Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$. Suy ra $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BA}$. Vì $BA\perp BC$ nên $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CB}=0$, và $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BA}=|BA{|}^2=a^2$. Vậy $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=a^2$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Câu 12, mã đề 0101: B).

Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 0101, câu 13): DSSD. a) Đúng. b) Sai. c) Sai vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2a\cdot 3a\cdot \cos 60^{\circ }=3a^2\ne 4a^2$. d) Đúng vì $12\overrightarrow{AJ}=7\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AJ}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành (hoặc quy tắc tam giác với điểm phụ), ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$... chính xác hơn: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, do đó $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$). Vậy độ dài cần tìm là độ dài đường chéo hình vuông cạnh $3\sqrt{2}$: $BD=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}\cdot (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$, suy ra $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2)$, với tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=5$ nên $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Do đó $M{A}^2+M{I}^2=25+\frac{25}{2}=\frac{75}{2}$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}=2M{G}^2+\frac{25}{4}$, suy ra $2M{G}^2=\frac{75}{2}-\frac{25}{4}=\frac{125}{4}$, tức $M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, nên $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CB}$. Chọn hệ trục: $B=(0;0)$, $A=(2026;0)$, $C=(0;2026)$ (tam giác vuông cân tại $B$). Đường $d$ qua $A$ song song $BC$ là đường thẳng $x=2026$, nên $M=(2026;t)$. Khi đó $\overrightarrow{MA}=(0;-t)$, $\overrightarrow{MB}=(-2026;-t)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-2026)$. Tổng: $(-2026;-2t-2026)$. Độ dài bình phương: $2026^2+(2t+2026{)}^2\ge 2026^2$, dấu bằng khi $t=-1013$ (tồn tại trên $d$). Vậy giá trị nhỏ nhất bằng $2026$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 21: 2026).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$ với hai véc tơ khác $\vec{0}$. Các phương án A, C, D chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt (cùng/ngược hướng hoặc vuông góc sai), không đúng tổng quát. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (1) Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{IB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (hai vecto ngược hướng), mệnh đề sai. (2) Với $I$ trung điểm $BC$, quy tắc trung điểm cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, mệnh đề sai. (3) Trọng tâm $G$ thẳng hàng $A$, $I$ với $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}$, do đó $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ (ngược hướng), mệnh đề sai. (4) Với $G$ là trọng tâm, đẳng thức $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)$ đúng với mọi điểm $M$ (tính chất trọng tâm). Vậy chỉ có $1$ mệnh đề đúng, chọn $B$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ nên C đúng. A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; B, D sai vì tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ hay $\overrightarrow{CB}$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AB=2a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ với góc đỉnh $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó $AC=AB=2a$. Đường chéo $BD=2\cdot AO=2\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=2a\sqrt{3}$. Tâm $O$ là trung điểm $BD$ nên $OB=a\sqrt{3}$. Vậy $\left|\overrightarrow{OB}\right|=a\sqrt{3}$, đáp án C. (A sai vì $OA=a<OB$; B, D sai theo tính toán trên.) Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh 2 cm, I trung điểm BC nên AI là trung tuyến và đường cao, AI = √3 cm. a) Vì I là trung điểm BC nên B, I, C thẳng hàng với I nằm giữa B và C, do đó vectơ IB và IC ngược hướng: IB = -IC ≠ IC → Sai. b) I là trung điểm BC nên theo tính chất trung điểm trong tam giác GBC: GB + GC = 2GI → Đúng. c) Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC → Đúng. d) AB·AI = |AB|·|AI|·cos(∠BAI) = 2·√3·cos30° = 2·√3·(√3/2) = 3 cm² ≠ √3 cm² → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm BC nên IB và IC ngược hướng: IB = -IC, không bằng IC.
b) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm BC nên với đỉnh G: GB + GC = 2GI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC.
d) (AI giải đề cho tôi)
AI = √3 cm, góc BAI = 30°, nên AB·AI = 2·√3·(√3/2) = 3 cm² ≠ √3 cm².

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại $A$, $AB=1$, $AC=\sqrt{3}$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Khi đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC})$. Vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AB}=-A{B}^2=-1$; và vì $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}=0$. Vậy $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(-1+0)=-0,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ($-0,5$).

Ta có lực tổng hợp: $\vec{F}=\overrightarrow{OC}$ (0,25) Áp dụng định lí côsin, ta có: $OC=\sqrt{(F_1{)}^2+(F_2{)}^2-2F_1{F}_2.\cos 120^{\circ }}$ (0,5) $=\sqrt{400^2+600^2-\mathrm{2.400.600.}\cos 120^{\circ }}$ $\approx 871,78$ (N) (0,25) $\Rightarrow |\vec{F}|=|\overrightarrow{OC}|\approx 871,78$ (N). [Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $BD$ và của $AC$. Do đó $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$ (hai vectơ ngược hướng), nên đẳng thức $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ là sai. Các đẳng thức còn lại đều đúng: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ do tính chất hình bình hành; $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ do $O$ là trung điểm $AC$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$. Do đó $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ (C đúng) và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{DO}$, tức $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$, nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}$ là sai. Các đẳng thức $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ đúng theo tính chất hình bình hành. Vậy đẳng thức sai là D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ → Đúng.
b) Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng độ dài $1cm$ nhưng ngược hướng, nên $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IC}$ → Sai.
d) Tam giác đều cạnh $2$ nên $AI=\sqrt{3}cm$, góc $\widehat{BAI}=30^{\circ }$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }=2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3c{m}^2\ne \sqrt{3}c{m}^2$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$, với đỉnh $G$ ta có $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{IB}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên $\overrightarrow{IB}=-\overrightarrow{IC}$, không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AI}=|AB|\cdot |AI|\cos 30^{\circ }=2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3c{m}^2\ne \sqrt{3}c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;√3). M trung điểm BC nên M(1/2; √3/2). Khi đó vector BA = A − B = (−1;0), vector AM = M − A = (1/2; √3/2). Tích vô hướng: BA·AM = (−1)(1/2) + 0·(√3/2) = −1/2 = −0,5. Cách khác: AM = (AB + AC)/2 nên BA·AM = (BA·AB + BA·AC)/2 = (−AB² + 0)/2 = −1/2 vì AB ⊥ AC. Kết quả trùng với đáp án nguồn −0,5.

Ta có lực tổng hợp: $\vec{F}=\overrightarrow{OC}$ (0,25) Áp dụng định lí côsin, ta có: $OC=\sqrt{(F_1{)}^2+(F_2{)}^2-2F_1{F}_2.\cos 120^{\circ }}$ (0,5) $=\sqrt{400^2+600^2-\mathrm{2.400.600.}\cos 120^{\circ }}$ $\approx 871,78$ (N) (0,25) $\Rightarrow |\vec{F}|=|\overrightarrow{OC}|\approx 871,78$ (N). [Hình cần kiểm tra lại: p8_f3]

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với ba điểm $A$, $B$, $C$ bất kỳ:
- A: $\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}$ luôn đúng vì hai vectơ đối.
- B: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ đúng theo quy tắc ba điểm (điểm $A$ nằm giữa hai đầu mút $B$, $C$ qua trung gian $A$).
- C: $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$, đúng.
- D: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}$, nói chung khác $\overrightarrow{BC}$ (ví dụ $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;1)$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=(-1;0)+(0;-1)=(-1;-1)\ne \overrightarrow{BC}=(-1;1)$). Vậy $D$ là khẳng định sai.
Kết quả trùng với đáp án nguồn: $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có 3 đỉnh phân biệt. Vecto khác vecto-không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh: chọn điểm đầu có 3 cách, điểm cuối phải khác điểm đầu nên có 2 cách, tổng $3\times 2=6$ vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Tất cả đều khác vecto-không vì hai đỉnh phân biệt. Vậy đáp án là C, trùng đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 12: c).

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD có AB = 2 cm, BC = AD = 4 cm, góc ABC = 60° nên góc BAD = 120°.
a) Đúng: trong hình bình hành, hai cạnh đối song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b) Sai: trong tam giác ABD, $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 120^{\circ }=4+16-2\cdot 2\cdot 4\cdot (-\frac{1}{2})=28$, nên $BD=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ cm.
c) Sai: $S=AB\cdot BC\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\approx 6,93\ne 4c{m}^2$.
d) Sai: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})=|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 0112 (3a = D, 3b = S, 3c = S, 3d = S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành: hai cạnh đối song song và bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (đúng).
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{D}^2=4+16-16\cos 120^{\circ }=28\Rightarrow BD=2\sqrt{7}\ne 2\sqrt{3}$ (sai).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=2\cdot 4\cdot \sin 60^{\circ }=4\sqrt{3}\approx 6,93\ne 4c{m}^2$ (sai).
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ nên tích vô hướng bằng $|\overrightarrow{AB}{|}^2=4\ne 1$ (sai).