Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Biết $SA=SC=SM=a\sqrt{5}$.
1) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và cosin của góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$.
2) Gọi $E$ là trung điểm $SC$, $I$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(SHC)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AI$.

Một nhóm học sinh trường THPT thực hiện đề tài trải nghiệm sáng tạo, thiết kế mô hình khung một chiếc lều cắm trại có dạng khối tứ diện $ABCD$ (với tất cả các mặt là tam giác nhọn để đảm bảo độ vững chắc và khả năng thoát nước tốt). Theo bản vẽ kỹ thuật của nhóm: Hai thanh giằng chính $BC$ và $AD$ được bố trí chéo nhau và vuông góc với nhau ($BC\perp AD$), với khoảng cách ngắn nhất giữa hai thanh này được cố định là $d=2,5$; Góc mở của mái lều được xác định bởi góc phẳng nhị diện $[A,BC,D]$, trong đó số đo của góc nhị diện $[A,BC,D]$ bằng $60^0$. Gọi $h_a$ và $h_d$ lần lượt là chiều cao của các trụ chống dựng từ đỉnh $A$ và đỉnh $D$ xuống các mặt đối diện của khung lều. Để tối ưu hóa kết cấu chịu lực và vật liệu, nhóm học sinh cần khảo sát biểu thức $T=\frac{h_a+h_d}{h_a.h_d}$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T$ bằng bao nhiêu?

Một khối đồ chơi đa sắc màu có hình dạng khối đa diện tám mặt (hình vẽ bên dưới), trong đó bốn mặt là bốn lục giác đều bằng nhau, bốn mặt còn lại là bốn tam giác đều bằng nhau, tất cả các cạnh của các đa giác có độ dài $6cm$.

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f2]

Thể tích của khối đồ chơi đó bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài 25 cm, chiều rộng 12 cm, chiều cao 10 cm (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n$ (cm), miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n$ (cm) (hình b). Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{1}{2}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{3}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimet khối có kết quả chính xác đến hàng đơn vị là $a$ (cm${}^3$). Tổng các chữ số của số $a$ bằng bao nhiêu?

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f3]

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{51}}{34}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA\perp (ABC)$ và $SA=2a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

Hình chóp có 20 đỉnh thì có số cạnh là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ biết tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3AC$. Trên cạnh $C{C}^{\prime }$ lấy điểm $E$ sao cho $2E{C}^{\prime }=3EC$. Khoảng cách từ điểm $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BE)$ bằng $6cm$. Gọi $d=(A^{\prime }BE)\cap (ABC)$, số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },d,A]$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu $c{m}^3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$ và $AB=2a,AD=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $OA$ và $SH=\frac{3a}{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=a^3$.

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$

c) Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $45^{\circ }$

d) Khoảng cách từ điểm $C$ đến $mp(SAD)$ là $\frac{3\sqrt{10}}{20}a$

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $I$ là điểm bất kì trong không gian sao cho biểu thức $P=4I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+I{D}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối chóp $I.ABC$ bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

b. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin \alpha$.

c. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $S$.

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=b,A{A}^{\prime }=c$. Cắt khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ được hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa điểm $C^{\prime }$.