Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất $y=\frac{3x+1}{x+4}$ là giao hai tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-4$ và tiệm cận ngang $y=3$, nên $I(-4;3)$. Độ dài $OI=\sqrt{(-4{)}^2+3^2}=\sqrt{25}=5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã 1203: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+3x-1}{x+2}=2x-1+\frac{1}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x+2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1203, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $2x^2-3x+3=(x-1)(2x-1)+2$, nên $y=\frac{2x^2-3x+3}{x-1}=2x-1+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Xét giới hạn tại vô cực: trên khoảng $(-1;2)$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ (giá trị tại $x=2$), rồi tăng lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$; trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$. Vậy ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$, không tồn tại tiệm cận ngang. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang khi $x\to -\infty$. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang (không phải hai, và tiệm cận ngang có phương trình $y=2$ chứ không phải $x=2$). Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 104 (câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải ($x>1$) nằm trên tiệm cận ngang và đi xuống tiệm cận ngang khi $x\to +\infty$, nhánh trái nằm dưới trục hoành. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$; với $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, với $x\to +\infty$ thì $y\to 1^{+}$, với $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=-1$; B có $y=-2$ (tiệm cận ngang âm); C có $y=1$ nhưng với $x\to 1^{+}$ thì $y\to 0^{+}$ (nhánh phải dưới tiệm cận ngang), không khớp. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 104, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=2$ khi $x\to +\infty$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ (không phải $x=2$ như phương án B). Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 103, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên khi $x\to -\infty$ không tồn tại giới hạn hữu hạn, do đó không có thêm tiệm cận ngang nào. Vậy đồ thị có đúng một tiệm cận ngang là $y=2$. Phương án B sai vì $x=2$ là đường thẳng đứng, không phải tiệm cận ngang. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhánh trái xuống $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, nhánh phải lên $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{+}$), tiệm cận xiên là $y=x+1$ (đường thẳng đi qua các điểm $(-1;0)$ và $(0;1)$, đồ thị tiệm cận theo nó khi $x\to \pm \infty$). Do đó ý a) đúng, ý c) đúng.

Trên khoảng $(-2;0)$, đồ thị có điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ rồi đi lên, tức hàm số đồng biến trên $(-2;0)$, không nghịch biến → ý b) sai.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc một là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: giải $x=-1$, $y=x+1=0$ nên tâm đối xứng là $(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$ → ý d) sai.

Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: Đ S Đ S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x+1$ (đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$), nhánh đồ thị tiệm cận theo nó khi $x\to \pm \infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$ đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(-2;-2)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$: khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $y\to -\infty$, khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $y\to +\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận: $x=-1$ và $y=x+1$ cắt nhau tại $(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Vì ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy đồ thị có đúng một tiệm cận ngang (là $y=2$), khớp với đáp án C (mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số bậc hai trên bậc hai, tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}$ (tỉ số hệ số của $x^2$ trên và dưới).
- $y=\frac{2x^2-x+1}{x^2-3}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, có TCN $y=2$.
- $y=\frac{x^2-x+1}{2x^2+x+3}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}\ne 2$, không thỏa.
- $y=\frac{2x^2}{x^2+3x+2}$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, có TCN $y=2$.
Vậy có $2$ hàm số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to -1$ nên có tiệm cận ngang $y=-1$. Khi $x\to 1^{-}$, $y\to +\infty$ và khi $x\to 1^{+}$, $y\to -\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ (hai bên cùng cho một đường tiệm cận đứng). Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $2+1=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 2$ và khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to 2$, nên đồ thị có một tiệm cận ngang $y=2$. Khi $x\to -3^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -3^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có một tiệm cận đứng $x=-3$. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $1+1=2$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-1$, tiệm cận ngang là $y=-1$, và đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0;0)$. Xét $y=\frac{-x}{x+1}$: có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{-x}{x+1}=-1$, và $y(0)=0$ (đi qua gốc). Các phương án khác: A có tiệm cận đứng $x=1$; B có $y(0)=1$; C có $y(0)=-1$, đều loại. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2024$ và ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-2024$ nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=2024$ và $y=-2024$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-13}{x+3}=\frac{(x+3)(x-3)-4}{x+3}=x-3-\frac{4}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{4}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng là đường $x=1$ (đường đứt nét thẳng đứng qua $x=1$) và tiệm cận ngang là đường đứt nét nằm ngang qua $y=1$ (hai nhánh đồ thị tiến tới đường thẳng $y=1$ khi $x\to \pm \infty$). Vậy tiệm cận ngang có phương trình $y=1$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\frac{10}{x+3}$ (kiểm tra: $(x+3)(2x-5)=2x^2+x-15$, dư $10$). Vậy tiệm cận xiên là $y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$, nên $a+b=-3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: khi $x\to +\infty$ và $x\to -\infty$, đồ thị tiến gần đường nét đứt ngang $y=1$, nên tiệm cận ngang là $y=1$. Đường $x=1$ (nét đứt đứng) là tiệm cận đứng. Khớp đáp án D (bảng đáp án Mã đề 2102, Câu 4, trang 28).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$ (nhánh bên phải của $x=1$ đi từ $-\infty$ lên 2), nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại $x=1$. Tại $x=3$ hàm số đạt cực đại giá trị 2 (không phải tiệm cận). Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 2102, Câu 8: D).