Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=40$ nên trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 20 và thứ 21 trong dãy đã sắp xếp. Tần số tích lũy: điểm 3 có 2, điểm 4 có 5, điểm 5 có 12, điểm 6 có 30. Vì cả giá trị thứ 20 và thứ 21 đều bằng 6 nên số trung vị là $\frac{6+6}{2}=6$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $1;4;4;6;7;9;10$. Mẫu có $n=7$ (lẻ) nên số trung vị là giá trị thứ $\frac{7+1}{2}=4$, tức là $6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11 trong dãy đã sắp xếp. Tần số tích lũy: điểm 4 có 1 HS, điểm 5 có 3 HS, điểm 6 có 6 HS, điểm 7 có 10 HS, điểm 8 có 15 HS. Vậy giá trị thứ 10 là 7, giá trị thứ 11 là 8. Số trung vị $=\frac{7+8}{2}=7,5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất. Trong bảng, nhiệt độ 25 có tần số 3, lớn hơn các tần số khác (2; 1; 2; 2; 2). Vậy mốt của mẫu số liệu là 25.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu: 2; 3; 5; 5; 7; 10; 13; 15 (n = 8). Tứ phân vị thứ hai là trung vị: Q2 = (5+7)/2 = 6. Nửa dưới gồm 2; 3; 5; 5 nên Q1 = (3+5)/2 = 4. Nửa trên gồm 7; 10; 13; 15 nên Q3 = (10+13)/2 = 11,5. Vậy Q1 = 4; Q2 = 6; Q3 = 11,5, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu (10 giá trị): 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 9. Số trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 5 và thứ 6: $(7+7)/2=7$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 5; 2; 1; 6; 7; 5; 4; 5; 9. Giá trị 5 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn các giá trị khác (mỗi giá trị khác chỉ xuất hiện 1 lần). Vậy mốt của mẫu số liệu là $M_o=5$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp số liệu: 300; 350; 350; 350; 350; 400; 400; 400; 450; 450 (n = 10). Số trung vị Q2 = (350 + 400)/2 = 375. Nửa dưới gồm 300; 350; 350; 350; 350 nên Q1 = 350. Nửa trên gồm 400; 400; 400; 450; 450 nên Q3 = 400. Vậy Q1 = 350; Q2 = 375; Q3 = 400, chọn A.

Chọn B. Ta bấm máy ra $Q_3=12$

Có $n=45$. Giá trị trung bình $\overline{x}=\frac{5.4+6.14+7.6+8.8+9.8+10.5}{45}\approx 7,4$. Trung vị $M_e=x_{23}=7$. Có $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right)=6$; $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)=9$. Khoảng tứ phân vị: $\Delta Q=Q_3-Q_1=3$. Phương sai: $S^2=\frac{4.{\left(5-\overline{x}\right)}^2+14.{\left(6-\overline{x}\right)}^2+6.{\left(7-\overline{x}\right)}^2+8.{\left(8-\overline{x}\right)}^2+8.{\left(9-\overline{x}\right)}^2+5.{\left(10-\overline{x}\right)}^2}{45}\approx 2,4$

Chọn C. Ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $5;6;6;6;6;6;7;7;7;7;7;8;8;8;8;8;8;9;9;10;10$ ta thấy điểm số 8 xuất hiện nhiều nhất (6 lần) nên $M_0=8$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 24 giá trị: 72+89+88+73+63+265+69+65+94+80+81+98+66+71+84+73+93+59+60+61+83+72+85+66 = 2010. a) Số trung bình = 2010/24 = 83,75 → đúng. Sắp xếp dãy: 59, 60, 61, 63, 65, 66, 66, 69, 71, 72, 72, 73, 73, 80, 81, 83, 84, 85, 88, 89, 93, 94, 98, 265. b) Trung vị = (73+73)/2 = 73 ≠ 72 → sai. c) Sai khác |83,75 − 73| = 10,75 → đúng. d) Q1 = trung vị của 12 giá trị đầu = (66+69)/2 = 67,5; Q2 = 73; khoảng cách Q2 − Q1 = 5,5 ≠ 8 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng 24 giá trị bằng 2010 nên số trung bình = 2010/24 = 83,75 bao.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy đã sắp xếp có giá trị thứ 12 và 13 đều là 73 nên trung vị = 73, không phải 72.
c) (AI giải đề cho tôi)
|83,75 − 73| = 10,75.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = (66+69)/2 = 67,5; Q2 = 73; khoảng cách Q2 − Q1 = 5,5 ≠ 8.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng nhiệt độ 12 tháng: $19,6+19,6+23,2+22,3+29,9+32,1+31,6+29,3+29,2+24,8+23,9+18,6=304,1$.
- a) Nhiệt độ trung bình $\bar{x}=\frac{304,1}{12}\approx 25,34^{\circ }C$ → đúng.
- b) Nhiệt độ cao nhất là $32,1^{\circ }C$ thuộc tháng 6, không phải tháng 7 → sai.
- c) $\sum x_i^2=7970,17$, nên $s^2=\frac{7970,17}{12}-{\left(\frac{304,1}{12}\right)}^2\approx 664,18-642,20\approx 21,98$ → đúng.
- d) $s=\sqrt{21,98}\approx 4,69\ne 3,69$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $304,1$, trung bình $\bar{x}=304,1/12\approx 25,34^{\circ }C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhiệt độ cao nhất $32,1^{\circ }C$ ở tháng 6; tháng 7 chỉ $31,6^{\circ }C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s^2=\frac{1}{12}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2\approx 664,18-642,20\approx 21,98$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$s=\sqrt{21,98}\approx 4,69$, không phải $3,69$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4: Mẫu số liệu gồm 11 giá trị (triệu người): 7,52; 1,09; 1,25; 1,27; 1,81; 2,01; 1,19; 1,79; 0,81; 1,85; 0,97.

a) Số trung bình:
$$\bar{x}=\frac{7,52+1,09+1,25+1,27+1,81+2,01+1,19+1,79+0,81+1,85+0,97}{11}=\frac{21,56}{11}\approx 1,96$$ (triệu người).

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 0,81; 0,97; 1,09; 1,19; 1,25; 1,27; 1,79; 1,81; 1,85; 2,01; 7,52.
Mẫu có $n=11$ (lẻ) nên trung vị là giá trị thứ 6: $Me=1,27$ (triệu người).

b) Số trung bình ($\approx 1,96$) và trung vị ($1,27$) sai khác nhiều vì mẫu số liệu có giá trị ngoại lệ: dân số Hà Nội là 7,52 triệu người, lớn gấp nhiều lần dân số các tỉnh còn lại (từ 0,81 đến 2,01 triệu). Giá trị ngoại lệ này kéo số trung bình tăng lên đáng kể, trong khi trung vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị ngoại lệ nên gần với mức dân số phổ biến của các tỉnh.

c) Nên sử dụng số trung vị ($Me=1,27$ triệu người) để đại diện cho dân số của các tỉnh Đồng bằng Bắc Bộ, vì mẫu số liệu chứa giá trị ngoại lệ (Hà Nội) làm số trung bình bị bóp méo, không phản ánh đúng mức dân số điển hình của đa số các tỉnh/thành phố.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Đồng bằng Sông Hồng (n = 11):** Sắp xếp: 23, 27, 34, 35, 37, 39, 46, 54, 57, 57, 187.
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{596}{11}\approx 54,18$.
- Trung vị: giá trị thứ 6 là $39$.
- Tứ phân vị: $Q_1$ là giá trị thứ 3 là $34$; $Q_3$ là giá trị thứ 9 là $57$.
- Mốt: $57$ (xuất hiện 2 lần).
- Khoảng biến thiên: $R=187-23=164$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=57-34=23$.
- Phương sai: $S^2=\frac{1}{11}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{53028}{11}-{\left(\frac{596}{11}\right)}^2\approx 1885,06$.
- Độ lệch chuẩn: $S\approx 43,42$.

**Đồng bằng Sông Cửu Long (n = 13):** Sắp xếp: 15, 19, 23, 24, 24, 24, 26, 29, 33, 33, 34, 39, 42.
- Số trung bình: $\bar{y}=\frac{365}{13}\approx 28,08$.
- Trung vị: giá trị thứ 7 là $26$.
- Tứ phân vị: $Q_1$ là giá trị thứ 3{,}5 là $\frac{23+24}{2}=23,5$; $Q_3$ là giá trị thứ 10{,}5 là $\frac{33+34}{2}=33,5$.
- Mốt: $24$ (xuất hiện 3 lần).
- Khoảng biến thiên: $R=42-15=27$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=33,5-23,5=10$.
- Phương sai: $S^2=\frac{10979}{13}-{\left(\frac{365}{13}\right)}^2\approx 56,22$.
- Độ lệch chuẩn: $S\approx 7,50$.

**b)** Mẫu số liệu Đồng bằng Sông Hồng chứa giá trị ngoại lệ $187$ (Hà Nội) rất lớn so với các giá trị còn lại. Số trung bình nhạy cảm với giá trị ngoại lệ nên bị kéo lên nhiều ($\approx 54,18$), trong khi trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ nên gần bằng trung vị của mẫu Đồng bằng Sông Cửu Long ($39$ so với $26$, cùng cấp độ nhỏ).

**c)** Khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn đều tính đến tất cả các giá trị của mẫu nên chịu ảnh hưởng mạnh của giá trị ngoại lệ $187$, làm chúng rất lớn ở mẫu Đồng bằng Sông Hồng ($R=164$, $S\approx 43,4$) so với mẫu Đồng bằng Sông Cửu Long ($R=27$, $S\approx 7,5$). Khoảng tứ phân vị chỉ dựa trên $Q_1$ và $Q_3$, bỏ qua $25\%$ giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ; do đó hai khoảng tứ phân vị ($23$ và $10$) không chênh lệch nhiều như khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. Theo bảng thống kê, cỡ giày 37 có số lượng lớn nhất là 34 đôi (so với 8, 15, 12, 5, 2, 1 của các cỡ khác), nên mốt của mẫu số liệu là 37. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=11$): 60, 64, 70, 74, 76, 76, 78, 80, 82, 86, 90. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3(n+1)}{4}=\frac{3\cdot 12}{4}=9$, nên $Q_3$ là giá trị thứ 9 $=82$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có n=17 giá trị, sắp xếp: 3; 5;5;5;5;5; 6;6;6;6; 7;7;7;7;7;7; 8.
a) Sai: Q1 là giá trị thứ 4,25 nên bằng 5; Q3 là giá trị thứ 12,75 nên bằng 7. Khoảng biến thiên tứ phân vị IQR = 7 − 5 = 2. Giới hạn dưới = 5 − 1,5·2 = 2, giới hạn trên = 7 + 1,5·2 = 10. Giá trị 3 nằm trong [2; 10] nên không phải giá trị bất thường.
b) Sai: IQR = 2, không phải 3.
c) Đúng: thời gian trung bình = (3·1 + 5·5 + 6·4 + 7·6 + 8·1)/17 = 102/17 = 6 (phút).
d) Đúng: giá trị 7 xuất hiện 6 lần, nhiều nhất, nên mốt là 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
IQR = 2, giới hạn dưới 2 và trên 10; giá trị 3 nằm trong khoảng này nên không phải giá trị bất thường.
b) (AI giải đề cho tôi)
Q1 = 5, Q3 = 7 nên khoảng tứ phân vị = 7 − 5 = 2 ≠ 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
(3·1 + 5·5 + 6·4 + 7·6 + 8·1)/17 = 102/17 = 6 (phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị 7 xuất hiện 6 lần (nhiều nhất) nên mốt là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Số học sinh của nhóm bằng tổng điểm chia cho điểm trung bình: $n=\frac{72,9}{8,1}=9$. Vậy nhóm có 9 học sinh, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+4+6+12+8+3=35$. Sắp xếp dữ liệu: hai giá trị 0, bốn giá trị 1, sáu giá trị 2, mười hai giá trị 3, tám giá trị 4, ba giá trị 5. Vị trí tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n+1}{4}=9$, giá trị thứ 9 là $2$ nên $Q_1=2$. Vị trí trung vị: $\frac{2(n+1)}{4}=18$, giá trị thứ 18 là $3$ nên $Q_2=3$. Vị trí tứ phân vị thứ ba: $\frac{3(n+1)}{4}=27$, giá trị thứ 27 là $4$ nên $Q_3=4$. Vậy các tứ phân vị lần lượt là $2,3,4$.