Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $-\vec{a}$), nên mệnh đề B sai. Các mệnh đề A, C, D đều đúng. Đáp án khớp với mã đề 0101, câu 6: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (cùng đi lên theo hướng phải - đông bắc). Độ dài của $\vec{a}$ chiếm khoảng 2 ô theo phương chéo, còn $\vec{b}$ chiếm khoảng 4 ô theo cùng phương chéo, tức $|\vec{b}|=2|\vec{a}|$. Vì hai vectơ cùng hướng nên $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}$. Kiểm tra đáp án nguồn: bảng đáp án MÃ ĐỀ 1002, Câu 10 là B, khớp với kết quả giải độc lập. Các phương án còn lại sai vì: A và D sai dấu (hai vectơ cùng hướng, không đối hướng); C sai vì $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|$ chứ không phải $|\vec{a}|=2|\vec{b}|$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc hình bình hành: $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^0=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20000+10000\sqrt{2}\approx 34142,14$. Vậy $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|\approx \sqrt{34142,14}\approx 184,8\approx 185$ N, trùng với đáp án nguồn (185).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=AB.AD\cos \widehat{BAD}=a.a\sqrt{2}.\cos 120^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$.

b) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AG}$ mà $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$.

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DB}+\frac{19}{6}\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\frac{19}{18}\overrightarrow{DC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên khẳng định A ($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$) là sai. B đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ (hai vectơ đối nhau). C đúng theo quy tắc ba điểm. D đúng vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (hiệu hai vectơ cùng xuất phát từ A). Đáp án khớp với mã đề 1002 (câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$ nên $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$ (hai vec tơ đối nhau, cùng độ dài nhưng ngược hướng). Do đó $\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\vec{0}$: phương án A đúng.
- B sai: $\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{IE}$ và $\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{IF}$, nên $\overrightarrow{FI}-\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{IE}-\overrightarrow{IF}\ne \vec{0}$.
- C sai: $IE+IF$ là tổng hai độ dài dương, không thể bằng $0$.
- D sai: $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$, hai vec tơ đối nhau chứ không bằng nhau.
Kết quả khớp bảng đáp án chính thức, mã đề 1002 (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có mỗi góc bằng $60^{\circ }$, đặc biệt $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng xuất phát từ đỉnh $A$ nên góc giữa chúng bằng góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án của đề (Mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều nên $AB=AC=BC$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$. A sai vì hai vectơ khác phương; C sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ khác hướng; D sai vì độ dài luôn dương, $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|$. Đáp án khớp với mã đề 1002: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ lưới ô vuông, hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng. Độ dài của $\vec{a}$ chiếm 2 ô, độ dài của $\vec{b}$ chiếm 4 ô, nên $|\vec{a}|=\frac{1}{2}|\vec{b}|$ và cùng hướng, suy ra $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}$. Các phương án còn lại sai vì: A và C sai dấu (hai vectơ cùng hướng, không đối nhau); D sai vì $|\vec{a}|<|\vec{b}|$ nên không thể $\vec{a}=2\vec{b}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc có đỉnh chung $A$, tức đúng bằng góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2, Phần II (mã đề 1001): a) $\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-5;2-3)=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$ → Sai. b) $M$ đối xứng với $A(3;-2)$ qua $B(5;3)$: $M=2B-A=(10-3;6+2)=(7;8)$ → Đúng. c) $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{37}$ → Đúng. d) Tại $B$: $\overrightarrow{BA}=A-B=(-2;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=12+5=17>0$ nên $\widehat{ABC}<90^0$ là góc nhọn, không phải góc tù → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M=2B-A=(7;8)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=17>0$ nên $\widehat{ABC}$ là góc nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành (định lí cosin cho tam giác tạo bởi hai lực và hợp lực): $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^{\circ }=100^2+100^2+2\cdot 100\cdot 100\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20000+10000\sqrt{2}\approx 34142,14$. Vậy $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|\approx \sqrt{34142,14}\approx 184,8\approx 185$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (185).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;4)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$.
Suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(-1;4)$.

b) Gọi $M(a;b)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(3-a;-2-b)$, $\overrightarrow{MC}=(-1-a;2-b)$.
Suy $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=(7-a;-6-b)$.
Vì $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$ nên $\{\begin{array}{l}7-a=-1\\ -6-b=4\end{array}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}a=8\\ b=-10\end{array}$.
Vậy $M(8;-10)$.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AD}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=AB.AD\cos \widehat{BAD}=a.a\sqrt{2}.\cos 120^0=-\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2$.

b) Ta có $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AG}$ mà $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}=\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$.

$\Rightarrow 3\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\frac{5}{3}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{DB}+\frac{19}{6}\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}+\frac{19}{18}\overrightarrow{DC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều nên $AB=BC=CA$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|$ (đúng). A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$). B sai vì độ dài luôn dương: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|>0$. D sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ khác phương. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $EF$ nên $\overrightarrow{IE}=-\overrightarrow{IF}$, do đó $\overrightarrow{IE}+\overrightarrow{IF}=\vec{0}$: khẳng định A đúng (khớp đáp án nguồn: Mã đề 1001, Câu 7 = A).
B sai vì $\overrightarrow{IE}$ và $\overrightarrow{IF}$ ngược hướng nên không thể bằng nhau.
C sai vì $\overrightarrow{FI}=-\overrightarrow{EI}$ (hai vectơ đối nhau), suy ra $\overrightarrow{FI}-\overrightarrow{EI}=-\overrightarrow{EI}-\overrightarrow{EI}=-2\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{FE}\ne \vec{0}$.
D sai vì $IE+IF$ là tổng hai độ dài dương, bằng $EF>0$, không thể bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với ba điểm A, B, C bất kỳ:
- A: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ (đúng).
- B: Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (đúng).
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, mà $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ (hai vectơ đối nhau), nên khẳng định này sai.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$ (đúng).
Vậy khẳng định sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh $a$, góc tại B bằng $60^{\circ }$ nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là góc ngoài tại B bằng $120^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cdot \cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ với $C$ là đỉnh đối diện $A$ của hình vuông. Độ dài $\overrightarrow{AC}$ bằng đường chéo hình vuông cạnh $a$: $AC=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hệ số $k=-3<0$ nên vectơ $-3\vec{a}$ ngược hướng với vectơ $\vec{a}$, và độ dài $|-3\vec{a}|=3|\vec{a}|$. Do đó A sai (cùng hướng), B đúng (ngược hướng), C sai (độ dài không thể âm), D sai (cùng hướng là sai). Khẳng định đúng là B.