Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên đẳng thức này SAI.
- C: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ vì $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và cùng chiều, cùng độ dài. Đúng.
- D: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là phương án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;6)$, $\overrightarrow{AC}=(2;4)$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-2+24=22$, $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{37}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{20}$. Suy ra $\cos A=\frac{22}{\sqrt{37}\cdot \sqrt{20}}=\frac{22}{\sqrt{740}}\approx 0,8088$, nên $A\approx 36,03^{\circ }\approx 36^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Ta có $\overrightarrow{CA}=(3-(-3);2-0)=(6;2)$, $\overrightarrow{CB}=(-4-(-3);3-0)=(-1;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=6\cdot (-1)+2\cdot 3=-6+6=0$. Vậy $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, tức tam giác ABC vuông tại C. b) Diện tích tam giác vuông tại C: $CA=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, $CB=\sqrt{(-1{)}^2+3^2}=\sqrt{10}$. Suy ra $S=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$. (Kiểm tra bằng công thức định thức: $S=\frac{1}{2}|x_{CA}{y}_{CB}-y_{CA}{x}_{CB}|=\frac{1}{2}|6\cdot 3-2\cdot (-1)|=\frac{20}{2}=10$.) Vậy diện tích tam giác ABC bằng 10 (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Các vecto có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt của tam giác $ABC$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Chọn 2 đỉnh phân biệt trong 3 đỉnh có $3\times 2=6$ cách sắp xếp (điểm đầu, điểm cuối), mỗi cách cho một vecto khác vecto không. Vậy có 6 vecto. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{MA}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{BM}$; C đúng vì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; D sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ (cùng hướng), không phải $-\overrightarrow{MB}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (không phải $\overrightarrow{BD}$); $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}$ không bằng $\overrightarrow{DB}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{a}=k\vec{b}$, lấy độ dài hai vế: $\left|\vec{a}\right|=\left|k\vec{b}\right|=|k|\left|\vec{b}\right|$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, vecto có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên chỉ từ điểm đầu đến điểm cuối). $AB$ là đoạn thẳng, $\overrightarrow{BA}$ là vecto ngược chiều, còn $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ là độ dài vecto $\overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}=(1-0;-2-4)=(1;-6)$, $\overrightarrow{BC}=(3-0;2-4)=(3;-2)$.
$$\cos B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}=\frac{1\cdot 3+(-6)(-2)}{\sqrt{37}\cdot \sqrt{13}}=\frac{15}{\sqrt{481}}\approx 0,6841.$$
Vậy $B\approx 46,86^{\circ }\approx 47^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm (tổng hai vectơ có cùng điểm cuối/đầu):
- A: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$: hai vectơ cùng điểm cuối $A$, không áp dụng trực tiếp quy tắc ba điểm; $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AB}$, không bằng $\overrightarrow{CB}$ nói chung. Sai.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là tổng hai vectơ cùng xuất phát $A$, theo quy tắc hình bình hành cho vectơ $\overrightarrow{AD}$ (với $ABDC$ là hình bình hành), không phải $\overrightarrow{BC}$. Sai.
- C: $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, $\overrightarrow{BB}=\vec{0}$ nên tổng bằng $\vec{0}\ne \overrightarrow{AB}$. Sai.
- D: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}$ (giao hoán và quy tắc ba điểm với điểm chung $M$). Đúng.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}$ (vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SB}$... xét tam giác $SAB$: $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{SA}$, suy ra $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}$). Vậy mệnh đề đúng là C. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{SB}$; B sai vì hiệu bằng $\overrightarrow{BA}$ chứ không phải $\overrightarrow{AB}$; D sai vì $\overrightarrow{SC}$ không liên quan.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ bằng $0^{\circ }$ nghĩa là hai vectơ cùng phương và cùng chiều (cùng hướng). Độ dài có thể khác nhau nên B sai; ngược hướng/đối nhau ứng với góc $180^{\circ }$ nên A, D sai. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(2a;0;0)$, $C=(a;a\sqrt{3};0)$, $A^{\prime }=(0;0;a)$, $B^{\prime }=(2a;0;a)$, $C^{\prime }=(a;a\sqrt{3};a)$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $2a$ nên $H$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $H=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$.
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3a;a\sqrt{3};2a)=2\overrightarrow{AH}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{BC}=(-a;a\sqrt{3};0)$, tích vô hướng với $\overrightarrow{AH}$: $-\frac{3a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}+0=0$ → góc $90^{\circ }$, đúng.
c) $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(2a;0;0)$, $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$, tích vô hướng $=-a^2\ne a^2$ → sai.
d) $K\in AH$: $\overrightarrow{AK}=t\overrightarrow{AH}$. Điều kiện $(\overrightarrow{A^{\prime }}-\overrightarrow{K})\cdot \overrightarrow{AH}=0$ cho $a^2-4a^{2}t=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}$, nên $\overrightarrow{AK}=\left(\frac{3a}{8};\frac{a\sqrt{3}}{8};\frac{a}{4}\right)$. Với $\vec{a}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;a)$, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}=(2a;0;0)$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}=(a;a\sqrt{3};0)$: từ thành phần $y$: $p=\frac{1}{8}$; từ $x$: $2n+p=\frac{3}{8}\Rightarrow n=\frac{1}{8}$; từ $z$: $m=\frac{1}{4}$. Vậy $m+n-p=\frac{1}{4}\ne a\sqrt{3}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AH}$ (kiểm tra bằng tọa độ: $(3a;a\sqrt{3};2a)=(3a;a\sqrt{3};2a)$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BH}=(2a)(-a/2)=-a^2\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $m=\frac{1}{4}$, $n=\frac{1}{8}$, $p=\frac{1}{8}$ nên $m+n-p=\frac{1}{4}\ne a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$, và $O$ là trung điểm $AC$, $S$ tùy ý nên $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ (tính chất trung điểm). Do đó A, B, D đúng. Xét C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{SA}$, nói chung khác $\overrightarrow{AC}$ (chỉ đúng khi $S=A$, vô lý). Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ đều nên $M$ là trung điểm $BC$ cũng là chân đường cao, do đó $OM\perp BC$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và đường thẳng $BC$ bằng $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{AB}$ (tính theo góc nhọn giữa hai vecto) bằng $90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}$ không đúng (thực tế $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$). C sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}\ne 2\overrightarrow{OB}$ (thực tế $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BO}$). D sai vì $2\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^0=3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=6$. b) Đúng: $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$ nên độ dài bằng $CA=4$. c) Sai: $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, không phải $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. d) Đúng: $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=0$ cho $\frac{1}{2}\left[k(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+A{C}^2)-(A{B}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC})\right]=0$, tức $k(6+16)-(9+6)=0\Rightarrow 22k=15\Rightarrow k=\frac{15}{22}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=3\cdot 4\cdot \cos 60^0=6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$, độ dài bằng $CA=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ vì $D$ là trung điểm $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot (k\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(22k-15)=0\Rightarrow k=\frac{15}{22}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\vec{v}$ là vận tốc thực (đối với bờ) của ca nô: $|\vec{v}|=22$ km/h theo hướng $S20^{0}E$, tức hợp với hướng nam một góc $20^0$ (nghiêng về đông). Vận tốc nước $\vec{u}$ hướng đông, $|\vec{u}|=2$ km/h. Vận tốc riêng của ca nô là $\overrightarrow{v_0}=\vec{v}-\vec{u}$.

Chọn trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc. Khi đó:
$\vec{v}=(22\sin 20^0;-22\cos 20^0)$, $\vec{u}=(2;0)$.

Suy ra $\overrightarrow{v_0}=(22\sin 20^0-2;-22\cos 20^0)$.

$|\overrightarrow{v_0}{|}^2=(22\sin 20^0-2{)}^2+(22\cos 20^0{)}^2=484-88\sin 20^0+4=488-88\sin 20^0\approx 488-30,10=457,90$.

Vậy $|\overrightarrow{v_0}|\approx \sqrt{457,90}\approx 21,4$ km/h.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1. a) Vì $2MB=3MC$ và $M$ thuộc cạnh $BC$ nên $\frac{MB}{MC}=\frac{3}{2}$, suy ra $\overrightarrow{BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$. Ta có:
$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}.$$

b) Với mọi điểm $K$, áp dụng kết quả câu a) cho đỉnh $K$ thay $A$: $\overrightarrow{KM}=\frac{2}{5}\overrightarrow{KB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{KC}$, do đó $2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=5\overrightarrow{KM}$ (thật vậy $2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ vì $\overrightarrow{MB}=-\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{MC}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$).

Khi đó:
$$P=\left|5\overrightarrow{KA}+5\overrightarrow{KM}\right|=5\left|\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}\right|.$$

Gọi $G$ là trung điểm của $AM$. Với mọi điểm $K$: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KM}=2\overrightarrow{KG}$, nên $P=10KG$.

Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $KG$ nhỏ nhất, tức $K$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $d$ (do $G$ nằm trên đoạn $AM$ với $A\in d$, $M\notin d$ nên $G\notin d$).

Kết luận: $K$ là chân đường vuông góc hạ từ trung điểm $G$ của đoạn $AM$ xuống đường thẳng $d$; khi đó $P_{\min }=10\cdot d(G,d)$.