Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vật cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{F}=\vec{0}$, suy ra $|\vec{F}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Ta có $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=20^2+30^2+2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 120^0=400+900-600=700$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{700}\approx 26,46\approx 26,5$ N, khớp với đáp án nguồn 26,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-4)(-1)+3\cdot 7=4+21=25$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{16+9}=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\approx 0,71$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,71).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, các tam giác $OAB$, $OAF$ đều là tam giác đều cạnh bằng cạnh lục giác, nên tứ giác $OABF$ có $OA=AB=AF$ và các góc phù hợp, thực chất $OABF$ là hình bình hành (do $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}$ theo quy tắc hình bình hành với $\angle AOF=120^{\circ }$... xét trực tiếp: $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF}$; vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OF}$ do $AB\parallel OF$ và cùng chiều, cùng độ dài) nên $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{FA}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AO}$ (vì $D$ đối xứng $A$ qua $O$), khác $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{AB}$ nằm ngang, khác hướng $\overrightarrow{OB}$; $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CB}$ hướng xuống trái, khác $\overrightarrow{OB}$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ $\vec{0}$: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ đúng. B) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên khẳng định này sai. C) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, tam giác ABC có M thuộc AB, N thuộc AC và MN song song với BC. Xét từng đáp án: A) $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{MN}$ ngược hướng $\overrightarrow{CB}$ → sai. B) $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ (vì M nằm giữa A và B) → sai. C) $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng nằm trên hai đường thẳng song song và cùng chỉ từ trái sang phải nên cùng hướng → đúng. D) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không song song với nhau → không cùng hướng. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó A đúng. B sai vì $|\vec{a}.\vec{b}|$ là số dương, không phải $|\vec{a}||\vec{b}|$; C chỉ đúng khi hai véc tơ cùng phương cùng chiều; D dùng sin là sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;2)$, $I$ trung điểm $AB$ nên $I(0,5;0)$.
a) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$; $\overrightarrow{IC}=(-0,5;2)$. Tổng $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IC}=(0,5;-2)$, độ dài $\sqrt{0,25+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$. Đúng.
b) $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IA}$ cùng phía với $\overrightarrow{BA}$, còn $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng $\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng. Đúng.
d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$, còn $2\overrightarrow{IC}=(-1;4)$, hai véc-tơ ngược chiều nên khẳng định sai.
Kết quả Đ, Đ, Đ, S khớp bảng đáp án mã 101, Câu 2.
a) Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(0;2)$, $I$ là trung điểm $AB$ nên $I(0,5;0)$. Ta có $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}=(1;-4)$ và $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{I}=(0,5;-2)$. Tổng $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IC}=(0,5;-2)$, độ dài bằng $\sqrt{0,25+4}=\frac{\sqrt{17}}{2}$. Đúng.
b) I là trung điểm AB nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$. Đúng.
c) $\overrightarrow{IA}$ cùng phía với $\overrightarrow{BA}$, còn $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng. Đúng.
d) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$ (vì I là trung điểm AB), không phải $2\overrightarrow{IC}$; hai véc-tơ này ngược chiều nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vật cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\vec{F}=\vec{0}$, suy ra $\vec{F}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\vec{F}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$. Do đó $|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=20^2+30^2+2\cdot 20\cdot 30\cdot \cos 120^{\circ }=400+900-600=700$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{700}\approx 26,4575\approx 26,5$ N, khớp với đáp án nguồn 26,5.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=(-4)(-1)+3\cdot 7=4+21=25$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{16+9}=5$, $|\vec{b}|=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Do đó $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\approx 0,71$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: 0,71).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ đúng. B) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, nên khẳng định này sai. C) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1, tâm $O$ tại gốc tọa độ. Khi đó $B=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{OB}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Các đỉnh: $A\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $F(-1;0)$, $D\left(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $E\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{DE}=(-1;0)$, $\overrightarrow{AB}=(1;0)$, $\overrightarrow{DO}=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, còn $\overrightarrow{FA}=A-F=\left(-\frac{1}{2}+1;\frac{\sqrt{3}}{2}-0\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\overrightarrow{OB}$. Vậy $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{FA}$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 101, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ (cùng đi từ trái sang phải). Kiểm tra các phương án: A) $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng $\overrightarrow{AB}$ (M nằm giữa A và B) nên sai; B) $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\overrightarrow{BC}$ nên ngược hướng $\overrightarrow{CB}$, sai; C) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, sai; D) $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha$. Vì $\vec{a}\cdot \vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$ và $|\vec{a}||\vec{b}|\ne 0$ nên $\cos \alpha =-1$, suy ra $\alpha =180^{\circ }$. Đáp án A.

Ta có ${\left(\vec{a}-\vec{b}\right)}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2-2\vec{a}\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\vec{b}=\frac{9}{2}$. Do đó: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|}=\frac{3}{8}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AB$ và $MB=3MA$ nên $MA=\frac{1}{4}AB$, tức $AB=4MA$. Hai vectơ $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MB}=-3\overrightarrow{MA}$ (độ dài $MB=3MA$). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng) nên A sai; $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}$ (ngược hướng) nên B sai; $\overrightarrow{MB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$ (ngược hướng với $\overrightarrow{BA}$) nên C sai. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(a^2+0\right)=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều ABC cạnh a=2, các góc 60°. a) Theo quy tắc ba điểm: AB + BC = AC, đúng. b) BC − AC = BC + CA = BA ≠ AB, sai. c) (AB+BC).AC = AC.AC = |AC|² = 4 ≠ −4, sai. d) AC − BC = AC + CB = AB; AB.BA = −|AB|² = −4 ≠ 4, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: AB + BC = AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC − AC = BC + CA = BA, khác AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AB+BC).AC = AC.AC = |AC|² = 4 ≠ −4.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC − BC = AB; AB.BA = −|AB|² = −4 ≠ 4.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20: Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, $H$ là trực tâm (đồng thời là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp).

a) Ta có $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$, do đó $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA=a$.

b) Trong tam giác đều, trực tâm $H$ trùng trọng tâm nên $CH=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vì $CH$ nằm trên phân giác của góc $C$ nên góc giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CH}$ bằng $30^{\circ }$. Do đó:
$$\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=CB\cdot CH\cdot \cos 30^{\circ }=a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{2}.$$

Kết luận: a) $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right|=a$; b) $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CH}=\frac{a^2}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$), nên B sai. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương nhưng khác hướng nên A sai. $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ trên hai đường chéo khác phương nên C sai. Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AD=BC$ (các cạnh bằng nhau), do đó $\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=BC=\left|\overrightarrow{CB}\right|$. Vậy đáp án đúng là D.