Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi đa giác đều có $n$ cạnh ($n\ge 3$). Số đường chéo là $\frac{n(n-3)}{2}$. Theo đề, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên $\frac{n(n-3)}{2}=2n$. Vì $n>0$, chia hai vế cho $n$: $\frac{n-3}{2}=2\Rightarrow n=7$. Thử lại: đa giác 7 cạnh có $\frac{7\cdot 4}{2}=14$ đường chéo $=2\cdot 7$. Vậy đa giác có 7 cạnh, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có bốn chữ số khác nhau, chọn và sắp xếp 4 chữ số từ tập {1, 2, 3, 5, 7} (5 chữ số, không có chữ số 0 nên không lo trường hợp chữ số đầu). Số cách lập là hoán vị chỉnh hợp: $A_5^4=\frac{5!}{(5-4)!}=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$. Vậy có 120 số, khớp với đáp án B trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi đa giác đều có $n$ cạnh ($n\ge 3$). Số đường chéo là $\frac{n(n-3)}{2}$. Theo đề, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên $\frac{n(n-3)}{2}=2n$. Vì $n>0$, chia hai vế cho $n$: $\frac{n-3}{2}=2\Rightarrow n=7$. Vậy đa giác đều đó có 7 cạnh, khớp với đáp án B trong mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 4 nam, 5 nữ (tổng 9 bạn).
a) Số cách sắp xếp 5 bạn nữ thành hàng ngang là hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$ cách, không phải 24. → Sai.
b) Số cách chọn 2 nam từ 4 nam là $C_4^2=6$; số cách chọn 1 nữ từ 5 nữ là $C_5^1=5$. Tổng: $6\times 5=30$ cách. → Đúng.
c) Xác suất chọn được bạn nữ là $\frac{5}{9}$, không phải $\frac{4}{9}$. → Sai.
d) Xác suất chọn được bạn nam là $\frac{4}{9}$. → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần II Câu 2: S Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp 5 bạn nữ thành hàng ngang là $5!=120$, không phải 24.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 2 nam từ 4 nam là $C_4^2=6$; chọn 1 nữ từ 5 nữ là $C_5^1=5$; tổng $6\times 5=30$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 5 nữ trên tổng 9 bạn nên xác suất chọn được bạn nữ là $\frac{5}{9}$, không phải $\frac{4}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 4 nam trên tổng 9 bạn nên xác suất chọn được bạn nam là $\frac{4}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập gồm 4 chữ số khác nhau chọn từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 (không có chữ số 0 nên không lo chữ số đầu). Số cách lập là hoán vị chỉnh hợp: $A_7^4=\frac{7!}{3!}=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (840).

Đi từ A đến B có 4 con đường. Đi từ B đến C có 2 con đường. Đi từ C đến D có 3 con đường. Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần: 4.2.3 = 24.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 5 nam, 4 nữ (tổng 9 bạn).
a) Sắp xếp 4 bạn nữ thành hàng ngang: số hoán vị là $4!=24$ cách → Đúng.
b) Chọn nhóm 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách → Đúng.
c) Chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 9 bạn, không gian mẫu có 9 phần tử; số kết quả thuận lợi (bạn nữ) là 4 nên $P=\frac{4}{9}$ → Đúng.
d) Số bạn nam là 5 nên $P(\text{nam})=\frac{5}{9}\ne \frac{4}{9}$ → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ Đ Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách sắp xếp 4 bạn nữ thành một hàng ngang là hoán vị của 4 phần tử: $4!=24$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 nam từ 5 nam và 1 nữ từ 4 nữ: $C_5^2\cdot C_4^1=10\cdot 4=40$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số bạn là 9, số bạn nữ là 4 nên xác suất chọn được bạn nữ là $\frac{4}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số bạn nam là 5 nên xác suất chọn được bạn nam là $\frac{5}{9}$, không phải $\frac{4}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập gồm 4 chữ số khác nhau chọn từ 8 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8. Vì các chữ số phải khác nhau và thứ tự quan trọng, đây là chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử: $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$. Vậy lập được 1680 số, khớp với đáp án nguồn (1680).

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác $ABCDE$ có 5 đỉnh. Mỗi vectơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh khác nhau: có $5\times 4=20$ cách chọn (điểm đầu 5 cách, điểm cuối 4 cách còn lại). Vectơ này luôn khác $\vec{0}$ vì điểm đầu khác điểm cuối. Vậy có 20 vectơ, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Phần III câu 2 = 20).

Đi từ A đến B có 4 con đường. Đi từ B đến C có 2 con đường. Đi từ C đến D có 3 con đường. Số cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần: 4.2.3 = 24. (Lưu ý: hình vẽ ở trang đề có thể hiển thị 3 đường nối A–B, nhưng hình vẽ kèm đáp án chính thức ở trang 7 thể hiện rõ 4 đường nối A–B, nhất quán với lời giải 4.2.3 = 24.)

TH1: 1 viên đỏ, 2 viên trắng hoặc đen: có $C_2^1.C_{13}^2=156$ cách. TH2: 2 viên đỏ, 1 viên trắng hoặc đen: có $C_2^2.C_{13}^1=13$ cách. Số cách để chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là $156+13=169$ (cách chọn). Đúng 1 trường hợp: 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nam là một khối, ghép với 4 bạn nữ thành 5 đối tượng xếp hàng: $5!$ cách. Trong khối, 3 nam xếp với nhau: $3!$ cách. Tổng: $5!\cdot 3!=120\cdot 6=720$ cách, tức $5!\cdot 3!$. Khớp đáp án A (mã đề 102, đáp án câu 7 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nữ là một khối, ta có 5 nam + 1 khối = 6 đối tượng xếp thành hàng: $6!$ cách. Trong khối, 3 bạn nữ xếp kề nhau: $3!$ cách. Tổng số cách là $6!\cdot 3!=720\cdot 6=4320$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 101 (câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 10 cạnh có 10 đỉnh. Mỗi tam giác tương ứng với cách chọn 3 đỉnh trong 10 đỉnh, nên số tam giác là $C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Ba khối sách (Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh) có thể hoán vị cho nhau: số cách là $3!\cdot 4!\cdot 5!\cdot 6!=6\cdot 24\cdot 120\cdot 720=1244160$, không phải $4!\cdot 5!\cdot 6!$ (thiếu hoán vị 3 khối loại sách).
b) Sai. 15 quyển sách đôi một khác nhau xếp thành hàng ngang có $15!=1307674368000$ cách, không phải 15.
c) Đúng. Chọn 2 trong 4 sách Toán, 1 trong 5 sách Ngữ Văn, 2 trong 6 sách Tiếng Anh: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=6\cdot 5\cdot 15=450$.
d) Đúng. Chọn 3 trong 4 sách Toán rồi tặng cho 3 người (có phân biệt người nhận): $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 3!=4\cdot 6=24$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $3!\cdot 4!\cdot 5!\cdot 6!$ vì 3 khối sách cùng loại có thể đổi chỗ cho nhau; thiếu $3!$ nên khẳng định $4!\cdot 5!\cdot 6!$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
15 quyển đôi một khác nhau xếp thành hàng: $15!$ cách, không phải 15.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=6\cdot 5\cdot 15=450$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\cdot 3!=4\cdot 6=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa là 13 (7 trắng, 6 hồng). a) Số cách chọn 5 hoa bất kỳ là $C_{13}^5=1287$; số cách chọn 5 hoa đều trắng là $C_7^5=21$; vậy số cách có ít nhất một hoa hồng là $1287-21=1266\ne 266$ → sai. b) Chọn 5 hoa bất kỳ từ 13 hoa: đúng $C_{13}^5$ cách → đúng. c) Chọn 2 trắng từ 7 và 3 hồng từ 6: $C_7^2\cdot C_6^3$ → đúng. d) Chọn 5 hoa trắng từ 7: $C_7^5$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 5 hoa bất kỳ: $C_{13}^5=1287$; số cách chọn 5 hoa đều trắng: $C_7^5=21$. Số cách có ít nhất một hoa hồng là $1287-21=1266$ cách, không phải 266 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 hoa bất kỳ từ 13 hoa: $C_{13}^5$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 hoa trắng từ 7 và 3 hoa hồng từ 6: $C_7^2\cdot C_6^3$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 hoa trắng từ 7 hoa trắng: $C_7^5$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Kết quả cuộc đua xác định bởi thứ tự của 3 con ngựa (nhanh nhất, nhanh nhì, nhanh thứ ba) chọn từ 11 con ngựa, thứ tự có ý nghĩa nên đây là chỉnh hợp chập 3 của 11 phần tử: $A_{11}^3=11\cdot 10\cdot 9=990$. Vậy có 990 kết quả có thể xảy ra.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên bi xanh từ 8 viên: $C_8^4$ cách; chọn 2 viên bi đỏ từ 15 viên: $C_{15}^2$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 6 viên bi gồm 4 xanh và 2 đỏ là $C_8^4\cdot C_{15}^2$. Khớp với đáp án A (đáp án của đề 1002, câu 4 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 viên bi xanh từ 15 viên: $C_{15}^4$ cách; chọn 2 viên bi đỏ từ 8 viên: $C_8^2$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 6 viên bi gồm 4 xanh và 2 đỏ là $C_{15}^4\cdot C_8^2$. Đáp án khớp với key nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hoa là 14 (6 trắng, 8 hồng). a) Chọn 5 bông có ít nhất một bông hồng = C(14,5) − C(6,5) = 2002 − 6 = 1996 cách → đúng. b) Số bó 5 bông bất kỳ là C(14,5) = 2002 ≠ 48 → sai. c) Chọn 5 bông đều hồng là tổ hợp C(8,5) = 56 cách, không phải A(8,5) (chọn không kể thứ tự) → sai. d) Chọn 2 trắng từ 6 và 3 hồng từ 8: C(6,2)·C(8,3) = 15·56 = 840 cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(14,5) − C(6,5) = 2002 − 6 = 1996 cách, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(14,5) = 2002 bó, không phải 48.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phải dùng tổ hợp C(8,5) = 56, không phải A(8,5).
d) (AI giải đề cho tôi)
C(6,2)·C(8,3) = 15·56 = 840 cách, đúng.