Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kết quả gồm 3 vị trí có thứ tự (nhất, nhì, ba) chọn từ 10 con ngựa, nên là chỉnh hợp chập 3 của 10: $A_{10}^3=10\cdot 9\cdot 8=720$. Vậy có 720 kết quả có thể xảy ra.

a) (S) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh mà có 6 học sinh nam nên có số kết quả thuận lợi của biến cố phải bằng 6. b) (Đ) Số cách chọn 3 học sinh bất kỳ từ 10 học sinh là $C_{10}^3=120$. c) (S) Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{10}^2=45$, số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được 2 học sinh nữ" là $n=C_4^2=6$. Vậy $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$. d) (S) Số hàng tổng quát của biểu thức trên là: $C_5^k\cdot x^{5-k}\cdot (2y{)}^k=C_5^k\cdot 2^k\cdot x^{5-k}{y}^k$. Để tìm số hàng chứa $x^3{y}^2$ thì tìm giá trị $k$ sao cho số hàng tổng quát phải đồng bậc với $x^3{y}^2$, vậy $k=2$. Suy ra số hàng chứa $x^3{y}^2$ là $C_5^2\cdot 2^2\cdot x^3{y}^2=40x^3{y}^2$. Chọn đáp án [a sai | b đúng | c sai | d sai]
a) (S) Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh mà có 6 học sinh nam nên có số kết quả thuận lợi của biến cố phải bằng 6.
b) (Đ) Số cách chọn 3 học sinh bất kỳ từ 10 học sinh là $C_{10}^3=120$.
c) (S) Không gian mẫu của phép thử là: $n(\Omega )=C_{10}^2=45$, số kết quả thuận lợi cho biến cố "chọn được 2 học sinh nữ" là $n=C_4^2=6$. Vậy $P=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$.
d) (S) Số hàng tổng quát của biểu thức trên là: $C_5^k\cdot x^{5-k}\cdot (2y{)}^k=C_5^k\cdot 2^k\cdot x^{5-k}{y}^k$. Để tìm số hàng chứa $x^3{y}^2$ thì tìm giá trị $k$ sao cho số hàng tổng quát phải đồng bậc với $x^3{y}^2$, vậy $k=2$. Suy ra số hàng chứa $x^3{y}^2$ là $C_5^2\cdot 2^2\cdot x^3{y}^2=40x^3{y}^2$.

Trường THPT có 3 khối, mỗi khối 4 lớp, mỗi lớp có đúng 1 bí thư. Suy ra có tổng cộng 12 bí thư (4 bí thư lớp 12, 4 bí thư lớp 11, 4 bí thư lớp 10). Chọn 1 nhóm có 10 bí thư. Điều kiện: bắt buộc phải có đầy đủ 4 bí thư lớp 12. Công đoạn 1: Có 1 cách chọn tất cả 4 bí thư lớp 12. Công đoạn 2: Có $C_6^4$ cách chọn 6 bí thư còn lại trong 8 bí thư (khối 10 và 11). Vậy có: $1\cdot C_6^4=28$ cách chọn. Đáp án: 28

a) Chọn 5 hs trong đó có 2 nam và 3 nữ: $C_{15}^2.C_{20}^3=119.700$ cách (0,5đ). b) Chọn 5hs luôn có cả nam và nữ: $C_{35}^5-\left(C_{15}^5+C_{20}^5\right)=306.125$ (0,25đ).

a) Chọn 5 hs trong đó có 2 nam và 3 nữ: $C_{15}^2.C_{20}^3=119.700$ cách (0,5đ). b) Chọn 5hs luôn có cả nam và nữ: $C_{35}^5-\left(C_{15}^5+C_{20}^5\right)=306.125$ (0,25đ).

- Công đoạn 1: Chọn 3 tem thư, 3 bì thư có: $C_5^3\cdot C_6^3$ (cách) - Công đoạn 2: Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư đã chọn có $3\cdot 2\cdot 1=6$ cách. (Bì thư 1 có 3 cách chọn tem, bì thư 2 còn 2 cách chọn tem, bì thư 3 còn 1 cách chọn tem) Vậy có: $6\cdot C_5^3\cdot C_6^3=1200$. Đáp án: 1200

Gọi số được lập có dạng là $\overline{abcde}$ với $a\ne b\ne c\ne c\ne d\ne e$ và $a\ne 0$. Vậy có $A_9^5=15120$ (chọn ra 5 số từ trong tập và phân vào 5 vị trí của 5 chữ số). Chọn đáp án (B)

Số cách chọn 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ là: $C_{20}^1\cdot C_{15}^1=300$ trong đó $C_{20}^1$ là số cách chọn 1 học sinh nam và $C_{15}^1$ là số cách chọn 1 học sinh nữ. Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Phần II, Câu 4 (Mã đề 2022). a) Chọn 1 học sinh bất kì từ 45 học sinh có 45 cách chọn → đúng. b) Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó là chọn có thứ tự (phân biệt chức vụ), số cách là $A_{45}^2=45\cdot 44=1980$, không phải $C_{45}^2=990$ → sai. c) Chọn 3 học sinh bất kì (không thứ tự) có $C_{45}^3=\frac{45\cdot 44\cdot 43}{6}=14190$ cách → đúng. d) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ có $C_{20}^2\cdot C_{25}^1=190\cdot 25=4750$ cách, khác $C_{45}^3$ → sai. Kết quả Đúng–Sai–Đúng–Sai khớp với đáp án chính thức (ĐSĐS) của mã đề 2022.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 45 học sinh nên chọn 1 học sinh bất kì có 45 cách chọn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng và lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên chọn có thứ tự: $A_{45}^2=45\cdot 44=1980$ cách, không phải $C_{45}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh bất kì không kể thứ tự: $C_{45}^3=14190$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách là $C_{20}^2\cdot C_{25}^1=190\cdot 25=4750$ cách, không phải $C_{45}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn đúng 1 bi mỗi màu: 1 xanh, 1 đỏ, 1 vàng. Số cách chọn là $3\cdot 6\cdot 7=126$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 4: A).

Đáp án chính thức (a–d): ĐSSĐ.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng ngang: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (kể cả hai đầu) để đặt 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn và xếp 2 vị trí từ 6 khoảng là $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi vàng. Số cách: $3\cdot 6\cdot 7=126$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 15 nam + 20 nữ = 35 học sinh. Chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp (không phân biệt vai trò, thứ tự) nên số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 35: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{3!}=\frac{39270}{6}=6545$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 6545.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 15 nam + 20 nữ = 35 học sinh. Chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp (không phân biệt chức vụ) nên số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 35 phần tử: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{3!}=\frac{39270}{6}=6545$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 6545.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 7 em là $C_7^3=35$. Số cách chọn 3 học sinh trong đó không có nữ (tức cả 3 đều nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $35-10=25$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 5 nam, 3 nữ (tổng 8 học sinh).
a) Xếp 3 học sinh nữ thành hàng dọc: số cách là $3!=6$, không phải $8!$. → Sai.
b) Chọn 1 nam và 1 nữ: $5\times 3=15$ cách, không phải 20. → Sai.
c) Chọn ngẫu nhiên 2 nam từ 5 nam: không gian mẫu có $C_5^2=10$ phần tử. → Đúng.
d) Chọn 2 học sinh từ 8: $C_8^2=28$. Xác suất chọn được 1 nam và 1 nữ: $\frac{C_5^1\cdot C_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}\ne \frac{3}{64}$. → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh nữ thành hàng dọc có $3!=6$ cách, không phải $8!$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 1 nam và 1 nữ là $5\times 3=15$, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 nam từ 5 nam: không gian mẫu có $C_5^2=10$ phần tử.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất là $\frac{C_5^1{C}_3^1}{C_8^2}=\frac{15}{28}\ne \frac{3}{64}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bi khác màu nghĩa là chọn đúng 1 bi mỗi màu. Số cách chọn 1 bi xanh là 7, 1 bi đỏ là 5, 1 bi vàng là 6. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $7\cdot 5\cdot 6=210$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (210).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 học sinh trực từ 40 học sinh là chọn tổ hợp 3 phần tử từ 40 (thứ tự không quan trọng): $C_{40}^3=\frac{40!}{3!\cdot 37!}=\frac{40\cdot 39\cdot 38}{6}=\frac{59280}{6}=9880$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng thẳng hàng nên tam giác phải có 2 đỉnh trên một đường thẳng và 1 đỉnh trên đường thẳng kia. Số tam giác có 2 đỉnh trên $m$ và 1 đỉnh trên $n$: $C_{11}^2\cdot 9=55\cdot 9=495$. Số tam giác có 2 đỉnh trên $n$ và 1 đỉnh trên $m$: $C_9^2\cdot 11=36\cdot 11=396$. Tổng: $495+396=891$ tam giác. Khớp với đáp án đề cho.