Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực: $A=\vec{F}\cdot \overrightarrow{OM}=|\vec{F}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot \cos 60^{\circ }=40\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=1000$ (J). Kết quả khớp với đáp án nguồn (1000).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, theo hình vẽ $\widehat{BAC}=45^{\circ }$ nên $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách khác: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=a^2+0=a^2$, còn $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, nên $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Khớp với đáp án A trong bảng mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=20\cdot \frac{1}{2}=10$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (0111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $AB=2$, $BC=4$ (nên $AD=BC=4$), $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ suy ra $\widehat{BAD}=120^{\circ }$.
a) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ nên $|\overrightarrow{BD}{|}^2=A{D}^2+A{B}^2-2\cdot AD\cdot AB\cdot \cos 120^{\circ }=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot (-\frac{1}{2})=28$, tức $|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$ → Sai.
c) $S=AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ne 4c{m}^2$ → Sai.
d) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn (trang 10, cột 4a–4d: S, S, S, D).
a) (AI giải đề cho tôi)
|BD|² = AD²+AB²−2·AD·AB·cos120° = 16+4+8 = 28, nên |BD| = 2√7 ≠ 2√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
DA+AC = DC = AB, nên tích vô hướng bằng |AB|² = 4 ≠ 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
S = AB·BC·sin60° = 2·4·(√3/2) = 4√3 ≠ 4 cm².
d) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên AB = DC (vectơ).

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực: $A=\vec{F}\cdot \overrightarrow{OM}=|\vec{F}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot \cos 60^{\circ }=40\cdot 50\cdot \frac{1}{2}=1000(J)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2 = 1000).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=a$, $BC=a$, nên $AC=a\sqrt{2}$. Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2+0=a^2$. Do đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ mỗi đỉnh có thể làm điểm đầu, chọn một trong hai đỉnh còn lại làm điểm cuối: mỗi đỉnh cho 2 vecto khác vecto-không, ba đỉnh cho $3\times 2=6$ vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$. Vậy có 6 vecto, khớp đáp án A của mã đề 0111.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ nên khẳng định B đúng. Xét A: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}$, nói chung khác $\overrightarrow{BC}$, nên A sai. C đúng vì $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$. D đúng vì hai vectơ đối nhau. Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0111, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- P: $\vec{0}$ là vecto có độ dài bằng 0. Đúng, theo định nghĩa $|\vec{0}|=0$.
- Q: $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto. Đúng, theo quy ước, vecto $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto.
- R: Hai vecto cùng phương và cùng độ dài thì bằng nhau. Sai. Ví dụ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ (với $A\ne B$) cùng nằm trên đường thẳng AB nên cùng phương, có cùng độ dài $AB$, nhưng ngược hướng nên không bằng nhau. Hai vecto bằng nhau phải cùng hướng và cùng độ dài, không chỉ cần cùng phương.
- S: Vecto là một đoạn thẳng có hướng. Đúng, theo định nghĩa SGK: vecto là một đoạn thẳng có hướng, có điểm đầu và điểm cuối.
Vậy các mệnh đề đúng là P, Q, S (R sai), tức có 3 mệnh đề đúng. Chọn C, khớp với đáp án mã đề 0103.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $D(0;2a)$, $C(a;2a)$, tâm $O(a/2;a)$. E trung điểm AD nên $E(0;a)$; F trung điểm BO nên $F(3a/4;a/2)$.
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ và O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{BE}=(-a;a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.
c) $\overrightarrow{EF}=(3a/4;-a/2)$; còn $-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=(3a/4;-a/2)$. Bằng nhau. Đúng.
d) $\overrightarrow{BC}=(0;2a)$, $\overrightarrow{DA}=(0;-2a)$, khác nhau (đối nhau). Sai.
Chi tiết từng phương án:
a) O là tâm hình chữ nhật nên là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$.
b) Với tọa độ $A(0;0)$, $B(a;0)$, $D(0;2a)$: $E(0;a)$, $\overrightarrow{BE}=(-a;a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$.
c) F trung điểm BO với $O(a/2;a)$ nên $F(3a/4;a/2)$, $\overrightarrow{EF}=(3a/4;-a/2)$. Mặt khác $-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=(3a/4;-a/2)$. Hai véc tơ bằng nhau.
d) $\overrightarrow{BC}=(0;2a)$ còn $\overrightarrow{DA}=(0;-2a)$; chúng đối nhau chứ không bằng nhau ($\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$ với $a=3\sqrt{2}$. Khi đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=(a;0)+(a;a)+(0;a)=(2a;2a)$. Độ dài bằng $\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{2}=2\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-6)=6-6=0$. Do đó hai vecto vuông góc, cosin góc giữa chúng bằng $0$.

ĐÁP SỐ:

Vẽ điểm F thỏa mãn ABFC là hình bình hành



$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}$

Vì ABFC là hình bình hành nên $\hat{B}=180^0-120^0=60^0$

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABF ta có:

$b^2=a^2+f^2-2.a.f.\cos B=5+8-2.\sqrt{5}.2\sqrt{2}\cos 60^0$

$b=\sqrt{13-2\sqrt{10}}\approx 2,58$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F}$ là 2,58 N

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương có thể ngược hướng (ví dụ $\vec{a}$ và $\vec{b}=-2\vec{a}$ cùng phương nhưng ngược hướng), nên mệnh đề A sai. Mệnh đề B đúng vì hai vectơ bằng nhau thì cùng hướng nên cùng phương. Mệnh đề C đúng vì hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Mệnh đề D đúng vì cùng hướng kéo theo cùng phương. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II (mã đề 0101). a) Đúng: O là giao hai đường chéo hình chữ nhật nên theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$. b) Sai: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}$. c) Đúng: chọn hệ trục $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,2a)$ thì $C(a,2a)$, $O(a/2,a)$, $E(0,a)$, F trung điểm BO là $(3a/4,a/2)$; suy ra $\overrightarrow{EF}=(3a/4,-a/2)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khớp khẳng định. d) Sai: $\overrightarrow{BE}=(-a,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a,2a)$ nên $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AC}=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: 2a Đúng, 2b Sai, 2c Đúng, 2d Sai. Lời giải chi tiết do AI cung cấp vì đề chỉ có bảng đáp án.
a) Đúng. O là tâm hình chữ nhật nên theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$.
b) Sai. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (cùng hướng) còn $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}$.
c) Đúng. Chọn hệ trục $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,2a)$: $E(0,a)$, F trung điểm BO nên $F(3a/4,a/2)$. Suy ra $\overrightarrow{EF}=(3a/4,-a/2)=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$, khớp với khẳng định của đề.
d) Sai. Với $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,2a)$, $E(0,a)$: $\overrightarrow{BE}=(-a,a)$, $\overrightarrow{AC}=(a,2a)$, tích vô hướng $=-a^2+2a^2=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là trung điểm của $BD$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AE}$. Trong hình vuông $ABCD$, $E$ cũng là trung điểm của $AC$ nên $2\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$. Đường chéo $AC=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$, nên $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2\cdot 6=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-6)=6-6=0$. Do đó hai vecto vuông góc, cosin góc giữa chúng bằng $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: P đúng vì vecto $\vec{0}$ có độ dài bằng 0. Q đúng vì $\vec{0}$ cùng phương với mọi vecto. R sai vì hai vecto cùng phương và cùng độ dài có thể ngược hướng (khi đó chúng đối nhau chứ không bằng nhau). S đúng theo SGK Toán 10: vecto được xác định bởi một đoạn thẳng có hướng (gốc A, ngọn B). Vậy có 3 mệnh đề đúng (P, Q, S), chọn đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 2: B).

ĐÁP SỐ:

Vẽ điểm F thỏa mãn ABFC là hình bình hành



$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}$

Vì ABFC là hình bình hành nên $\hat{B}=180^0-120^0=60^0$

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác ABF ta có:

$b^2=a^2+f^2-2.a.f.\cos B=5+8-2.\sqrt{5}.2\sqrt{2}\cos 60^0$

$b=\sqrt{13-2\sqrt{10}}\approx 2,58$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F}$ là 2,58 N