Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1$ nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là $y=-1$. Chọn D

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án:
- A: $y=x+1+\frac{x^2+2}{x}=x+1+x+\frac{2}{x}$, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$, không có tiệm cận xiên $y=x+1$.
- B: $y=\frac{x+1}{2x-3}$ có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}$, không có tiệm cận xiên.
- C: $y=\frac{x^2-x}{x-2}$. Chia đa thức: $x^2-x=(x-2)(x+1)+2$, nên $y=x+1+\frac{2}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-2}\to 0$, vậy $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
- D: $y=\frac{x^2+x+2}{x+1}=x+\frac{2}{x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+1$.
Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tức $c=-2b$. Giới hạn khi $x\to \pm \infty$ bằng $1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$. $f^{\prime }(x)=\frac{ac-2b}{(bx+c{)}^2}>0$ trên các khoảng xác định nên $ac-2b>0$. Thay $a=b$, $c=-2b$: $b(-2b)-2b=-2b^2-2b>0⟺b(b+1)<0⟺-1<b<0$. Vậy $b<0$, $a=b<0$, $c=-2b>0$. Trong $a,b,c$ có đúng $2$ số âm ($a$ và $b$). Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln \frac{x+1}{x^2+1}$ xác định khi $\frac{x+1}{x^2+1}>0$. Vì $x^2+1>0$ với mọi $x$ nên điều kiện là $x+1>0$, tức tập xác định $D=(-1;+\infty )$. Xét giới hạn tại biên trái: khi $x\to (-1{)}^{+}$ thì $\frac{x+1}{x^2+1}\to 0^{+}$, do đó $y=\ln \frac{x+1}{x^2+1}\to -\infty$. Vậy đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$. Khớp với đáp án nguồn (Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $3x^2-4x+1=(3x+2)(x-2)+5$, nên $y=3x+2+\frac{5}{x-2}$. Tiệm cận xiên là $y=3x+2$. Giao với trục $Ox$: $x=-\frac{2}{3}$; giao với trục $Oy$: $y=2$. Diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $2x+5\ge 0\iff x\ge -\frac{5}{2}$, nên $x=-2$ thuộc tập xác định. Hàm số chỉ có thể có tiệm cận đứng tại $x=-2$ (mẫu số triệt tiêu tại đó). Để không có tiệm cận đứng, giới hạn ${\lim }_{x\to -2}\frac{\sqrt{2x+5}+ax+b}{(x+2{)}^2}$ phải hữu hạn, tức tử số phải triệt tiêu đến bậc ít nhất 2 tại $x=-2$. Đặt $t=x+2$, khi đó $\sqrt{2x+5}=\sqrt{2t+1}=1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots$ (khai triển Taylor quanh $t=0$). Tử số: $$1+t-\frac{t^2}{2}+\cdots +a(t-2)+b=(1-2a+b)+(1+a)t-\frac{t^2}{2}+\cdots$$ Yêu cầu hệ số của $t^0$ và $t^1$ bằng 0: $1-2a+b=0$ và $1+a=0\Rightarrow a=-1$. Suy ra $b=2a-1=-3$. Khi đó $a-b=-1-(-3)=2$. Thử lại: tử số $\approx -\frac{t^2}{2}$, nên giới hạn bằng $-\frac{1}{2}$ hữu hạn — đúng, đồ thị không có tiệm cận đứng. Vậy $a-b=2$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{ax+b}{x-c}$ có bảng biến thiên với $y^{\prime }=\frac{-ac-b}{(x-c{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng, gián đoạn tại $x=3$. a) Đúng: từ bảng, khi $x\to 3^{-}$ thì $y\to +\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=3$. b) Sai: vì $x=3$ là TCĐ nên $c=3\ne -3$. c) Sai: hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$ nhưng không liên tục tại $x=3$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$. d) Đúng: tiệm cận ngang là $y=a=2$ (giới hạn khi $x\to \pm \infty$ đều bằng 2), nên $a=2$, do đó $a+c=2+3=5$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1202, câu 16: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 3^{-}$, $y\to +\infty$ nên tiệm cận đứng là $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
TCĐ là $x=c=3$, do đó $c=3\ne -3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ do gián đoạn tại $x=3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang $y=a=2$ nên $a=2$; với $c=3$ ta có $a+c=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta viết lại $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$. Phép chia đa thức: $x^2-3x=(x+1)(x-4)+4$, nên $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$. Đồ thị hàm $y=x-4+\frac{4}{x+1}$ có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x-4$. Vậy $I(-1;-5)$, tức $a=-1$, $b=-5$. Khi đó $a-2b=-1-2(-5)=9$. Kết quả khớp với đáp án chính thức (mã đề 1202, câu 19 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{4x-3}{x-2}$ có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4x-3}{x-2}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4-\frac{3}{x}}{1-\frac{2}{x}}=4$, nên tiệm cận ngang là đường thẳng $y=4$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 1202 (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }>0$ trên cả hai khoảng nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định → a) Sai. Tiệm cận đứng là $x=3$ nên $c=3$ → b) Sai. Tiệm cận ngang $y={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{ax+b}{x-c}=a=2$, do đó $a+c=2+3=5$ → c) Đúng. Tiệm cận ngang là $y=2$ → d) Đúng. Kết quả khớp đáp án mã đề 1201: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho $y^{\prime }>0$ trên cả $(-\infty ;3)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng của $y=\frac{ax+b}{x-c}$ là $x=c$. Theo bảng biến thiên, tiệm cận đứng là $x=3$ nên $c=3$, không phải $c=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang $y=a=2$ (giá trị $y$ tiến tới khi $x\to \pm \infty$), và $c=3$, nên $a+c=2+3=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 2$, nên tiệm cận ngang là $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-3}{x-3}$ có tử số và mẫu số cùng bậc 1, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{1}=3$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$, tương ứng đáp án D (khớp bảng đáp án mã đề 1201, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$: $y=\frac{x^2(1+3/x+2/x^2)}{|x|\sqrt{3+1/x^2}}\approx \frac{x}{\sqrt{3}}$, nên tiệm cận xiên thứ nhất là $y=\frac{x}{\sqrt{3}}$ (hệ số góc $m_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$). Khi $x\to -\infty$: $|x|=-x$ nên $y\approx -\frac{x}{\sqrt{3}}$, tiệm cận xiên thứ hai là $y=-\frac{x}{\sqrt{3}}$ (hệ số góc $m_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$). Góc giữa hai đường: $\tan \alpha =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|=\frac{2/\sqrt{3}}{1-1/3}=\frac{2/\sqrt{3}}{2/3}=\sqrt{3}$, suy ra $\alpha =60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương án:
- A: $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu nên chỉ có tiệm cận ngang $y=0$, không có tiệm cận xiên.
- B: $y=\sqrt{x^2-2x+3}$, khi $x\to +\infty$ thì $y\approx x-1$ và khi $x\to -\infty$ thì $y\approx -x+1$, không phải $y=x+1$.
- C: $y=\frac{x^2-x}{x-2}=x+1+\frac{2}{x-2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x-2}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+1)\right]=0$, tức đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.
- D: $y=\frac{2x^2+x+1}{2x+1}=x+\frac{1}{2x+1}$, tiệm cận xiên là $y=x$, không phải $y=x+1$.
Vậy đáp án đúng là C.

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+1}{x^2-2x}=1$; $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[\frac{x^2-3x+1}{x-2}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+1}{x-2}=-1$. Tương tự do $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f(x)-x\right]=-1$. Vậy đường thẳng $y=x-1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$ có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$, nên tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x^2-10x+5000}{x}=2x-10+\frac{5000}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
a) Đúng. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(2-\frac{10}{x}+\frac{5000}{x^2}\right)=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-2x+10\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5000}{x}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-10$.
b) Sai. Xét $f(x)=2x-10+\frac{5000}{x}$ với $x>0$: $f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x^2=2500\iff x=50$ (vì $x>0$). Vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $0<x<50$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>50$ nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=50$, tức nhà hàng phải chế biến 50 phần thức ăn (không phải 45 phần).
c) Sai. Trên mỗi nhánh, $y^{\prime }=2-\frac{5000}{x^2}$; với $x>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=50$ (với $x<0$, hàm đạt cực đại tại $x=-50$). Vậy hàm số có điểm cực trị, mệnh đề 'không có điểm cực trị' là sai.
d) Sai. Trên mỗi nhánh hàm số có cực trị nhưng không có giá trị lớn nhất trên tập xác định (khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to \pm \infty$), nên không tồn tại GTLN bằng 5000.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}=2$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-2x+10)=0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2-\frac{5000}{x^2}=0\iff x=50$ (với $x>0$), và $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=50$. Vậy phải chế biến 50 phần thức ăn, không phải 45.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có cực tiểu tại $x=50$ (nhánh $x>0$) và cực đại tại $x=-50$ (nhánh $x<0$), nên hàm số có điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$ nên hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x}=2+\frac{1}{x}$ có bậc tử lớn hơn bậc mẫu bằng 1 bậc, nên tiệm cận ngang là $y=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x}=2$. Vậy tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-x+1}{x(x+1)}=2$.

Tiếp theo: $f(x)-ax=\frac{2x^2-x+1-2x(x+1)}{x+1}=\frac{-3x+1}{x+1}$, nên $b={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-3x+1}{x+1}=-3$.

Vậy $T=a^2+b^2=2^2+(-3{)}^2=13$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $-x^2+4x-4=(x-1)(-x+3)-1$ nên $y=-x+3-\frac{1}{x-1}$. a) Sai: tiệm cận xiên là $y=-x+3$, không phải $y=-x-3$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=1$. c) Đúng: $y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\in (2;+\infty )$ (vì $\frac{1}{(x-1{)}^2}<1$), nên hàm số nghịch biến trên $(2;+\infty )$. d) Đúng: khoảng cách từ $M(0;4)$ đến trục hoành là $|4|=4$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y=-x+3-\frac{1}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=-x+3$, không phải $y=-x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x-1{)}^2}<0$ trên $(2;+\infty )$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(0;4)$ đến trục hoành $Ox$ là $|y_M|=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+4}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2+1}{x-1}=x-3+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên đồ thị có tiệm cận xiên $y=x-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2793, Câu 4: C).