rightarrow M,O\in (SAC)$. Xét mặt phẳng $(SAC)$ có $SO\cap AM=I\Rightarrow \{\begin{array}{l}I\in SO\subset (SBD)\\ I\in AM\end{array}\Rightarrow I=AM\cap (SBD)$. Ta có $AM\cap SO=I$ và O, M lần lượt là trung điểm của AC, SO nên SO, AM là hai đường trung tuyến của tam giác SAC. Do đó I là trọng tâm tam giác SAC. Vậy $\frac{AI}{AM}=\frac{2}{3}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ nghĩa là mọi điểm của $d$ đều thuộc $(P)$, tức $d$ là tập con của $(P)$, kí hiệu $d\subset (P)$. Không dùng kí hiệu $\in$ vì $\in$ dành cho phần tử thuộc tập hợp. Đáp án khớp với mã đề 201, câu 2: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SHD)$ và $(SAC)$ có điểm chung là $S$. Gọi $I=HD\cap AC$: vì $I\in HD\subset (SHD)$ và $I\in AC\subset (SAC)$ nên $I$ cũng là điểm chung. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SI$. Đáp án khớp với mã đề 201 (câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCDE$ có đáy là ngũ giác $ABCDE$ (5 cạnh) và đỉnh $S$. Số mặt bên bằng số cạnh đáy là 5 mặt $(SAB,SBC,SCD,SDE,SEA)$, cộng thêm mặt đáy $(ABCDE)$ nên tổng số mặt là $5+1=6$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Ta có $AD\subset (SAD)$ và $BC\subset (SBC)$, do đó $BC\parallel (SAD)$ (vì $BC$ song song với $AD$ nằm trong $(SAD)$, và $BC\not\subset (SAD)$). Mặt khác $BC\subset (SBC)$, nên giao tuyến $d=(SAD)\cap (SBC)$ là đường thẳng đi qua $S$ (điểm chung của hai mặt phẳng) và song song với $BC$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng (tiên đề: qua hai điểm phân biệt cho trước có đúng một đường thẳng). B sai vì nếu ba điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng; chỉ khi ba điểm không thẳng hàng mới có duy nhất một mặt phẳng. C đúng (hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo một giao tuyến duy nhất chứa mọi điểm chung). D đúng (tồn tại bốn điểm không đồng phẳng, ví dụ bốn đỉnh không cùng mặt của một hình chóp). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 101, câu 14: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ được kí hiệu là $A\in (P)$ vì $A$ là một điểm (phần tử) còn $(P)$ là tập hợp các điểm, nên dùng kí hiệu thuộc $\in$, không dùng kí hiệu chứa $\subset$. Đáp án khớp với mã đề 101, câu 19: B.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải chi tiết Câu 5 (Phần II):

a) Ta có $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD$ với $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

Vì $AM\subset (SAC)$ nên $E=AM\cap (SBD)=AM\cap SO$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $SO$ (hai đường thẳng không song song trong $(SAC)$), khi đó $E=AM\cap (SBD)$.

b) Xét $(MAD)$ và $(SBC)$: vì $AD\parallel BC$ nên $AD\parallel (SBC)$, suy ra giao tuyến của $(MAD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$ (đồng thời song song với $BC$). Gọi đường thẳng này cắt $SB$ tại $P$. Trong tam giác $SBC$, đường thẳng qua $M$ (trung điểm của $SC$) và song song với $BC$ cắt $SB$ tại trung điểm của $SB$ (định lý đường trung bình). Vậy $P$ là trung điểm của $SB$ và $P=SB\cap (MAD)$.

c) Xét mặt phẳng $(AMK)$:
- Vì $K\in AF$ nên đường thẳng $AF=AK\subset (AMK)$, do đó $N=AF\cap BD\in (AMK)$.
- $A,M\in (AMK)$ nên $AM\subset (AMK)$, suy ra $E\in AM\subset (AMK)$.
- $K,M\in (AMK)$ nên $KM\subset (AMK)$, suy ra $I=KM\cap SD\in (AMK)$.

Mặt khác, tất cả đều thuộc mặt phẳng $(SBD)$:
- $N\in BD\subset (SBD)$.
- $E\in SO\subset (SBD)$ (theo câu a).
- $I\in SD\subset (SBD)$.

Vậy $N,E,I$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMK)$ và $(SBD)$. Hai mặt phẳng này phân biệt (vì $A\notin (SBD)$) nên giao tuyến của chúng là một đường thẳng. Do đó $N$, $E$, $I$ thẳng hàng. Đpcm.