Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+4}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}=x-3+\frac{1}{x-1}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-3)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (10D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-3x+3}{x-1}=x-2+\frac{1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) Đúng: chia đa thức cho $x-1$ được $y=x-2+\frac{1}{x-1}$, với ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
b) Đúng: ${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) Sai: $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(2;+\infty )$ ta có $x(x-2)>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến (không nghịch biến) trên khoảng này.
d) Sai: khoảng cách từ $M(2;1)$ đến trục tung $Oy$ là $|x_M|=2\ne 4$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=x-2+\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 1^{-}}y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}>0$ trên $(2;+\infty )$ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;1)$ đến trục tung bằng $|2|=2\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+2x-11}{x-2}=2x+6+\frac{1}{x-2}$ (kiểm tra: $(2x+6)(x-2)=2x^2+2x-12$, dư $1$). Vậy tiệm cận xiên là $y=2x+6$. Cắt $Ox$: $2x+6=0\Rightarrow x=-3$, nên $A(-3;0)$. Cắt $Oy$: $y=6$, nên $B(0;6)$. Diện tích tam giác $OAB$ vuông tại $O$: $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x-3}{x+1}=\frac{2(x+1)-5}{x+1}=2-\frac{5}{x+1}$. Đồ thị hàm số $y=2-\frac{5}{x+1}$ có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị: $(-1;2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x+2}$ xác định khi $x\ne -2$. Tại $x=-2$, mẫu số bằng 0 còn tử số $(-2{)}^2+(-2)-1=1\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -2^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $x^2+3x=(x-2)(x+5)+10$, nên $y=\frac{x^2+3x}{x-2}=x+5+\frac{10}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x-2}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=x+5$. Khớp đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1202: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-x-1+\frac{6}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$. Khớp với đáp án A của mã đề 1201.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ có bậc tử số và bậc mẫu số bằng nhau, nên tiệm cận ngang là $y=\frac{4}{1}=4$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{x-1}=4$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=4$, khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (mã đề 1202, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ có bậc tử số và bậc mẫu số bằng nhau. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x+1}{x-1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=4$, nên tiệm cận ngang của đồ thị là đường thẳng $y=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to -2^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, tức ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\infty$. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-2$. (Đáp án này cũng khớp với đáp án của đề: mã đề 122, câu 3 là D.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ có bậc tử số bằng bậc mẫu số nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$. Thật vậy, ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x+1}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$. Đường $x=-1$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-6x+5}{-4x-3}$ xác định khi $-4x-3\ne 0\iff x\ne -\frac{3}{4}$. Tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{3}{4}$ (tử số tại $x=-\frac{3}{4}$ bằng $-6\cdot (-\frac{3}{4})+5=\frac{9}{2}\ne 0$). Khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-2$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, do đó a) Sai. Vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$, b) Đúng. Tâm đối xứng của đồ thị $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ là giao hai tiệm cận $(-2;1)$, không phải $(1;-2)$, c) Sai. Điểm $M^{\prime }(-4-m;2-n)$ là ảnh của $M(m;n)$ qua phép đối xứng tâm $I(-2;1)$ (vì $\frac{m+(-4-m)}{2}=-2$, $\frac{n+(2-n)}{2}=1$). Kiểm tra: nếu $n=\frac{m-1}{m+2}$ thì $2-n=\frac{2(m+2)-(m-1)}{m+2}=\frac{m+5}{m+2}$, còn $f(-4-m)=\frac{-5-m}{-2-m}=\frac{m+5}{m+2}=2-n$, nên $M^{\prime }$ thuộc đồ thị, d) Đúng. Kết quả S-Đ-S-Đ khớp bảng đáp án mã đề 1252 (SDSD). Lưu ý ghi chú 'errors' trong dữ liệu nguồn là nhầm: đáp án nguồn đã đánh dấu b) là Đúng, không có mâu thuẫn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x+2=0$ tại $x=-2$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x-1}{x+2}=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức $(-2;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M^{\prime }(-4-m;2-n)$ đối xứng với $M(m;n)$ qua tâm $I(-2;1)$. Với $n=\frac{m-1}{m+2}$, ta có $2-n=\frac{m+5}{m+2}=f(-4-m)$, nên $M^{\prime }$ thuộc đồ thị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\frac{d}{c}$. Từ đồ thị, nhánh cong tiến đến vô cực khi $x$ tiến về 1 (đường đứt nét đứng tại $x=1$), đồng thời tiệm cận ngang là $y=1$ (đường đứt nét ngang). Vậy tiệm cận đứng là $x=1$, tương ứng đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1252: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau. Tính giới hạn khi $x\to \pm \infty$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}}=1$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$. (Đường $x=2$ là tiệm cận đứng, không phải tiệm cận ngang.) Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-2)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+3}=0$, nên đồ thị hàm số $y=x-2+\frac{1}{x+3}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2346, Câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+3}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-2)\right]=0$. Vậy đồ thị hàm số $y=x-2+\frac{1}{x+3}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-2$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 2345).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có bậc tử và bậc mẫu bằng nhau. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1+\frac{2}{x}}{1-\frac{2}{x}}=1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$. Đường $x=2$ là tiệm cận đứng (không phải ngang). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 2345: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có bậc tử bằng bậc mẫu nên tiệm cận ngang là $y=\frac{2}{1}=2$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-1}=2$). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 121: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (Mã đề 121, Câu 2): đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng $x=-1$ (đường xanh lá đứng) và tiệm cận xiên là đường thẳng màu xanh lá đi qua điểm $(-2;-2)$.

a) Sai: tiệm cận đứng là $x=-1$, không phải $x=1$.

b) Sai: đồ thị đi qua $(0;2)$ nhưng trên nhánh phải hàm giảm rồi tăng nên $(0;2)$ là điểm cực tiểu; điểm cực đại thuộc nhánh trái (giá trị âm, gần $(-2;-2)$).

c) Sai: tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên. Điểm $(-2;-2)$ nằm trên tiệm cận xiên chứ không phải giao của hai tiệm cận (giao điểm có hoành độ $x=-1$), nên $I(-2;-2)$ không phải tâm đối xứng.

d) Đúng: nhánh phải có giá trị nhỏ nhất dương (cực tiểu tại $(0;2)$) nên nằm hoàn toàn trên trục $Ox$; nhánh trái có giá trị lớn nhất âm nên nằm hoàn toàn dưới trục $Ox$. Do đó đồ thị không cắt trục $Ox$.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp bảng đáp án nguồn (Mã đề 121, Câu 2, trang 6).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Từ hình vẽ, tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng $x=-1$, không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị đi qua $(0;2)$ nhưng đây là điểm cực tiểu của nhánh phải (hàm giảm rồi tăng), không phải điểm cực đại; điểm cực đại thuộc nhánh trái với giá trị âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên. Điểm $(-2;-2)$ nằm trên tiệm cận xiên, không phải giao của hai tiệm cận, nên không phải tâm đối xứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Nhánh phải có giá trị nhỏ nhất dương và nhánh trái có giá trị lớn nhất âm, nên đồ thị không cắt trục $Ox$.