Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$, tức $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$. Do đó $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}$. Mặt khác $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}$. Vậy $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chữ nhật ABCD với AB=3, AD=4, hai vectơ AB và AD vuông góc.
a) Trong chữ nhật, AD = BC (cùng hướng, cùng độ dài) → đúng.
b) Vì AB ⊥ AD nên AD·AB = 0 ≠ 2 → sai.
c) BC − BA = BC + AB = AC; |AC| = √(3²+4²) = 5 → đúng.
d) |2AB + 3AD|² = 4|AB|² + 9|AD|² + 12(AB·AD) = 4·9 + 9·16 + 0 = 180, nên |2AB + 3AD| = 6√5 ≈ 13,42 ≠ 7 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong chữ nhật ABCD, vectơ AD và BC cùng hướng và cùng độ dài nên AD = BC.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB ⊥ AD nên AD·AB = 0, không bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC − BA = BC + AB = AC và |AC| = √(3²+4²) = 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
|2AB + 3AD|² = 4·9 + 9·16 + 0 = 180 nên |2AB + 3AD| = 6√5 ≠ 7.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=6$ cm, $AD=8$ cm, tâm $O$.

a) $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$). Vậy độ dài cần tính là $AC$. Theo Pythagore trong tam giác $ADC$ vuông tại $D$:
$$AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\text{ (cm)}.$$

b) Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$. Do đó:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\right).$$
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}=|AB{|}^2=36$ và $AB\perp AD$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$. Vậy:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(36+0)=18.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu $D$ và điểm cuối $E$ được kí hiệu là $\overrightarrow{DE}$ (mũi tên hướng từ điểm đầu đến điểm cuối). Do đó đáp án đúng là D. Phương án A chỉ là đoạn thẳng $DE$, B là độ dài vectơ, C là vectơ ngược chiều.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh C: tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ bằng vectơ đường chéo đi từ C, tức $\overrightarrow{CA}$. Cụ thể, vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$, do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tàu A đi về hướng tây với vận tốc 30 hải lí/giờ, tàu B đi về hướng đông (ngược chiều) với tốc độ 40 hải lí/giờ. Hai vecto vận tốc ngược hướng nên $\vec{b}=-\frac{40}{30}\vec{a}=-\frac{4}{3}\vec{a}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=10\cdot 12\cdot \cos 120^{\circ }=120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-60$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: Tam giác đều ABC cạnh 3, tâm O (trọng tâm). a) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$ → sai. b) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{OC}$ → sai. c) O là trọng tâm tam giác đều nên $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}=\vec{0}$ → đúng. d) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $120^{\circ }$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{9}{2}\ne -9$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{OC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
O là trọng tâm (tâm) tam giác đều nên tổng ba vectơ từ đỉnh đến O bằng $\vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\cdot 3\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{9}{2}\ne -9$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.

a. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành, vì $ABCD$ là hình bình hành). Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông).

b. Cách 1: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ với $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})={\overrightarrow{AB}}^2=a^2$.

Cách 2: Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $45^{\circ }$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$.

Kết luận: a) $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$; b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$: A đúng vì $AB$ song song và cùng chiều $DC$. C đúng vì quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. D đúng vì quy tắc hình bình hành tại $A$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không thể bằng $\overrightarrow{AD}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh A, B, C của tam giác, mỗi cặp đỉnh phân biệt tạo được 2 véc tơ (đi và ngược chiều). Số cặp đỉnh là $C_3^2=3$, nên số véc tơ là $3\times 2=6$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Tất cả đều khác $\vec{0}$ vì các đỉnh phân biệt. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A$ với góc đỉnh $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó $BD=a$. Đường chéo $AC=a\sqrt{3}$ (vì $AC=2\cdot a\cos 30^{\circ }=a\sqrt{3}$). Tâm $O$ là trung điểm hai đường chéo nên $OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ và $OB=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$: đáp án D đúng. Các phương án A, B sai vì $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne a$ và $\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$; phương án C sai vì $OA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ne \frac{a}{2}=OB$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (D).

Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 0102, câu 16): DDSD. a) Đúng vì $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$. b) Đúng vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4a\cdot 6a\cdot \cos 60^{\circ }=12a^2$. c) Sai vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. d) Đúng vì $\overrightarrow{AI}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(-16a^2+7a^2-12a^2+21a^2\right)=0$, suy ra $AI\perp BE$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0,\frac{a\sqrt{3}}{2})$, $B=(-\frac{a}{2},0)$, $C=(\frac{a}{2},0)$ với $a=2026$. Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Đặt $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(-\frac{3a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{2})$. Vì $M$ chạy trên đường thẳng qua $A$ song song $BC$ (phương ngang), $2\overrightarrow{MA}$ là vecto phương ngang, nên biểu thức đạt nhỏ nhất khi thành phần ngang triệt tiêu, giá trị nhỏ nhất bằng độ lớn thành phần thẳng đứng của $\vec{u}$: $\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2026\sqrt{3}}{2}=1013\sqrt{3}\approx 1754,55\approx 1755$. Khớp với đáp án nguồn 1755.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$ (đường chéo của hình vuông). Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Vậy độ dài vectơ bằng $2$, khớp với đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 0102: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Ta có $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$, nên $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=25$. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $AB=AC=5$ nên $BC=5\sqrt{2}$, $AI=\frac{BC}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, $A{I}^2=\frac{25}{2}$. Dùng đẳng thức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\left(M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2\right)$, ta được $M{A}^2+M{I}^2-A{I}^2=25$. Gọi $G$ là trung điểm $AI$: $M{A}^2+M{I}^2=2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}$. Suy ra $2M{G}^2+\frac{A{I}^2}{2}-A{I}^2=25\Rightarrow 2M{G}^2=25+\frac{25}{4}=\frac{125}{4}\Rightarrow M{G}^2=\frac{125}{8}$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $R=\sqrt{\frac{125}{8}}=\frac{5\sqrt{10}}{4}$, tức $a=5$, $b=4$ (nguyên tố cùng nhau). Khi đó $T=25\cdot 5+2026\cdot 4=125+8104=8229$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{Y}-\overrightarrow{X}$. A: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(\vec{C}-\vec{A})-(\vec{B}-\vec{A})=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$, nên mệnh đề A sai. B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng (quy tắc ba điểm). C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ đúng. D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$ đúng. Vậy mệnh đề sai là A, khớp đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: (1) Vì I là trung điểm BC nên $\overrightarrow{IB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$), mệnh đề sai. (2) Theo quy tắc trung điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$, không phải $\overrightarrow{AI}$, mệnh đề sai. (3) G là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$, đúng. (4) Với M tùy ý, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ nên $\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$, đúng. Vậy có 2 mệnh đề đúng, chọn D (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})$. Các phương án A, B chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt (cùng hoặc ngược hướng), C dùng sin nên sai. Đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$. Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, góc $\widehat{BAC}=45^{\circ }$ và $AC=a\sqrt{2}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB||AC|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=-a^2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.