Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^3+x+1}{x^2-1}=x+\frac{2x+1}{x^2-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2x+1}{x^2-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $d:y=x$ (tức $a=1,b=0$). Thử các điểm: $M(-1;2)$: $2\ne -1$; $N(2;2)$: $2=2$ đúng; $P(2;-2)$, $Q(2;-1)$ sai. Vậy điểm $N(2;2)$ thuộc $d$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x-1}{x^2+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, chỉ có TCN $y=0$, không có tiệm cận xiên.
- B: $y=\sqrt{x^2-2x+3}=\sqrt{(x-1{)}^2+2}$, khi $x\to \pm \infty$ tiệm cận xiên là $y=|x-1|$, tức $y=x-1$ (bên phải) và $y=-x+1$ (bên trái), không phải $y=x+2$.
- C: $y=\frac{x^2+1}{x-2}=\frac{x^2-4+5}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x-2}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+2)\right]=0$. Vậy $y=x+2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.
- D: $y=\frac{2x^2+x+1}{2x+1}=x+\frac{1}{2x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+2$.

Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-4x}{2x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{-4(2x+3)-2(5-4x)}{(2x+3{)}^2}=\frac{-22}{(2x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -\frac{3}{2}$, nên hàm số không có cực trị (đúng). TXĐ: $x\ne -\frac{3}{2}$, nên tiệm cận đứng là $x=-\frac{3}{2}$ chứ không phải $x=-3$ (sai). Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{-4}{2}=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$ (đúng). Hai tiệm cận $x=-\frac{3}{2}$ và $y=-2$ cùng hai trục tạo hình chữ nhật có diện tích $\left|-\frac{3}{2}\right|\cdot |-2|=3$ (đúng).
a) $y^{\prime }=\frac{-22}{(2x+3{)}^2}\ne 0$ trên TXĐ nên hàm số không có cực trị.
b) Hàm số xác định khi $x\ne -\frac{3}{2}$, nên tiệm cận đứng là $x=-\frac{3}{2}$, không phải $x=-3$.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5-4x}{2x+3}=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$.
d) Hình chữ nhật tạo bởi $x=-\frac{3}{2}$, $y=-2$ và hai trục có diện tích $\frac{3}{2}\cdot 2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$ với $x\ne 1$.
- Tiệm cận đứng: $x=1$ (vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$).
- Tiệm cận xiên: $y=x$ vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-x\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$.
- Vì bậc tử (2) cao hơn bậc mẫu (1) đúng 1 bậc nên không có tiệm cận ngang.
a) Đúng: đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) Sai: tiệm cận xiên $y=x$ đi qua gốc tọa độ, cắt cả hai trục tại $(0;0)$ nên không tạo thành tam giác có diện tích 1 (diện tích bằng 0).
c) Đúng: giao điểm hai tiệm cận là $I(1;1)$, mà $1=1^2$ nên $I\in \{y=x^2\}$.
d) Đúng: hệ số góc của tiệm cận xiên $y=x$ là $1$; đường thẳng $x+y-\pi =0$ có hệ số góc $-1$; tích $1\cdot (-1)=-1$ nên hai đường vuông góc.
a) Bậc tử cao hơn bậc mẫu đúng 1 bậc nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$, không có tiệm cận ngang.
b) Tiệm cận xiên là $y=x$, đi qua gốc tọa độ nên không tạo với hai trục một tam giác có diện tích 1.
c) Giao hai tiệm cận $x=1$ và $y=x$ là $I(1;1)$, thỏa $1=1^2$ nên nằm trên parabol $y=x^2$.
d) Hệ số góc của $y=x$ là $1$, của $x+y-\pi =0$ là $-1$, tích bằng $-1$ nên vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên nhánh trái, khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$, hàm đạt cực đại $2$ tại $x=-1$ rồi giảm xuống $-1$ khi $x\to 0^{-}$. Trên nhánh phải, khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to -1$, hàm đạt cực đại $3$ tại $x=1$ rồi giảm xuống $2$ khi $x\to +\infty$.
- Tiệm cận đứng: tại $x=0$ bảng biến thiên có vạch đôi và ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1$, ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-1$... tuy nhiên vạch đôi tại $x=0$ cho biết đồ thị bị đứt tại đó; xét theo bảng, hai giới hạn một bên tại $x=0$ đều hữu hạn nên cần kiểm tra kỹ. Theo bảng biến thiên có vạch đôi tại $x=0$ (dấu hiệu chuẩn của tiệm cận đứng trong bảng biến thiên), ta có tiệm cận đứng $x=0$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2$ cho tiệm cận ngang $y=2$; ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái.
Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-3x+1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Chia đa thức: $x^2-3x+1=(x-1)(x-2)-1$, nên $y=x-2-\frac{1}{x-1}$. Xét $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[y-(x-2)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-1}{x-1}=0$, vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí đổ bê tông là $2,5+1,7x$ (triệu đồng). Chi phí trung bình cho $1m^3$ là $f(x)=\frac{2,5+1,7x}{x}=1,7+\frac{2,5}{x}$ với $x>0$. Khi $x\to +\infty$, $\frac{2,5}{x}\to 0$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1,7$. Vậy tiệm cận ngang là $y=1,7$, tức $a=1,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-2x+2}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-1$, tức $a=1,b=-1$. Suy ra $a+3b=1+3(-1)=-2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-4$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=-4$ với giá trị $f(-4)=-6$, mệnh đề d đúng. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu bằng $2$, mệnh đề a đúng. Khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng, mệnh đề b đúng. Khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$, do đó đồ thị không có tiệm cận ngang. Vậy mệnh đề c sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{2x+1}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[f(x)-(x+3)\right]=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$ có mẫu số bằng 0 tại $x=1$, nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Phép chia đa thức: $2x^2-3x+2=(x-1)(2x-1)+1$, suy ra $y=2x-1+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Giao điểm của hai tiệm cận: $x=1$, $y=2(1)-1=1$, tức điểm $(1;1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là đường thẳng $y=-\frac{1}{2}$. Xét giới hạn khi $x\to \pm \infty$ của từng hàm số:
- A: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x+1}{2x+1}=\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=\frac{1}{2}$, loại.
- B: bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$), loại.
- C: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+1}{1-x}=-2$, tiệm cận ngang là $y=-2$, loại.
- D: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{3-x^2}{2x^2-3x+1}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$, tiệm cận ngang là $y=-\frac{1}{2}$, tức $2y+1=0$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $y=\frac{x(x-3)}{(x-3{)}^2}=\frac{x}{x-3}$ với $x\ne 3$. Hàm số có tiệm cận đứng $x=3$ (tử mẫu khác 0 tại $x=3$) và tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x-3}=1$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$ (và hàm số giảm từ $+\infty$ về $-1$ khi $x$ đi từ $1$ đến $+\infty$), đồng thời khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$. Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6 (Phần I): Xét hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$. Bậc tử số và bậc mẫu số đều bằng 1, nên đồ thị có tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$. Kiểm tra: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2-\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$. Ngoài ra hàm có tiệm cận đứng $x=1$ (không phải tiệm cận ngang). Vậy tiệm cận ngang là $y=2$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7 (Phần I): Bảng biến thiên cho thấy $y^{\prime }=f^{\prime }(x)<0$ trên cả hai khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, tức $x=1$ là điểm không xác định của hàm số. Khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tại $x=1$. Trên hai đầu xa, $y\to -1$ khi $x\to \pm \infty$ nên $y=-1$ là tiệm cận ngang, không phải tiệm cận đứng. Vậy phương trình tiệm cận đứng là $x=1$, khớp với đáp án A đã được đánh dấu trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng (1 TCĐ). Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang (2 TCN). Tổng: $1+2=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Tại $x=0$ hàm số không xác định và $y\to -\infty$ (bên trái) và $y\to +\infty$ (bên phải) nên có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên phải. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+1=2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -4$ và khi $x\to +\infty$, $y\to -1$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=-4$ và $y=-1$. Tại $x=-1$, $y\to +\infty$ (bên trái) và $y\to -\infty$ (bên phải) nên $x=-1$ là tiệm cận đứng; tại $x=1$, $y\to -\infty$ từ cả hai phía nên $x=1$ cũng là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, hàm số đạt giá trị $2$ (cực đại), không phải tiệm cận đứng. Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2+2=4$.