Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0)$, $B(2a,0)$, $C(2a,2a)$, $D(0,2a)$, $O(a,a)$, $I$ trung điểm $OB$ nên $I\left(\frac{3a}{2},\frac{a}{2}\right)$.
a) $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD})-(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{MP}-2\overrightarrow{MQ}$ với $P(0,a)$, $Q(2a,a)$ lần lượt là trung điểm $AD$, $BC$. Vì $P$, $Q$ đối xứng qua $O$ nên biểu thức $=2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ})=4\overrightarrow{OP}$, với $OP=a$ nên độ dài bằng $4a$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$. Với tọa độ trên: $\overrightarrow{AB}=(2a,0)$, $\overrightarrow{DC}=(2a,-2a)$... kiểm tra trực tiếp: $-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-(a,a)+(0-a,2a-a)=(-a,-a)+(-a,a)=(-2a,0)$, cộng $\overrightarrow{AB}=(2a,0)$ được $\vec{0}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right|=0$. Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}=(2a,0)+(a,a)=(3a,a)$; $2\overrightarrow{AI}=2\left(\frac{3a}{2},\frac{a}{2}\right)=(3a,a)$. Vậy đẳng thức đúng.
d) $\overrightarrow{AC}=(2a,2a)$ và $\overrightarrow{BD}=(-2a,2a)$ là hai đường chéo vuông góc, tích vô hướng $-4a^2+4a^2=0\ne$ cùng phương. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Biểu thức $=2\overrightarrow{MP}-2\overrightarrow{MQ}=4\overrightarrow{OP}$ với $OP=a$, độ dài bằng $4a$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=(-2a,0)$, cộng $\overrightarrow{AB}=(2a,0)$ được $\vec{0}$, nên vế trái bằng $0$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OC}=(3a,a)=2\overrightarrow{AI}$ với $I\left(\frac{3a}{2},\frac{a}{2}\right)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai đường chéo hình vuông vuông góc nên không cùng phương. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(-\frac{1}{2},0)$, $C(\frac{1}{2},0)$, $A(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$. Từ $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+2\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ suy ra $A+B+2C=4D$, nên $D=\left(\frac{1}{8},\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$. Với $M=(t,0)$ trên đường thẳng $BC$: $T=\sqrt{t^2+\frac{3}{4}}+\sqrt{(t-\frac{1}{8}{)}^2+\frac{3}{64}}$ là tổng khoảng cách từ $M$ đến $A$ và $D$ (cùng phía trên trục $BC$). Lấy $A^{\prime }$ đối xứng $A$ qua trục $BC$: $A^{\prime }=(0,-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Khi đó $\min T=A^{\prime }D=\sqrt{\frac{1}{64}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1+75}{64}}=\frac{\sqrt{76}}{8}=\frac{\sqrt{19}}{4}\approx 1.09$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $\overrightarrow{F_1}$ hướng thẳng xuống, $\overrightarrow{F_2}$ nằm ngang, góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ bằng $120^{\circ }$, góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ bằng $90^{\circ }$. Chọn hệ trục: $\overrightarrow{F_1}=(0,-20)$, $\overrightarrow{F_2}=(F,0)$ với $F=|\overrightarrow{F_2}|$. Vì cân bằng nên $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})=(-F,20)$, suy ra $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{F^2+400}$. Góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $120^{\circ }$: $\overrightarrow{F_2}\cdot \overrightarrow{F_3}=-F^2=F\cdot |\overrightarrow{F_3}|\cos 120^{\circ }=-\frac{F|\overrightarrow{F_3}|}{2}$, nên $|\overrightarrow{F_3}|=2F$. Do đó $4F^2=F^2+400\Rightarrow F=\frac{20}{\sqrt{3}}\approx 11,547$, $|\overrightarrow{F_3}|=\frac{40}{\sqrt{3}}\approx 23,094$. Tổng cần tính: $20+\frac{40}{\sqrt{3}}\approx 43,09\approx 43$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC$ là độ dài đường chéo hình vuông. Cạnh hình vuông là $a\sqrt{2}$ nên $AC=(a\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=2a$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (B đúng) và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (C đúng). Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo thì $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, do đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$ (D đúng). Xét A: nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}$ thì kết hợp với D suy ra $\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}$, tức $B\equiv C$, vô lý. Vậy đẳng thức A sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh A, B, C, mỗi cặp đỉnh phân biệt tạo được một vector (có điểm đầu và điểm cuối). Số cách chọn điểm đầu và điểm cuối từ 3 đỉnh là $3\times 2=6$, gồm: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Vậy có 6 vector, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2101, Câu 10: B).

ABCD là tứ diện đều cạnh $a$ nên suy ra $△ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos A=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$). Do đó A, B sai (tổng phải là $\overrightarrow{AC}$, không phải $\overrightarrow{BD}$ hay $\overrightarrow{DB}$), C sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ chứ không phải $\overrightarrow{CD}$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Tính chất trọng tâm tam giác cho $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. b) Đúng: Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. c) Đúng: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$; tam giác vuông tại $A$ nên trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=7,5$; do đó $GM=\frac{1}{3}AM=2,5$ và $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2\cdot 2,5=5$. d) Sai: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$; $AM=\frac{BC}{2}=7,5$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền), $GM=\frac{1}{3}AM=2,5$, nên độ dài bằng $2\cdot 2,5=5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$, ta có $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$, tức $\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy $M$ nằm trên đoạn $BC$ với $BM=\frac{2}{3}BC$, suy ra $MC=\frac{1}{3}BC$. Do đó $\frac{MB}{MC}=\frac{2/3}{1/3}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4: 2).

a) Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$.

b) Xét tam giác $ADC$ có:
$A{C}^2=D{A}^2+D{C}^2-2\cdot DA\cdot DC\cdot \cos \widehat{ADC}$;
$A{C}^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=21$.
Suy ra $AC=\sqrt{21}$.
Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|2\overrightarrow{AC}\right|=2AC=2\sqrt{21}$.

c) Đặt $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BQ}=k\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BP}=(1-k)\overrightarrow{BA},k\in (0;1)$.
Giả sử $\overrightarrow{AN}=x\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{CN}=y\overrightarrow{CP}$. Ta có
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}\right)$
$=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{DC}+k\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{DA}+x\left(\overrightarrow{DC}-k\overrightarrow{DA}\right)=(1-xk)\overrightarrow{DA}+x\overrightarrow{DC}$,
$\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DC}+y\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{DC}+y\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\right)$
$=\overrightarrow{DC}+y\left(\overrightarrow{DA}+(1-k)\overrightarrow{BA}\right)=\overrightarrow{DC}+y\overrightarrow{DA}-y(1-k)\overrightarrow{DC}$
$=y\overrightarrow{DA}+(1-y+yk)\overrightarrow{DC}$.

Suy ra $\{\begin{array}{l}1-xk=y\\ x=1-y+yk\end{array}$, hay $\{\begin{array}{l}x=\frac{k}{k^2-k+1}\\ y=\frac{1-k}{k^2-k+1}\end{array}$.

Khi đó $\overrightarrow{DN}=\frac{1-k}{k^2-k+1}\overrightarrow{DA}+\frac{k}{k^2-k+1}\overrightarrow{DC}$,
$m+n=\frac{1-k}{k^2-k+1}+\frac{k}{k^2-k+1}=\frac{1}{k^2-k+1}=\frac{1}{{\left(k-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}\le \frac{4}{3},\forall k\in (0;1)$.

Vậy giá trị lớn nhất của $m+n$ bằng $\frac{4}{3}$, đạt được khi $k=\frac{1}{2}$, tức là $M$ là trung điểm của $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, ba điểm thẳng hàng theo thứ tự $A-C-B$ với $C$ nằm giữa $A$ và $B$, và $BC=2AC$. Suy ra $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{CA}$. Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra: A sai vì $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$; C sai vì $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}$; D đúng. Khớp đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$:
- A: Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B_1{C}_1}$ và $\overrightarrow{B_1{A}_1}=\overrightarrow{BA}$ nên hai vế đều bằng $\vec{0}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D_1{C}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DC}$. Đúng.
- C: Theo quy tắc hình hộp tại đỉnh $B$: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{B{D}_1}$. Đúng.
- D: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{D{D}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{B{B}_1}+\overrightarrow{B{D}_1}$, không thể rút gọn thành $\overrightarrow{BC}$ (ví dụ với hình hộp chữ nhật đơn giản, tổng này có thành phần theo phương $B{B}_1$ khác 0). Sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác A'B'C' nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, ta có $$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{c}).$$ Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 7: B).

Gọi điểm thắt 1 đầu bên trên là $O$ và 3 điểm nối 3 sợi dây với giá gỗ tạo thành tam giác đều $ABC$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

Vì tam giác $ABC$ đều nên $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Do đó, $GA=GB=GC=20cm$. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $F_1,F_2,F_3$ trên mỗi sợi dây

Đặt $F=x(0<x\le 15)$

Theo bài ra ta có: $OA=OB=OC=50cm\Rightarrow OG\perp (ABC)$ và $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=60$

Do đó, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$. Từ đó ta có $\overrightarrow{F_1}=\frac{x}{60}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\frac{x}{60}\overrightarrow{OB},\overrightarrow{F_3}=\frac{x}{60}\overrightarrow{OC}$

$$\Rightarrow {\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=\frac{x}{60}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{3x}{60}\overrightarrow{OG}=\frac{x}{20}\overrightarrow{OG}$$

Mặt khác, ta lại có ${\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=\vec{P}$ với $\vec{P}$ là trọng lượng của giá gỗ và các chậu hoa

$$\Rightarrow \left|\vec{P}\right|=\frac{x}{20}\left|\overrightarrow{OG}\right|=\frac{x}{20}\sqrt{60^2-20^2}=x\sqrt{8}\le 15\sqrt{8}$$

Vậy giá trị lớn nhất trọng lượng giá gỗ và chậu hoa là $15\sqrt{8}$

Suy ra trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là: $15\sqrt{8}-5\approx 37,4(N)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, rồi $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo hình hộp xuất phát từ $A$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;2), I là trung điểm AB nên I(0,5;0). a) Vì I là trung điểm AB nên IA + IB = 0 (đúng). b) I nằm giữa A và B, vectơ IA hướng từ I về A còn AB hướng từ A đến B nên chúng ngược hướng (đúng). c) Gọi I là trung điểm AB: CA + CB = 2CI, do đó CA + CB + IC = 2CI + IC = CI. Ta có CI = sqrt((0,5)^2 + 2^2) = sqrt(17)/2, nên |CA + CB + IC| = sqrt(17)/2 (đúng). d) CA + CB = 2CI chứ không phải 2IC (hai vectơ CI và IC ngược hướng), nên phát biểu sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB nên IA + IB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
I nằm giữa A và B nên IA và AB ngược hướng.
c) (AI giải đề cho tôi)
CA + CB = 2CI nên CA + CB + IC = CI, với CI = sqrt(17)/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
CA + CB = 2CI, khác 2IC vì CI và IC ngược hướng.