Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Phép chia: $x^2-2x+2=(x+2)(x-4)+10$, nên $y=x-4+\frac{10}{x+2}$.
a) Đúng: $x=-2$ là mẫu bằng 0, tử khác 0 tại $x=-2$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$.
b) Sai: từ dạng $y=x-4+\frac{10}{x+2}$, vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{10}{x+2}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+4$.
c) Đúng: giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-2-4)=I(-2;-6)$.
d) Sai: khoảng cách từ $O(0;0)$ đến đường thẳng $x-y-4=0$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 102, Câu 3: a Đ, b S, c Đ, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tử khác 0 tại $x=-2$, mẫu bằng 0 nên $x=-2$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{10}{x+2}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao hai tiệm cận: $x=-2$, $y=-2-4=-6$ nên $I(-2;-6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $O$ đến $y=x-4$ (tức $x-y-4=0$) là $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-2x+3}{x+1}=\frac{(3x-5)(x+1)+8}{x+1}=3x-5+\frac{8}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=3x-5$, tức $a=3,b=-5$. Khi đó $T=2a+3b=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-9).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$. Phép chia: $x^2-2x+2=(x+2)(x-4)+10$, nên $y=x-4+\frac{10}{x+2}$. a) Vì ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$: Đúng. b) Tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+4$: Sai. c) Giao điểm hai tiệm cận: $x=-2$, $y=-2-4=-6$, tức $I(-2;-6)$: Đúng. d) Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $x-y-4=0$ là $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$: Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ, S, Đ, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -2^{\pm }}\frac{x^2-2x+2}{x+2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-4+\frac{10}{x+2}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x+4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao của $x=-2$ và $y=x-4$ là $I(-2;-6)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,x-y-4=0)=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-2x+3}{x+1}=3x-5+\frac{8}{x+1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{8}{x+1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=3x-5$, tức $a=3$, $b=-5$. Suy ra $T=2a+3b=2\cdot 3+3\cdot (-5)=6-15=-9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-9).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đường tiệm cận đứng là đường thẳng màu xanh $x=-1$ (không phải $x=2$), nên a) sai. Đường tiệm cận ngang là $y=2$ (đồ thị tiến tới 2 khi $x\to \pm \infty$), nên b) đúng. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ 1, tức $(0;1)$, nên c) đúng. Hàm số dạng $y=\frac{ax+b}{x+1}+2$ có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(-1;2)$, không phải $(2;2)$, nên d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn 'bc'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=-1$, không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến tới đường thẳng $y=2$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;1)$ theo hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận $x=-1$ và $y=2$, tức $(-1;2)$, không phải $(2;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-x}{x^2-2x+1}=\frac{x(x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x}{x-1}$ với $x\ne 1$. TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x}{x-1}=\pm \infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x-1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận, khớp với đáp án D (mã đề 102, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (hàm phân thức dạng $y=\frac{ax+b}{x+1}+2$): đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ (không phải $x=2$) nên ý a) sai. Đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$ nên ý b) đúng. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1, tức điểm $(0;1)$, nên ý c) đúng. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận, tức điểm $(-1;2)$, không phải $(2;2)$, nên ý d) sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn 'bc'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=-1$, không phải $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $y\to 2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm có hoành độ $x=0$ và tung độ $y=1$, tức cắt trục tung tại $(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận $x=-1$ và $y=2$, tức điểm $(-1;2)$, không phải $(2;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-x}{x^2-2x+1}=\frac{x(x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x}{x-1}$ với $x\ne 1$. TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{x}{x-1}=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x}{x-1}=1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{1-2x}{x+1}=-2+\frac{3}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
a) Sai: Vì bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, tiệm cận ngang là $y=\frac{-2}{1}=-2$, không phải $y=1$.
b) Đúng: $y^{\prime }=-\frac{3}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $[1,3]$, do đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=3$ (với $y(3)=\frac{1-6}{4}=-\frac{5}{4}$).
c) Đúng: Hàm số có dạng $y=-2+\frac{3}{x+1}$ nên có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;-2)$.
d) Sai: Hai tiệm cận là $x=-1$ và $y=-2$. Hình chữ nhật giới hạn bởi hai tiệm cận và hai trục có hai cạnh $|-1|=1$ và $|-2|=2$, diện tích $=1\times 2=2\ne 1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang là $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1-2x}{x+1}=-2$, không phải $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\frac{3}{(x+1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên $[1,3]$, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=-2+\frac{3}{x+1}$ có tiệm cận $x=-1$, $y=-2$, tâm đối xứng $I(-1;-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật giới hạn bởi $x=-1$, $y=-2$ và hai trục có diện tích $1\times 2=2\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-4x^2-2x-5}{-x+2}$. Ta có $(-x+2)(4x+10)=-4x^2-2x+20$, nên $y=4x+10+\frac{-25}{-x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, phần phân thức tiến về 0, vậy tiệm cận xiên là $y=4x+10$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng (1 tiệm cận đứng). Khi $x\to -\infty$ thì $y\to 1$ và khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm số có tiệm cận đứng $x=3$, tiệm cận ngang $y=-1$, và đồng biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$ (vì $y^{\prime }>0$ trên cả hai khoảng). Xét $y=\frac{x+5}{-x+3}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3\}$; $y^{\prime }=\frac{(-x+3)-(x+5)(-1)}{(-x+3{)}^2}=\frac{8}{(-x+3{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên từng khoảng. Giới hạn: ${\lim }_{x\to -\infty }y=-1$, ${\lim }_{x\to 3^{-}}y=-\infty$ (tử dương 8, mẫu âm tiến 0), ${\lim }_{x\to 3^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }y=-1$. Nhánh trái đi từ $-1$ lên $+\infty$, nhánh phải đi từ $-\infty$ lên $-1$, khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A có $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-3{)}^2}<0$ (nghịch biến) và tiệm cận ngang $y=1$; B có tiệm cận đứng $x=-3$; D có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-3{)}^2}<0$ và tiệm cận ngang $y=0$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $x+c=0$ tại $x=1\Rightarrow c=-1$. Tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét $y=1$) nên $a=1$. Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{-b}{c}=2\Rightarrow \frac{-b}{-1}=2\Rightarrow b=2$. Kiểm tra $(2;0)$: $\frac{2-2}{2-1}=0$ đúng. Vậy $y=\frac{x-2}{x-1}$.
a) Tiệm cận đứng $x=1$: đúng.
b) Tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $y=0$: sai.
c) Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $(1;1)$, không phải $(1;2)$: sai.
d) $T=2a+b-3c=2+2-3(-1)=7$: đúng.
a) Từ đồ thị, tiệm cận đứng là $x=1$ (đường đứt nét), tương ứng $x+c=0$ tại $x=1$ nên $c=-1$.
b) Từ đồ thị, tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét), tức $y=a=1$, không phải $y=0$.
c) Tâm đối xứng của đồ thị $y=\frac{ax-b}{x+c}$ là giao của hai tiệm cận: $(-c;a)=(-(-1);1)=(1;1)$, không phải $(1;2)$.
d) Từ đồ thị: $c=-1$, $a=1$, và qua $(0;2)$: $\frac{-b}{c}=2\Rightarrow b=2$. Khi đó $T=2a+b-3c=2+2+3=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=3$ hàm số có tiệm cận đứng nên $x_0=3$. Nhánh phải khi $x\to +\infty$ thì $y\to m+2$ nên tiệm cận ngang là $y_0=m+2$. Điều kiện $x_0{y}_0<30$ cho $3(m+2)<30\iff m+2<10\iff m<8$. Vậy $m<8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên của $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$:
- Khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$; khi $x\to 0^{-}$, $y\to -1$.
- Khi $x\to 0^{+}$, $y\to -\infty$; hàm đạt cực đại $y=2$ tại $x=1$; khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$.

Xét tiệm cận:
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to 0^{-}$, $f(x)\to -1$ (hữu hạn) nên không phát sinh tiệm cận đứng khác. Vậy có đúng một tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-\infty$ nên không có tiệm cận ngang.

Do đó khẳng định đúng là: đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng → đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3x^2-4x+1=(x-1)(3x-1)$, nên với $x\ne 1$: $y=\frac{(x-1)(3x-1)}{x-1}=3x-1$. Do đó đồ thị có tiệm cận xiên $y=3x-1$ (đường thẳng $y=3x-1$ với $x\ne 1$). Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{-}$ thì $y\to +\infty$ và khi $x\to -1^{+}$ thì $y\to -\infty$, tức ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}f(x)=\pm \infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$. Các đáp án $y=2$, $y=-1$ là dạng tiệm cận ngang (không đúng vì hàm số không tiến tới giới hạn hữu hạn khi $x\to \pm \infty$ theo bảng biến thiên), còn $x=2$ không phải điểm mà hàm số tiến tới vô cực. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: D).