Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, theo hình vẽ $\widehat{BAC}=45^{\circ }$ nên $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách khác: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=a^2+0=a^2$, còn $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, nên $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (0111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ mỗi đỉnh có thể làm điểm đầu, chọn một trong hai đỉnh còn lại làm điểm cuối: mỗi đỉnh cho 2 vecto khác vecto-không, ba đỉnh cho $3\times 2=6$ vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$. Vậy có 6 vecto, khớp đáp án A của mã đề 0111.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ nên khẳng định B đúng. Xét A: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}$, nói chung khác $\overrightarrow{BC}$, nên A sai. C đúng vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$. D đúng vì hai vectơ đối nhau. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- P: $\vec{0}$ là vecto có độ dài bằng 0. Đúng, theo định nghĩa $|\vec{0}|=0$.
- Q: $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto. Đúng, theo quy ước, vecto $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto.
- R: Hai vecto cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. Sai. Ví dụ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ (với $A\ne B$) cùng nằm trên đường thẳng AB nên cùng phương, có cùng độ dài $AB$, nhưng ngược hướng nên không bằng nhau. Hai vecto bằng nhau phải cùng hướng và cùng độ dài, không chỉ cần cùng phương.
- S: Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Đúng, theo định nghĩa SGK: vecto là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối.
Vậy các mệnh đề đúng là P, Q, S (R sai), tức có 3 mệnh đề đúng. Chọn C, khớp với đáp án mã đề 0103.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $\vec{b}=-2\vec{a}$ cùng phương nhưng ngược hướng), nên mệnh đề A sai. Mệnh đề B đúng vì hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng nên cùng phương. Mệnh đề C đúng vì hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề D đúng vì cùng hướng kéo theo cùng phương. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-6)=6-6=0$. Do đó hai vecto vuông góc, cosin góc giữa chúng bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $-\vec{a}$), nên mệnh đề B sai. Các mệnh đề A, C, D đều đúng. Đáp án khớp với mã đề 0101, câu 6: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (cùng đi lên theo hướng phải - đông bắc). Độ dài của $\vec{a}$ chiếm khoảng 2 ô theo phương chéo, còn $\vec{b}$ chiếm khoảng 4 ô theo cùng phương chéo, tức $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$. Vì hai vectơ cùng hướng nên $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}$. Kiểm tra đáp án nguồn: bảng đáp án MÃ ĐỀ 1002, Câu 10 là B, khớp với kết quả giải độc lập. Các phương án còn lại sai vì: A và D sai dấu (hai vectơ cùng hướng, không đối hướng); C sai vì $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|$ chứ không phải $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên khẳng định A ($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$) là sai. B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ (hai vectơ đối nhau). C đúng theo quy tắc ba điểm. D đúng vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (hiệu hai vectơ cùng xuất phát từ A). Đáp án khớp với mã đề 1002 (câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$ nên $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$ (hai vec tơ đối nhau, cùng độ dài nhưng ngược hướng). Do đó $\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\vec{0}$: phương án A đúng.
- B sai: $\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{IE}$ và $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{IF}$, nên $\overrightarrow{FI}-\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IF}\ne \vec{0}$.
- C sai: $IE+IF$ là tổng hai độ dài dương, không thể bằng $0$.
- D sai: $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$, hai vec tơ đối nhau chứ không bằng nhau.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức, mã đề 1002 (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có mỗi góc bằng $60^{\circ }$, đặc biệt $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng xuất phát từ đỉnh $A$ nên góc giữa chúng bằng góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (Mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều nên $AB=AC=BC$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$. A sai vì hai vectơ khác phương; C sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ khác hướng; D sai vì độ dài luôn dương, $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$. Đáp án khớp với mã đề 1002: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng. Độ dài của $\vec{a}$ chiếm 2 ô, độ dài của $\vec{b}$ chiếm 4 ô, nên $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|$ và cùng hướng, suy ra $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}$. Các phương án còn lại sai vì: A và C sai dấu (hai vectơ cùng hướng, không đối nhau); D sai vì $|\vec{a}|<|\vec{b}|$ nên không thể $\vec{a}=2\vec{b}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc có đỉnh chung $A$, tức đúng bằng góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều nên $AB=BC=CA$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$ (đúng). A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$). B sai vì độ dài luôn dương: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|>0$. D sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ khác phương. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $EF$ nên $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$, do đó $\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\vec{0}$: khẳng định A đúng (khớp đáp án nguồn: Mã đề 1001, Câu 7 = A).
B sai vì $\overrightarrow{IE}$ và $\overrightarrow{IF}$ ngược hướng nên không thể bằng nhau.
C sai vì $\overrightarrow{FI}=-\overrightarrow{EI}$ (hai vectơ đối nhau), suy ra $\overrightarrow{FI}-\overrightarrow{EI}=-\overrightarrow{EI}-\overrightarrow{EI}=-2\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{FE}\ne \vec{0}$.
D sai vì $IE+IF$ là tổng hai độ dài dương, bằng $EF>0$, không thể bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với ba điểm A, B, C bất kỳ:
- A: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ (đúng).
- B: Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (đúng).
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, mà $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ (hai vectơ đối nhau), nên khẳng định này sai.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ (đúng).
Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ với $C$ là đỉnh đối diện $A$ của hình vuông. Độ dài $\overrightarrow{AC}$ bằng đường chéo hình vuông cạnh $a$: $AC=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hệ số $k=-3<0$ nên vectơ $-3\vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$, và độ dài $|-3\vec{a}|=3|\vec{a}|$. Do đó A sai (cùng hướng), B đúng (ngược hướng), C sai (độ dài không thể âm), D sai (cùng hướng là sai). Khẳng định đúng là B.