Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Chọn 4 học sinh nam, có $C_{20}^4=4845$ cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ, có $C_{15}^3=455$ cách chọn. Số cách để chọn ra một đội gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ để trực trường là: $C_{20}^4.C_{15}^3=2204475$ cách chọn.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{abc}$. $c\in \{1;2;3;4;6\}$ nên có 5 cách chọn chữ số $c$; có 5 cách chọn $a$; có 4 cách chọn $b$. Vậy có $\mathrm{5.5.4}=100$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ nên chữ số tận cùng phải là 1, 7 hoặc 9: có 3 cách chọn. Chữ số hàng chục nghìn khác 0 và khác chữ số đã chọn ở vị trí tận cùng: còn 4 cách. Ba vị trí còn lại chọn từ 4 chữ số còn lại: $A_4^3=24$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 24=288$ số. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh (3 nam, 2 nữ, mỗi người là một cá nhân khác nhau) vào 5 ghế trên bàn dài là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách. Đáp án khớp với mã đề 209, Câu 9: A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trong khai triển $(x+3{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}{3}^k$, số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=1$: $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, đây là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần), không phải số hạng thứ ba.
b) Sai. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 (đều khác 0, được lặp lại) lập số có 4 chữ số: mỗi vị trí có 4 cách chọn nên có $4^4=256$ số, không phải 24 (24 chỉ đúng nếu các chữ số không lặp: $4!=24$).
c) Đúng. Số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chọn chữ số hàng đơn vị lẻ có 3 cách (1, 3, 5); chọn chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị có 4 cách; hai chữ số còn lại từ 4 chữ số còn lại có $4\cdot 3=12$ cách. Tổng: $3\cdot 4\cdot 12=144$ số.
d) Đúng. Chọn 4 học sinh từ 12 học sinh (5 nam + 7 nữ): $C_{12}^4=\frac{12!}{4!8!}=495$ cách.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ là $C_5^1{x}^4\cdot 3=15x^4$, là số hạng thứ hai theo thứ tự số mũ của $x$ giảm dần, không phải thứ ba.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì các chữ số được lặp lại, số số có 4 chữ số là $4^4=256$, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng đơn vị: 3 cách (1,3,5); hàng nghìn: 4 cách; hai vị trí còn lại: $4\cdot 3=12$ cách. Tổng $3\cdot 4\cdot 12=144$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{12}^4=495$ cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh.

Có 5 cách lấy 1 bi đỏ. Có 4 cách lấy 1 bi xanh. Vậy, số cách lấy 2 bi có đủ cả hai màu là $5.4=20$ cách.

Chọn 4 học sinh nam, có $C_{20}^4=4845$ cách chọn. Chọn 3 học sinh nữ, có $C_{15}^3=455$ cách chọn. Số cách để chọn ra một đội gồm 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ để trực trường là: $C_{20}^4.C_{15}^3=2204475$ cách chọn.

Gọi số tự nhiên cần tìm là $\overline{abc}$. $c\in \{1;2;3;4;6\}$ nên có 5 cách chọn chữ số $c$; có 5 cách chọn $a$; có 4 cách chọn $b$. Vậy có $\mathrm{5.5.4}=100$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số lẻ có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số $0,1,2,7,8,9$. Chữ số lẻ là $1,7,9$ (3 chữ số). Chọn chữ số cuối (hàng đơn vị) để số lẻ: $3$ cách. Chọn chữ số đầu tiên (khác $0$ và khác chữ số đã chọn): $4$ cách. Ba chữ số còn lại chọn từ $4$ chữ số còn lại: $A_4^3=24$ cách. Tổng: $3\times 4\times 24=288$ số. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 2 chữ số lập từ các chữ số 1,2,3,4,5: chữ số hàng chục có 5 cách chọn, chữ số hàng đơn vị có 5 cách chọn (được phép lặp lại vì đề không cấm). Theo quy tắc nhân, số số lập được là $5\times 5=25$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 243, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi hành khách có 3 cách chọn toa, nên tổng số khả năng lên tàu tùy ý là $3^3=27$, không phải 9 → ý a sai. Cả 3 khách lên cùng một toa: chọn toa chung trong 3 toa nên có 3 khả năng, không phải 1 → ý b sai. Mỗi khách lên một toa (khác nhau từng người): số cách là hoán vị $3!=6$ → ý c đúng. Có 2 khách cùng toa và khách thứ ba lên toa khác: chọn cặp 2 khách $C_3^2=3$, chọn toa của cặp (3 cách), chọn toa của khách thứ ba (2 cách còn lại) → $3\cdot 3\cdot 2=18$ → ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khách có 3 lựa chọn toa nên tổng số khả năng là $3^3=27$, không phải 9.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả 3 khách lên cùng một toa: chọn 1 trong 3 toa, nên có 3 khả năng, không phải 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khách lên một toa khác nhau: số cách xếp 3 khách vào 3 toa là $3!=6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn cặp 2 khách cùng toa: $C_3^2=3$; chọn toa của cặp: 3 cách; khách thứ ba lên 1 trong 2 toa còn lại: 2 cách. Tổng $3\cdot 3\cdot 2=18$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 10 học sinh thành hàng ngang là hoán vị 10 phần tử: $P_{10}=10!$ → đúng. b) Chọn 5 học sinh trong đó đúng 2 nam: $C_5^2\cdot C_5^3=10\cdot 10=100$ cách, không phải $C_5^2=10$ → sai. c) Để 5 nam luôn cạnh nhau và 5 nữ luôn cạnh nhau: coi mỗi nhóm là một khối, hoán vị 2 khối $2!$, trong mỗi khối xếp $5!$ và $5!$, tổng $2!\cdot 5!\cdot 5!$, không phải $5!\cdot 5!$ → sai. d) Để 5 nữ luôn cạnh nhau: coi khối nữ là 1 phần tử, cộng 5 nam được 6 phần tử, xếp $6!$ cách, trong khối nữ xếp $5!$ cách, tổng $5!\cdot 6!$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 10 học sinh thành hàng ngang là hoán vị của 10 phần tử phân biệt: $P_{10}=10!$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 học sinh có đúng 2 nam (và 3 nữ): $C_5^2\cdot C_5^3=10\cdot 10=100$ cách, không phải $C_5^2=10$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $2!\cdot 5!\cdot 5!$ cách (hoán vị 2 khối nam, nữ rồi xếp trong từng khối), không phải $5!\cdot 5!$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Coi 5 nữ là một khối: có 6 phần tử xếp được $6!$ cách, trong khối nữ xếp $5!$ cách, tổng $5!\cdot 6!$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 5. Chọn chữ số 5 ở vị trí cuối (1 cách). Ba vị trí còn lại chọn từ 5 chữ số 1;2;3;4;6 (không lặp): $5\cdot 4\cdot 3=60$ cách. Vậy lập được 60 số, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 2 nên chữ số cuối phải chẵn: có 2 lựa chọn (2 hoặc 4). Sau đó 4 chữ số còn lại được xếp từ 4 phần tử còn lại của tập: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 24=48$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn đúng 3 học sinh giỏi từ 7: $C_7^3$ cách; chọn 2 học sinh khá từ 8: $C_8^2$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 5 học sinh trong đó có đúng 3 học sinh giỏi là $C_7^3\cdot C_8^2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 3 chữ số lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 (không lặp chữ số). Chữ số tận cùng là 0: có $6\cdot 5=30$ số. Chữ số tận cùng là 2, 4 hoặc 6: mỗi trường hợp có $5\cdot 5=25$ số (chữ số hàng trăm khác 0 và khác chữ số tận cùng), tổng $3\cdot 25=75$. Tổng cộng $30+75=105$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 bưu thiếp từ 4 bưu thiếp khác nhau: $A_4^2=4\cdot 3=12$ cách (vì mỗi bưu thiếp bỏ vào một bì thư khác nhau nên có xét thứ tự). Chọn và xếp 2 bì thư từ 7 bì thư: $A_7^2=7\cdot 6=42$ cách. Vậy tổng số cách thực hiện là $12\times 42=252$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số gồm hai chữ số khác nhau lập từ 7 chữ số: chọn chữ số hàng chục (7 cách) rồi chữ số hàng đơn vị khác nó (6 cách), tức là $A_7^2=42$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^5=1287$. Cách chọn toàn nữ: $C_7^5=21$; cách chọn toàn nam: $C_6^5=6$. Vậy số cách chọn có cả nam và nữ là $1287-21-6=1260$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 13 học sinh là $C_{13}^5=1287$. Số cách chọn 5 học sinh toàn nữ là $C_7^5=21$; số cách chọn 5 học sinh toàn nam là $C_6^5=6$. Vậy số cách chọn có cả nam và nữ là $1287-21-6=1260$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1260).