Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;\pi ]$, đồ thị $y=\cos x$ nằm trên trục $Ox$ với $x\in [0;\frac{\pi }{2}]$ và nằm dưới trục $Ox$ với $x\in [\frac{\pi }{2};\pi ]$. Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $x=0$, $x=\pi$, đồ thị $y=\cos x$ và trục $Ox$ là $S={\int }_0^{\pi }|\cos x|\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[c,d]$ đồ thị $f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần này là ${\int }_c^{d}f(x)dx$. Trên đoạn $[d,0]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_c^{d}f(x)dx-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Khớp với đáp án B trong mã đề 2463.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x=0$, $x=\pi$, đồ thị $y=\cos x$ và trục $Ox$ là $S=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|\cos x|\mathrm{d}x$, vì trên $[0;\pi ]$ hàm $\cos x$ đổi dấu (dương trên $[0;\frac{\pi }{2}]$, âm trên $[\frac{\pi }{2};\pi ]$) nên phải lấy trị tuyệt đối. Cụ thể $S={\int }_0^{\pi /2}\cos xdx-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos xdx=1+1=2$. Phương án A sai vì thừa hệ số $\pi$; B sai vì ${\int }_0^{\pi }\cos xdx=0$; D sai vì ${\cos }^{2}x\ne |\cos x|$. Đáp án khớp với mã đề 1458, câu 11 = C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)=6-2=4$. a) Sai vì tích phân bằng $4$ chứ không phải $-4$ (f không âm nên tích phân dương). b) Đúng, theo định nghĩa tích phân xác định. c) Đúng, tính chất đổi cận ${\int }_a^{b}f=-{\int }_b^{a}f$. d) Sai vì ${\int }_3^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{3}f(x)dx=-3\cdot 4=-12\ne -9$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(t)dt=F(3)-F(1)=6-2=4\ne -4$. Hơn nữa $f\ge 0$ nên tích phân phải không âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, tích phân từ 1 đến 3 của $f(x)$ là ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_1^{3}f(x)dx=-{\int }_3^{1}f(x)dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{1}3f(x)dx=3{\int }_3^{1}f(x)dx=-3{\int }_1^{3}f(x)dx=-3\cdot 4=-12\ne -9$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (vì x^{1/3} - x³ = x^{1/3}(1 - x^{8/3}) ≥ 0).

a) Diện tích phủ men: S = ∫₀¹ (x^{1/3} - x³) dx = [3/4·x^{4/3} - 1/4·x⁴]₀¹ = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/4 (m²). → Sai.

b) Diện tích giới hạn bởi y = x³, trục Ox, x = 0 và x = 1: S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²), không phải π/4 (m²). → Sai.

c) Khối tròn xoay quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi y = ∛x, Ox, Oy và x = 1 có thể tích V = π∫₀¹ (∛x)² dx. → Đúng.

d) Vì x^{1/3} ≥ x³ trên [0;1] nên S = ∫₀¹ (∛x - x³) dx. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹(∛x - x³)dx = 3/4 - 1/4 = 1/2 (m²) ≠ 1/4 (m²).
b) (AI giải đề cho tôi)
S = ∫₀¹ x³ dx = 1/4 (m²) ≠ π/4 (m²).
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức thể tích khối tròn xoay quanh Ox: V = π∫₀¹(∛x)² dx đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có ∛x ≥ x³ nên S = ∫₀¹(∛x - x³)dx đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton - Leibniz, với $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ (khẳng định B đúng). Các tính chất cơ bản: ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ (C đúng) và ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ (D đúng). Khẳng định A viết ${\int }_a^{b}f(x)dx=f^{\prime }(x){|}_b^a=f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$ là sai vì tích phân của $f(x)$ phải tính qua nguyên hàm $F(x)$ (với $F^{\prime }=f$), không phải qua đạo hàm $f^{\prime }(x)$; hơn nữa $f$ chỉ được giả thiết liên tục nên chưa chắc có đạo hàm. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án đề 1458 (câu 4 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[c,d]$ đồ thị $f(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần đó là ${\int }_c^{d}f(x)dx$. Trên đoạn $[d,0]$ đồ thị nằm phía dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần đó là $-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_c^{d}f(x)dx-{\int }_d^{0}f(x)dx$. Khớp với đáp án D trong mã đề 1458.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [1;2] ta có f(x)=2x−5≤0 nên $S={\int }_1^2|2x-5|dx={\int }_1^2(5-2x)dx={\left[5x-x^2\right]}_1^2=(10-4)-(5-1)=2$. Đúng. b) $F(x)=x^2-5x+C$, $F(0)=6\Rightarrow C=6$ nên $F(x)=x^2-5x+6$. Đúng. c) Tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^3(2x-5)dx={\int }_0^{3}2xdx-{\int }_0^{3}5dx$. Đúng. d) ${\int }_0^3(2x-5)dx={\left[x^2-5x\right]}_0^3=9-15=-6\ne 6$. Sai. Khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], f(x)≤0 nên $S={\int }_1^2(5-2x)dx={\left[5x-x^2\right]}_1^2=6-4=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2-5x+C$; $F(0)=6\Rightarrow C=6$ nên $F(x)=x^2-5x+6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: ${\int }_0^3(2x-5)dx={\int }_0^{3}2xdx-{\int }_0^{3}5dx$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^3(2x-5)dx={\left[x^2-5x\right]}_0^3=9-15=-6\ne 6$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2x−5. a) ∫₀³(2x−5)dx = [x²−5x]₀³ = 9−15 = −6 ≠ 6 nên ý a) SAI. b) Theo tính tuyến tính của tích phân: ∫₀³(2x−5)dx = ∫₀³2x dx − ∫₀³5 dx, ý b) ĐÚNG. c) Trên [1;2] ta có f(x)=2x−5 ≤ 0 nên S = ∫₁²(5−2x)dx = [5x−x²]₁² = (10−4)−(5−1) = 2, ý c) ĐÚNG. d) F(x)=x²−5x+C, F(0)=6 ⇒ C=6 ⇒ F(x)=x²−5x+6, ý d) ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S; b) Đ; c) Đ; d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³(2x−5)dx = [x²−5x]₀³ = 9−15 = −6 ≠ 6, nên khẳng định SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính: ∫₀³(2x−5)dx = ∫₀³2x dx − ∫₀³5 dx, khẳng định ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], f(x) ≤ 0 nên S = ∫₁²(5−2x)dx = [5x−x²]₁² = 6−4 = 2, khẳng định ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x²−5x+C; F(0)=6 ⇒ C=6 ⇒ F(x)=x²−5x+6, khẳng định ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0,3]$ nên $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(0)$. Do đó $f(3)=9+f(0)=9+1=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 11: A).

a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$. b) SAI. c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$. d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.
a) a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$.
b) b) SAI.
c) c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$.
d) d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=8+3=11$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-2x\right]dx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-{x^2|}_1^2=1$ $\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=4\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=1$.

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{1}{x}\right){|}_1^e$ $=\left(1+\frac{1}{e}\right)-(0+1)=\frac{1}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $x^3=4x\iff x=0,\pm 2$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S={\int }_{-2}^2|x^3-4x|dx$ (do hai đồ thị cắt tại ba điểm, cần lấy trị tuyệt đối trên toàn khoảng). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 5 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên theo định lý cơ bản của tích phân: ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=5-9=-4$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^3=4x\iff x(x^2-4)=0\iff x=0,x=\pm 2$. Trên $[0,2]$ có $x^3\le 4x$ nên $x^3-4x\le 0$; trên $[-2,0]$ có $x^3\ge 4x$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}|x^3-4x|dx$ (do tính đối xứng, cũng bằng $2\underset{0}{\overset{2}{\int }}(4x-x^3)dx=8$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12 (Mã đề 101): Theo định lý cơ bản của giải tích, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0,3]$ nên $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{f}^{\prime }(x)dx=f(3)-f(0)=9$. Suy ra $f(3)=9+f(0)=9+1=10$. Vậy đáp án là B, trùng với bảng đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 12: B). Câu hỏi được xác nhận nằm ở trang 2 của đề (Mã đề 101).

Ta có: $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}|f(x)|dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}|f(x)|dx=\underset{-2}{\overset{0}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=8+3=11$.

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f(x)-2x\right]dx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-{x^2|}_1^2=1$ $\iff 4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=4\iff \underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=1$.