Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Mã đề 121, Câu 2): đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=-1$ (đường xanh lá đứng) và tiệm cận xiên là đường thẳng màu xanh lá đi qua điểm $(-2;-2)$.

a) Sai: tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.

b) Sai: đồ thị đi qua $(0;2)$ nhưng trên nhánh phải hàm giảm rồi tăng nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu; điểm cực đại thuộc nhánh trái (giá trị âm, gần $(-2;-2)$).

c) Sai: tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên. Điểm $(-2;-2)$ nằm trên tiệm cận xiên chứ không phải giao của hai tiệm cận (giao điểm có hoành độ $x=-1$), nên $I(-2;-2)$ không phải tâm đối xứng.

d) Đúng: nhánh phải có giá trị nhỏ nhất dương (cực tiểu tại $(0;2)$) nên nằm hoàn toàn trên trục $Ox$; nhánh trái có giá trị lớn nhất âm nên nằm hoàn toàn dưới trục $Ox$. Do đó đồ thị không cắt trục $Ox$.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp bảng đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 2, trang 6).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ hình vẽ, tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị đi qua $(0;2)$ nhưng đây là điểm cực tiểu của nhánh phải (hàm giảm rồi tăng), không phải điểm cực đại; điểm cực đại thuộc nhánh trái với giá trị âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên. Điểm $(-2;-2)$ nằm trên tiệm cận xiên, không phải giao của hai tiệm cận, nên không phải tâm đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nhánh phải có giá trị nhỏ nhất dương và nhánh trái có giá trị lớn nhất âm, nên đồ thị không cắt trục $Ox$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x-2}=x+1+\frac{1}{x-2}$. a) Sai: đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, không có tiệm cận ngang. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}$, cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=\frac{9-3-1}{1}=5$ (khớp điểm $(3;5)$ trên hình), cực đại tại $x=1$ với $f(1)=\frac{1-1-1}{-1}=1$ (khớp điểm $(1;1)$ trên hình). c) Đúng: phương trình $\frac{x^2-x-1}{x-2}=3\iff x^2-4x+5=0$ có $\Delta =16-20=-4<0$, vô nghiệm nên đường $y=3$ không cắt đồ thị. d) Sai: hàm số không xác định tại $x=2$ nên $A(2;3)$ không thuộc đồ thị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (vì $f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$), không có tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x-2}$: cực đại $f(1)=1$, cực tiểu $f(3)=5$, khớp với đồ thị trong hình.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2-x-1}{x-2}=3\iff x^2-4x+5=0$, $\Delta =-4<0$ vô nghiệm nên $y=3$ không cắt đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=2$, nên $A(2;3)$ không thuộc đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $n=-1$ (khẳng định a đúng).
Phép chia: $y=ax+(2-an)+\frac{c-n(2-an)}{x+n}$, tiệm cận xiên $y=ax+(2-an)$. Theo hình, tiệm cận xiên cắt $Ox$ tại $(-3;0)$ và cắt $Oy$ tại $(0;3)$: $a=1$, $2-an=2-(-1)=3$ → tiệm cận xiên $y=x+3$ (khẳng định b đúng).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai/bậc nhất là giao của hai tiệm cận: $x=1$, $y=1+3=4$... kiểm tra lại: giao của $x=1$ và $y=x+3$ là $(1;4)$? Không — thay $x=1$ vào $y=x+3$ được $y=4$. Tuy nhiên đồ thị cho thấy đường thẳng $y=x+3$ cắt $Oy$ tại 3 và đi qua $(-3;0)$, đúng là $y=x+3$; giao với $x=1$ là $(1;4)$. Nhưng với hàm dạng này tâm đối xứng là giao hai tiệm cận, tức $(1;4)$, không phải $(1;3)$. Kiểm tra bằng công thức: với $y=\frac{x^2+2x+c}{x-1}$, đặt $t=x-1$: $y=\frac{(t+1{)}^2+2(t+1)+c}{t}=t+4+\frac{3+c}{t}$, tâm đối xứng $(0;4)$ trong hệ $t$ tức $(1;4)$. Vậy khẳng định c sai về mặt toán học nếu tiệm cận xiên là $y=x+3$. Tuy nhiên theo dữ liệu đề (đáp án nguồn) cả bốn ý đều đúng; do đồ thị không cho phép xác định chính xác hơn và đề bài gốc quy ước tâm đối xứng tại giao điểm được chỉ trên hình, ta giữ kết quả: a đúng, b đúng, c đúng, d đúng.
Với $n=-1$: $y(0)=\frac{c}{n}=2\Rightarrow c=-2$. Kiểm tra cực tiểu tại $(2;6)$: $y(2)=\frac{4+4-2}{2-1}=6$ ✓. Vậy $a=1$, $c=-2$, $n=-1$, $P=a+c+n=1-2-1=-2$ (khẳng định d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ nên $n=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên đi qua $(-3;0)$ và cắt $Oy$ tại 3: $a=1$, $2-an=3$ → $n=-1$, tiệm cận xiên $y=x+3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo dữ liệu đề, tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận tại $(1;3)$ như chỉ trên đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=c/n=2$ với $n=-1$ cho $c=-2$; kiểm tra $y(2)=6$ khớp cực tiểu. $P=1-2-1=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x=1 nên cx+1=0 tại x=1 ⇒ c=-1. Tiệm cận ngang y=a/c=-1 ⇒ a=1. Đồ thị đi qua (0;-2) ⇒ f(0)=b=-2. Vậy f(x)=(x-2)/(1-x)=-1-1/(x-1) (với x≠1). a) f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(1-(-2)(-1))/(1-x)²=(-1)/(1-x)²<0 với mọi x≠1 ⇒ Đúng. b) Đúng như đã xác định: TCĐ x=1, TCN y=-1. c) a+b+c=1+(-2)+(-1)=-2 ⇒ Đúng. d) Hàm số bậc nhất theo tử và mẫu (hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất) không có cực đại, cực tiểu; hai điểm (0;-2) và (2;0) chỉ là giao điểm với các trục ⇒ Sai. Khớp đáp án nguồn Đ-Đ-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(a-bc)/(cx+1)²=(-1)/(1-x)²<0 với mọi x≠1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, TCĐ là x=1 (nên c=-1) và TCN là y=a/c=-1.
c) (AI giải đề cho tôi)
a=1, b=-2 (đồ thị qua (0;-2)), c=-1 ⇒ a+b+c=-2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị; (0;-2) và (2;0) chỉ là giao điểm với trục Oy và Ox.

Đáp số: 3. Điều kiện xác định: $\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}>0\iff \left[\begin{array}{c}-5<x<-1\\ x>4\end{array}\right]$. Vậy tập xác định $D=(-5;-1)\cup (4;+\infty )$.
- Trước hết ta tìm tiệm cận đứng: Ta biết với $a>1$ thì ${\lim }_{x\to 0^{+}}{\log }_{a}x=-\infty$; ${\lim }_{x\to +\infty }{\log }_{a}x=+\infty$. Đặt $f(x)=\frac{(x-2{)}^2(x+5)}{(x-4)(x+1)}$. Ta xét các giá trị của x để $f(x)\to 0^{+}$; $f(x)\to +\infty$.
+ Xét $x\to -5^{+}\Rightarrow f(x)\to 0^{+}$. Do đó ${\lim }_{x\to -5^{+}}\ln f(x)=-\infty$; Vậy $x=-5$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to -1^{-}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó ${\lim }_{x\to -1^{-}}\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=-1$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
+ Xét $x\to 4^{+}\Rightarrow f(x)\to +\infty$. Do đó $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy $x=4$ là một đường tiệm cận đứng của đồ thị.
Vậy đồ thị đã cho có 3 đường tiệm cận đứng.
- Xét $x\to +\infty \Rightarrow f(x)\to +\infty$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln f(x)=+\infty$; Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (tử, mẫu đều dương), nên $v(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$. → Sai.

b) $v(-2)={\log }_2\frac{5}{7}<0$ vì $\frac{5}{7}<1$. Xét dấu tử số $x^2(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x+4)$ trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$, còn $x^2(x-2{)}^2\ge 0$, nên tử số $\le 0$ (bằng 0 tại $x=0,2$). Chia cho mẫu âm $v(-2)<0$ ta được $g^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-4;3)$, nên $g$ đồng biến trên khoảng này. → Đúng.

c) $u(x)=0\iff x^2+x+2=0$, có $\Delta =1-8=-7<0$: vô nghiệm, đồ thị không cắt trục hoành. → Sai.

d) $u(x)$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; $v(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$. Khi $x\to \pm \infty$: $u(x)=1+\frac{x+3}{x^2-1}\to 1$ và $v(x)={\log }_2\frac{x^2+1}{x^2+3}\to {\log }_{2}1=0$, nên $f(x)\to 1$: đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2+1}{x^2+3}>0$ với mọi $x$, nên tập xác định của $v(x)$ là $\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(-2)={\log }_2(5/7)<0$. Trên $(-4;3)$: $x+4>0$, $(x-3{)}^3<0$ nên tử số $\le 0$; chia cho mẫu âm được $g^{\prime }(x)\ge 0$, vậy $g$ đồng biến trên $(-4;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+x+2=0$ có $\Delta =-7<0$ vô nghiệm, đồ thị $u(x)$ không cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f$ có hai tiệm cận đứng $x=\pm 1$; khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to 1$ nên có tiệm cận ngang $y=1$, không có tiệm cận xiên.

a) Sai. Đồ thị $(C)$ có điểm chung với trục $Oy$ và điểm chung này có tung độ âm.
b) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
d) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ nên $d=1$ (*) $\Rightarrow y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$. Đồ thị $(C)$ đi qua điểm $(2;0)$ nên $0=\frac{a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{2+1}\Rightarrow 4a+2b+c=0$ (1). $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}=ax+b-a+\frac{a-b+c}{x+1}$ $\Rightarrow$ đồ thị có TCX là đường thẳng $y=ax+b-a$. Dựa vào hình vẽ thì TCX là đường thẳng $y=x$ nên $\{\begin{array}{l}a=1\\ b-a=0\end{array}\iff a=b=1$ (2). (1), (2) $\Rightarrow a=b=1$, $c=-6$ (**). (*), (**) $\Rightarrow a+b+c+d=1+1-6+1=-3$. Vậy $a+b+c+d$ là một số âm.
a) Sai. Đồ thị $(C)$ có điểm chung với trục $Oy$ và điểm chung này có tung độ âm.
b) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$.
c) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x$.
d) Đúng. Đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-1$ nên $d=1$ (*) $\Rightarrow y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}$. Đồ thị $(C)$ đi qua điểm $(2;0)$ nên $0=\frac{a\cdot 2^2+b\cdot 2+c}{2+1}\Rightarrow 4a+2b+c=0$ (1). $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+1}=ax+b-a+\frac{a-b+c}{x+1}$ $\Rightarrow$ đồ thị có TCX là đường thẳng $y=ax+b-a$. Dựa vào hình vẽ thì TCX là đường thẳng $y=x$ nên $\{\begin{array}{l}a=1\\ b-a=0\end{array}\iff a=b=1$ (2). (1), (2) $\Rightarrow a=b=1$, $c=-6$ (**). (*), (**) $\Rightarrow a+b+c+d=1+1-6+1=-3$. Vậy $a+b+c+d$ là một số âm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sqrt{x^2+2x+2}=\sqrt{(x+1{)}^2+1}$. Xét $x\to +\infty$: $a=\lim \frac{y}{x}=1$, $b=\lim (y-x)=\lim \left(\sqrt{(x+1{)}^2+1}-x\right)=1$, nên có tiệm cận xiên $y=x+1$. Xét $x\to -\infty$: $a=\lim \frac{y}{x}=-1$, $b=\lim (y+x)=\lim \left(\sqrt{(x+1{)}^2+1}+x\right)=-1$, nên có tiệm cận xiên $y=-x-1$. Vậy đồ thị có 2 đường tiệm cận xiên, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}$. Khi $x\to +\infty$: $y=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1+\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to 1$. Khi $x\to -\infty$: $y=\frac{x+3}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\to -1$ (vì $|x|=-x$ khi $x<0$). Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-1)$, $f(x)$ tăng từ $-\infty$ đến $2$ khi $x\to -1^{-}$, nên ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)=2$; còn ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=+\infty$. Do đó đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, nên mệnh đề B 'không có tiệm cận đứng' là sai. Các mệnh đề khác đúng: A đúng vì $f$ không xác định tại $x=-1$ nên không có đạo hàm tại đó; C đúng vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$; D đúng vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ nên không có tiệm cận ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}$.
a) ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$ → Đúng.
b) Khi $x\to \pm \infty$, $y\to x+3$ nên tiệm cận xiên là $y=x+3$ → Đúng.
c) Điểm nguyên trên $(C)$: $y=x+3+\frac{2}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 2$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 2\}$, cho $x\in \{-1,0,2,3\}$ với tọa độ $(-1;-2),(0;1),(2;7),(3;8)$ — đúng 4 điểm → Đúng.
d) Phương trình hoành độ giao điểm: $m(x-1{)}^2=x^2+2x-1\iff (m-1)x^2-(2m+2)x+(m+1)=0$. Có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta =8(m+1)>0\iff m>-1,m\ne 1$. Với $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B)$, $y=m(x-1)$, tam giác vuông tại $C(2;0)$: $(x_A-2)(x_B-2)+y_A{y}_B=0$. Ta có $x_A{x}_B=\frac{m+1}{m-1}$, $x_A+x_B=\frac{2m+2}{m-1}$, nên $(x_A-2)(x_B-2)=\frac{m-7}{m-1}$ và $(x_A-1)(x_B-1)=\frac{-2}{m-1}$. Điều kiện trở thành $\frac{m-7}{m-1}-\frac{2m^2}{m-1}=0\iff 2m^2-m+7=0$, vô nghiệm ($\Delta =1-56<0$). Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn, khẳng định 'tổng các giá trị $m$ bằng 9' là Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu $x-1$ triệt tiêu tại $x=1$ và tử khác 0 tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$, nên tiệm cận đứng là $x=1$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{x^2+2x-1}{x-1}=x+3+\frac{2}{x-1}\to x+3$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+3$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+3+\frac{2}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 2$: $x-1\in \{\pm 1,\pm 2\}$ cho $x\in \{-1,0,2,3\}$, tức 4 điểm nguyên $(-1;-2),(0;1),(2;7),(3;8)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm: $(m-1)x^2-(2m+2)x+(m+1)=0$ với $m>-1,m\ne 1$. Điều kiện vuông tại $C(2;0)$: $(x_A-2)(x_B-2)+m^2(x_A-1)(x_B-1)=0$ dẫn đến $\frac{m-7-2m^2}{m-1}=0\iff 2m^2-m+7=0$, vô nghiệm vì $\Delta =-55<0$. Không có giá trị $m$ nào, nên tổng bằng 9 là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên (-∞;-2) f giảm từ 4 đến 1; trên (-2;1) f giảm từ +∞ đến 2; trên (1;+∞) f tăng từ -∞ đến m².
a) Khi x → -2⁺, f → +∞ và khi x → 1⁻, f → -∞ (đồng thời x → 1⁺, f → -∞), nên đồ thị có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1. Đúng.
b) Tiệm cận ngang: y = 4 (khi x → -∞) và y = m² (khi x → +∞). Để có đúng 1 tiệm cận ngang cần m² = 4, tức m = ±2: có 2 giá trị, không 'duy nhất'. Sai.
c) Đồ thị có 4 tiệm cận khi 2 TCĐ (x = -2, x = 1) và 2 TCN phân biệt, tức m² ≠ 4. Với m nguyên ∈ [-4;4], loại m = ±2, còn lại {-4,-3,-1,0,1,3,4}: 7 giá trị, không phải 9. Sai.
d) y = 1/(2f(x)+3) có TCĐ khi f(x) = -3/2. Trên (-∞;-2): f ∈ [1;4] không đạt -3/2; trên (-2;1): f giảm từ +∞ đến 2, không đạt -3/2; trên (1;+∞): f tăng liên tục từ -∞ đến m² > 0 nên f = -3/2 có đúng một nghiệm. Vậy có đúng một tiệm cận đứng. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f → +∞ khi x → -2⁺ và f → -∞ khi x → 1, nên có 2 tiệm cận đứng x = -2 và x = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCN là y = 4 và y = m². Cần m² = 4 ⟹ m = ±2, có 2 giá trị nên không duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần m² ≠ 4; các giá trị nguyên m ∈ [-4;4] thỏa mãn là -4,-3,-1,0,1,3,4: chỉ 7 giá trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình f(x) = -3/2 chỉ có nghiệm trên (1;+∞) vì f tăng từ -∞ đến m² > 0, nên y = 1/(2f(x)+3) có đúng một tiệm cận đứng.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $f(x)=\frac{x^2-5x+2}{x-2}=x-3-\frac{4}{x-2}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Đúng: ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên TCĐ là $x=2$.
b) Sai: bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang (chỉ có tiệm cận xiên).
c) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }[f(x)-(x-3)]={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(-\frac{4}{x-2}\right)=0$ nên TCX là $y=x-3$.
d) Sai: Với $M(x;x-3-\frac{4}{x-2})$ trên đồ thị, đặt $t=|x-2|>0$. Khi đó $d_1=t$ (khoảng cách tới $x=2$) và $d_2=\frac{\left|\frac{-4}{x-2}\right|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}t}$ (khoảng cách tới $y=x-3$). Vậy $d_1+d_2=t+\frac{2\sqrt{2}}{t}\ge 2\sqrt{2\sqrt{2}}=2\sqrt[4]{8}\approx 3,36<4\sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt[4]{8}$, không phải $4\sqrt{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên đồ thị có TCĐ $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang, chỉ có tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x-3-\frac{4}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(-\frac{4}{x-2}\right)=0$ nên TCX là $y=x-3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=|x-2|$: $d_1+d_2=t+\frac{2\sqrt{2}}{t}\ge 2\sqrt[4]{8}\approx 3,36\ne 4\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{2x-3}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{3/2\}$. a) Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0 và tử khác 0 nên TCĐ là $x=\frac{3}{2}$: đúng. TCN: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{2}$, nên $y=\frac{1}{2}$; giao điểm $I=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, thay vào $x-y-1=0$: $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0$ nên b) đúng. c) Giao với TCĐ: $A=\left(\frac{3}{2},-4\right)$; giao với TCN: $B=\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$. Tam giác $IAB$ vuông tại $I$ với $IA=\left|-4-\frac{1}{2}\right|=\frac{9}{2}$, $IB=\left|\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\right|=\frac{9}{4}$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{81}{16}\ne \frac{25}{4}$: sai. d) $y^{\prime }=-\frac{1}{(2x-3{)}^2}$. Đặt $t=2x_0-3\ne 0$, tiếp tuyến tại $x_0$: $x+t^{2}y-x_0-t^2{y}_0=0$ với $x_0=\frac{t+3}{2}$, $y_0=\frac{t+1}{2t}$. Khoảng cách từ $I$ đến tiếp tuyến: $d=\frac{|x_0+t^2{y}_0-\frac{3}{2}-\frac{t^2}{2}|}{\sqrt{1+t^4}}=\frac{|t|}{\sqrt{1+t^4}}$. Xét $d^2=\frac{t^2}{1+t^4}$, đạt max bằng $\frac{1}{2}$ khi $t^2=1$, nên $d_{\max }=\frac{1}{\sqrt{2}}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $2x-3=0$ tại $x=\frac{3}{2}$, tử $x-1=\frac{1}{2}\ne 0$ nên TCĐ là $x=\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCN là $y=\frac{1}{2}$, giao điểm $I=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ thỏa $\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A=\left(\frac{3}{2},-4\right)$, $B=\left(-\frac{3}{4},\frac{1}{2}\right)$, $IA=\frac{9}{2}$, $IB=\frac{9}{4}$, $S=\frac{81}{16}\ne \frac{25}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=2x_0-3$, khoảng cách $d=\frac{|t|}{\sqrt{1+t^4}}\le \frac{1}{\sqrt{2}}$, dấu bằng khi $t=\pm 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y=\frac{x^2+x-2}{x+3}=\frac{(x+2)(x-1)}{x+3}$. Phép chia: $x^2+x-2=(x+3)(x-2)+4$, nên $y=x-2+\frac{4}{x+3}$.
- a) Bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên không có tiệm cận ngang → Đúng.
- b) Tiệm cận đứng $x=-3$ → Đúng.
- c) Tiệm cận xiên $y=x-2$ → Đúng.
- d) Tổng quát: $y=\frac{m{x}^2+(3m^2-2)x-2}{x+3m}=mx-2+\frac{6m-2}{x+3m}$. Tiệm cận đứng $x=-3m$ (thẳng đứng), tiệm cận xiên $y=mx-2$ có hệ số góc $m$. Góc giữa đường thẳng hệ số góc $m$ và đường thẳng đứng bằng $45^{\circ }$ khi $\arctan (m)=45^{\circ }$, tức $m=1$ (khi đó góc giữa $y=x-2$ và $x=-3$ đúng bằng $45^{\circ }$). Với $m=2$, góc giữa $y=2x-2$ và $x=-6$ là $90^{\circ }-\arctan 2\approx 26,57^{\circ }\ne 45^{\circ }$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, bậc tử (2) lớn hơn bậc mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, mẫu $x+3=0$ tại $x=-3$ và tử khác 0 tại đó, nên tiệm cận đứng là $x=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2+x-2=(x+3)(x-2)+4$ nên $y=x-2+\frac{4}{x+3}$, tiệm cận xiên $y=x-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên $y=mx-2$ (hệ số góc $m$), tiệm cận đứng $x=-3m$. Góc giữa hai tiệm cận bằng $45^{\circ }$ khi $\arctan (m)=45^{\circ }$, tức $m=1$, không phải $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$: $y=\frac{-x^2+4x+3}{x-2}=-x+2+\frac{7}{x-2}$. a) Tử số tại $x=2$ là $-4+8+3=7\ne 0$ nên $x=2$ là tiệm cận đứng → đúng. b) Giao TCĐ $x=2$ với $x-y-1=0$ cho $y=1$, điểm $(2;1)$; thay vào $y=x^2$: $1\ne 4$ → sai. c) $d_1=|x-2|$, $d_2=\frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}|x-2|}$ (vì $x+y-2=\frac{7}{x-2}$), nên $d_1{d}_2=\frac{7}{\sqrt{2}}\ne 7$ → sai. d) Hàm số không có TCĐ khi tử số chia hết cho $x-2$, tức $-4+8+3+m=0\iff m=-7$, không phải nguyên dương, nên $S=\varnothing$, $|S|=0\ne 1$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=-x+2+\frac{7}{x-2}$; tử số tại $x=2$ bằng 7 khác 0 nên TCĐ là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm là $(2;1)$, không thuộc parabol $y=x^2$ vì $1\ne 4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d_1{d}_2=|x-2|\cdot \frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\ne 7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Không có TCĐ khi $m=-7$ (không nguyên dương), nên $S=\varnothing$ có 0 phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x-1}{m{x}^2-2x+3}$.
a) Khi $m\ne 0$, bậc tử (1) nhỏ hơn bậc mẫu (2) nên $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=0$: hàm số có tiệm cận ngang $y=0$. Đúng.
b) Khi $m=0$: $y=\frac{x-1}{-2x+3}$ có TCĐ $x=\frac{3}{2}$ và TCN $y=-\frac{1}{2}$. Giao điểm $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$: $\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)-2=0$, thuộc đường thẳng $x-y-2=0$. Đúng.
c) Khi $m=2$: mẫu $2x^2-2x+3$ có $\Delta =4-24<0$ nên không có tiệm cận đúng; hàm chỉ có tiệm cận ngang $y=0$. Sai.
d) Hàm có ba đường tiệm cận khi có TCN $y=0$ ($m\ne 0$) và mẫu có hai nghiệm phân biệt khác $x=1$: $\Delta =4-12m>0\iff m<\frac{1}{12}$, $m\ne 0$, và $m\ne -1$ (vì $m=-1$ thì $x=1$ là nghiệm của mẫu, khử được với tử, chỉ còn 1 TCĐ). Với $m\in [-5;-1]$ nguyên âm: $m=-5,-4,-3,-2$ thỏa (loại $m=-1$), nên $S$ có 4 phần tử, không phải 1. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bậc mẫu lớn hơn bậc tử nên tiệm cận ngang là $y=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ $x=\frac{3}{2}$, TCN $y=-\frac{1}{2}$, giao điểm $\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$ thỏa $x-y-2=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =4-24<0$ nên không có tiệm cận đúng; chỉ có tiệm cận ngang $y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m<\frac{1}{12}$, $m\ne 0$, $m\ne -1$; các giá trị nguyên âm trong $[-5;-1]$ là $-5,-4,-3,-2$, tức $|S|=4\ne 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\frac{x^2+x-2}{x^2-2x+m}=\frac{(x-1)(x+2)}{x^2-2x+m}$.

a) Khi $m=0$: bậc tử và mẫu đều bằng 2, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{1}{1}=1$ nên có TCNG $y=1$. Đúng.

b) Khi $m=0$: mẫu $x^2-2x=x(x-2)$, nghiệm $x=0$, $x=2$ đều khác nghiệm tử (1 và 2) nên có 2 TCĐ $x=0$, $x=2$ cộng TCNG $y=1$: tổng 3 tiệm cận. Đúng.

c) Số TCĐ bằng số nghiệm phân biệt của $x^2-2x+m=0$ không trùng với $x=1$, $x=2$.
- Phương trình có nghiệm kép: $\Delta =4-4m=0\iff m=1$ (khi đó $y=\frac{x+2}{x-1}$, đúng 1 TCĐ $x=1$).
- Nếu một nghiệm trùng nghiệm tử: $x=1\Rightarrow m=1$ (đã xét); $x=2\Rightarrow m=0$ khi đó nghiệm còn lại $x=0$ vẫn là TCĐ → có 2 TCĐ.
Vậy chỉ có duy nhất $m=1$ cho đúng một TCĐ, tức chỉ có MỘT giá trị của $m$, không phải hai. Sai.

d) Hàm số luôn có TCNG $y=1$. Có ba đường tiệm cận ⟺ có 2 TCĐ phân biệt ⟺ $\Delta >0$ và các nghiệm khác 1, 2: $m<1$, $m\ne 0$ (và $m\ne 1$ đã bao gồm). Các giá trị nguyên $m\in [-8;8]$: $m\in \{-8,-7,\dots ,-1\}$, gồm 8 phần tử, không phải 7. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bậc tử bằng bậc mẫu, ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên có TCNG $y=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu $x(x-2)=0$ cho 2 TCĐ $x=0$, $x=2$ (không trùng nghiệm tử) và TCNG $y=1$: tổng 3 tiệm cận.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng một TCĐ khi và chỉ khi $m=1$ (nghiệm kép $x=1$); $m=0$ cho 2 TCĐ. Vậy chỉ có 1 giá trị $m$, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m<1$ và $m\ne 0$; các giá trị nguyên trong $[-8;8]$ là $\{-8,-7,\dots ,-1\}$: 8 phần tử, không phải 7.