Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot (-2)+2\cdot 2=-2+4=2$. Độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, $|\vec{v}|=\sqrt{(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}$. Vậy $\cos (\vec{u};\vec{v})=\frac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{8}}=\frac{2}{\sqrt{40}}=\frac{2}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên đáp án B. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $\overline{F_3}$ vuông góc với mặt phẳng chứa $\overline{F_1},\overline{F_2}$ (theo hình vẽ). Khi đó $\overline{F_3}\cdot \overline{F_1}=0$ và $\overline{F_3}\cdot \overline{F_2}=0$. Hợp lực $\overline{F}=\overline{F_1}+\overline{F_2}+\overline{F_3}$ nên:
$$|\overline{F}{|}^2=|\overline{F_1}{|}^2+|\overline{F_2}{|}^2+|\overline{F_3}{|}^2+2\overline{F_1}\cdot \overline{F_2}+2\overline{F_1}\cdot \overline{F_3}+2\overline{F_2}\cdot \overline{F_3}$$
$$=13^2+7^2+10^2+2\cdot 13\cdot 7\cdot \cos 120^{\circ }+0+0=169+49+100-91=227$$
Vậy $|\overline{F}|=\sqrt{227}\approx 15,0665\approx 15,1$ Newton.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện đều ABCD cạnh 6 nên các góc giữa các cạnh đều bằng 60°. Ta có $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 6\cos 60^{\circ }-6\cdot 6\cos 60^{\circ }=18-18=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực đôi một vuông góc nên ${\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|}^2={\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_3}\right|}^2=30^2+40^2+50^2=900+1600+2500=5000$. Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{5000}=50\sqrt{2}N$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ nằm giữa $M,N$ và $MP=3PN$ nên $MN=MP+PN=4PN$, suy ra $PN=\frac{1}{4}MN$ và $MP=\frac{3}{4}MN$ (cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$). Xét từng đáp án: A sai vì $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ (cùng hướng, không phải dấu trừ). B sai vì $\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{PN}$ nên $3\overrightarrow{NP}=-3\overrightarrow{PN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MP}$. C sai vì $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{PN}=-4\overrightarrow{NP}$. D đúng vì $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng hướng từ $P$ về $N$... chính xác hơn: $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng với $\overrightarrow{PN}$ (cùng chiều $M\to N$) và độ dài gấp 3 lần, nên $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài vector $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$, tức bằng độ dài cạnh $AB=2$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2$, phương án B đúng. Phương án A sai vì vector không thể bằng một số; C sai vì so sánh một số với một vector; D sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có phương khác nhau nên không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(0;a\sqrt{3})$ (vì $\tan 30^{\circ }=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$). Khi đó $N\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)$, $M\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.
a) Đường thẳng $AM$: $y=\sqrt{3}x$. Điểm $K$ trên $BN$: $K=B+t(N-B)=\left(a(1-t);\frac{ta\sqrt{3}}{3}\right)$. Thay vào $AM$: $\frac{t}{3}=1-t\Rightarrow t=\frac{3}{4}$. Vậy $\frac{BK}{BN}=\frac{3}{4}$, phân số tối giản với $a=3,b=4\Rightarrow a+b=7\ne 5$ → Sai.
b) $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
c) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ → Đúng.
d) $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=BC$. Trong tam giác vuông tại $A$, $\sin 30^{\circ }=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{a}{1/2}=2a$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn: Sai, Sai, Đúng, Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0),B(a;0),C(0;a\sqrt{3})$, giao điểm $K$ của $AM$ và $BN$ cho $\frac{BK}{BN}=\frac{3}{4}$, nên $a+b=3+4=7\ne 5$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, không phải $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=BC=\frac{AB}{\sin 30^{\circ }}=2a$ → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ (theo thứ tự đỉnh $A,B,C,D$), theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (với $AC$ là đường chéo xuất phát từ $A$). Kiểm tra các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$; C sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$). Vậy đáp án đúng là D, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $NA=2NC$ nên $N$ chia $AC$ theo tỉ số $\frac{NA}{NC}=2$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, tức $x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$. Vậy $P=2x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,17$, khớp với đáp án nguồn 0,17.

Câu 2a. Theo giả thiết có A là trung điểm của BD. Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CA}$ (0.5 điểm).

Câu 2b [Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]
Do A là trung điểm BD nên $\left|2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right|$.
Dựng E sao cho BCED là hình bình hành, khi đó $\left|\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BE}\right|=BE$ (0.25 điểm).
Từ giả thiết tính được $AC=4$ và $\cos A\hat{B}C=\frac{3}{5}$; $EC=BD=2AB=6$.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác BCE (0.25 điểm):
$BE=\sqrt{B{C}^2+C{E}^2-2BC\cdot CE\cos B\hat{C}E}$
$BE=\sqrt{5^2+6^2+2\cdot 5\cdot 6\cos C\hat{B}D}=\sqrt{97}$

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$, nên D đúng. Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$ (B đúng) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ (C đúng). Mệnh đề A sai vì $\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$. Khớp đáp án nguồn (Mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (vì $AC$ là đường chéo xuất phát từ đỉnh chung $A$). Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$); C sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$; D sai vì tổng bằng $\overrightarrow{AC}$ chứ không phải $\overrightarrow{BD}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$ (A đúng) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ (D đúng). Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ với $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ (B đúng). Do đó mệnh đề $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$ (C) là SAI. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(a;0), C(0;a√3) (vì tam giác vuông tại A, góc C = 30° nên AC = a√3, BC = 2a). M(a/2; a√3/2), N(0; a√3/3).
a) Đúng: M là trung điểm BC nên vectơ AB + vectơ AC = 2 vectơ AM (tính chất trung điểm).
b) Đúng: |vectơ AB − vectơ AC| = |vectơ CB| = BC = 2a (cạnh huyền gấp đôi cạnh đối diện góc 30°).
c) Sai: K = AM ∩ BN. Đường AM: y = √3x. Đường BN: K = B + t(vectơ BN) = (a(1−t); t·a√3/3). Thay vào y = √3x: t·a√3/3 = √3·a(1−t) ⇒ t/3 = 1−t ⇒ t = 3/4. Vậy BK/BN = 3/4, tức a/b = 3/4 tối giản và a+b = 7 ≠ 5, mệnh đề sai.
d) Sai: vectơ BN = vectơ AN − vectơ AB = (1/3)vectơ AC − vectơ AB, không phải vectơ AB + (1/3)vectơ AC.
Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên vectơ AB + vectơ AC = 2 vectơ AM.
b) (AI giải đề cho tôi)
|vectơ AB − vectơ AC| = BC = 2a vì tam giác vuông tại A, góc C = 30° nên BC = 2·AB = 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0;0), B(a;0), C(0;a√3), N(0;a√3/3), M(a/2;a√3/2). Giao K của AM (y = √3x) và BN cho t = 3/4, nên BK/BN = 3/4, do đó a+b = 7 ≠ 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
vectơ BN = vectơ AN − vectơ AB = (1/3)vectơ AC − vectơ AB, không bằng vectơ AB + (1/3)vectơ AC.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $MN$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})$. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $NA=2NC$ nên $AN=\frac{2}{3}AC$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Suy ra $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, vậy $x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{3}$. Do đó $P=2x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx 0,17$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh 2 nên độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách $AB=2$, tức $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2$: khẳng định A đúng. B sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$). C sai vì vectơ không thể bằng một số. D sai vì so sánh một số với một vectơ là vô nghĩa. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 1001: A).

Câu 2a. Theo giả thiết có A là trung điểm của BD. Do đó $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CA}$ (0.5 điểm).

Câu 2b [Hình cần kiểm tra lại: p11_f1]
Do A là trung điểm BD nên $\left|2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right|$.
Dựng E sao cho BCED là hình bình hành, khi đó $\left|\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BE}\right|=BE$ (0.25 điểm).
Từ giả thiết tính được $AC=4$ và $\cos A\hat{B}C=\frac{3}{5}$; $EC=BD=2AB=6$.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác BCE (0.25 điểm):
$BE=\sqrt{B{C}^2+C{E}^2-2BC\cdot CE\cos B\hat{C}E}$
$BE=\sqrt{5^2+6^2+2\cdot 5\cdot 6\cos C\hat{B}D}=\sqrt{97}$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ nằm giữa $M$ và $N$ với $MP=3PN$ nên $MN=MP+PN=4PN$, suy ra $MP=\frac{3}{4}MN$ (cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$). Xét các đáp án: A sai vì $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ (không có dấu trừ); B sai vì $\overrightarrow{NP}$ ngược hướng $\overrightarrow{MN}$ nên $\overrightarrow{MN}=-4\overrightarrow{NP}$; C đúng vì $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng hướng và độ dài $MP=3PN$ nên $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$; D sai vì $\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{PN}$. Đáp án khớp với mã đề 1001: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{MB}$ và $M$ thuộc đoạn $BC$ nên $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $MB=\frac{1}{3}BC$ (độ dài), với $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Vậy đáp án B.