Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a=4\text{ cm}$ nên diện tích đáy là $S_{ABC}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
Chiều cao $h=A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$, suy ra thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=4\sqrt{3}\cdot 4=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$. Chọn B.

Diện tích đáy $ABC$ (tam giác đều cạnh $a$) là $S_{△ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Đường cao của khối chóp là $h=SA=a\sqrt{3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3}{4}$.

Diện tích đáy $ABCD$ là $S_{ABCD}=2^2=4$.
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên chiều cao của hình chóp là $h=SA=3$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 3=4$.
Chọn D.

Diện tích hai đáy hình vuông là $S_1=3^2=9{\text{ cm}}^2$, $S_2=5^2=25{\text{ cm}}^2$. Thể tích khối chóp cụt tứ giác đều là $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot (9+25+15)=3\cdot 49=147{\text{ cm}}^3$.

Đáy là tam giác đều cạnh $a=5\text{ cm}$ nên diện tích đáy là $B=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}({\text{cm}}^2)$. Thể tích khối gỗ là $V=B\cdot h=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot 8=50\sqrt{3}({\text{cm}}^3)$.

Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{a^2}{2}$. Với chiều cao $SA=a$, thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$. Chọn C.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD=a\cdot 2a=2a^2$.
Thể tích khối chóp $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 2a^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$. Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 12 chọn đáp án C.

Gọi chiều cao hình hộp chữ nhật là $A{A}^{\prime }=h$.
Trong mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, tam giác $BA{A}^{\prime }$ vuông tại $A$.
Do đó: $B{A}^{\prime 2}=A{B}^2+A{A}^{\prime 2}⟹5^2=3^2+h^2⟹h=4$.
Thể tích khối hộp chữ nhật là: $V=AB\cdot AD\cdot A{A}^{\prime }=3\cdot 4\cdot 4=48$.

Diện tích tam giác đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot 2a=a^2$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 1 (Phần III, câu 17) có đáp số là $728$.

Mặt đáy của hình lăng trụ ngũ giác đứng được ghép bởi một hình chữ nhật kích thước $8\text{ m}\times 5\text{ m}$ và một hình tam giác cân có cạnh đáy $8\text{ m}$, hai cạnh bên bằng $5\text{ m}$.

Chiều cao của tam giác cân là:
$h_{\Delta }=\sqrt{5^2-{\left(\frac{8}{2}\right)}^2}=\sqrt{25-16}=3\text{ m}.$

Diện tích tam giác cân là:
$S_{\Delta }=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 3=12{\text{ m}}^2.$

Diện tích hình chữ nhật là:
$S_{\text{hcn}}=8\cdot 5=40{\text{ m}}^2.$

Tổng diện tích đáy của nhà kho là:
$S_{\text{đaˊy}}=S_{\Delta }+S_{\text{hcn}}=12+40=52{\text{ m}}^2.$

Chiều dài nhà kho là chiều cao lăng trụ $h=14\text{ m}$.
Thể tích phần không gian bên trong nhà kho là:
$V=S_{\text{đaˊy}}\cdot h=52\cdot 14=728{\text{ m}}^3.$

Đáp số: 728.

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp AB$. Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }B$: $A{A}^{\prime }=\sqrt{A^{\prime }{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=a\sqrt{2}$.
Diện tích đáy tam giác vuông cân tại $B$ là $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a^2}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$. Chọn A.

Diện tích đáy $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}a\cdot 2a=a^2$.
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot BC=a\cdot \sqrt{2}a=\sqrt{2}{a}^2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}{a}^2=\frac{\sqrt{6}}{3}{a}^3$. Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 123, trang 5), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án B.

Diện tích đáy là diện tích tam giác vuông $ABC$:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$.
Thể tích khối chóp $O.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}OA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot 2\cdot 9=6$.

Diện tích đáy $ABC$ vuông cân tại $B$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a^2}{2}$. Chiều cao $SA=a\sqrt{3}$. Vậy thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Diện tích đáy là $S_{ABCD}=A{B}^2=6^2=36$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 36=48$. Chọn A.

Diện tích đáy $△ABC$ vuông cân tại $A$ là $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot 12\cdot 2=8$. Chọn A.

Ta có $S_{\text{xq}}=\pi rl\Rightarrow 8\pi =\pi \cdot r\cdot 4\Rightarrow r=2$. Chọn C.

Thể tích khối lăng trụ đứng là $V=S_{△ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \widehat{BAC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}a\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3}{2}$. Chọn C.

Bán kính đường tròn đáy của hình nón bằng $r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Thể tích của khối nón bằng $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{3}{)}^{2}a=\pi a^3$. Chọn B.