Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên hướng từ $A$ đến $B$). $\overrightarrow{BA}$ là vectơ ngược chiều, $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ là độ dài vectơ, còn $AB$ là đoạn thẳng. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 219 (Câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$ (theo hình: $A$ trên trái, $B$ trên phải, $D$ dưới trái, $C$ dưới phải).
a) Quy tắc hình bình hành tại đỉnh $A$: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Đúng.
c) $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. Sai.
d) $O$ là tâm hình vuông nên là trung điểm của $AC$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 219, Câu 2: a)Đ - b)Đ - c)S - d)Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cos 45^{\circ }=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, không phải $a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=3\cdot 2\cdot \cos 120^{\circ }=6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 219, Câu 1: -3).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, hình vuông $ABCD$ có $A$ trên trái, $B$ trên phải, $C$ dưới phải, $D$ dưới trái, tâm $O$ là giao hai đường chéo. Vectơ $\overrightarrow{AO}$ nằm trên đường chéo $AC$, hướng từ $A$ về $O$ (cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ vì $O$ nằm giữa $A$ và $C$). Xét các đáp án: $\overrightarrow{BD}$ nằm trên đường chéo $BD$, khác hướng với $\overrightarrow{AO}$; $\overrightarrow{CO}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AO}$ (cùng nằm trên $AC$ nhưng đi từ $C$ về $O$); $\overrightarrow{AB}$ nằm trên cạnh $AB$, không song song với $\overrightarrow{AO}$; $\overrightarrow{AC}$ cùng nằm trên đường chéo $AC$ và cùng chiều đi từ $A$ đến $C$ nên cùng hướng với $\overrightarrow{AO}$. Vậy đáp án đúng là $D$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 219, câu 3: $D$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 198), Phần II: hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $a$, với $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo).

a) Theo quy tắc hình bình hành (hình vuông), $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, nên $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=AC=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. → SAI.

b) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. → ĐÚNG.

c) $O$ là tâm hình vuông nên $O$ là trung điểm của $AC$, do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$. → ĐÚNG.

d) Quy tắc hình bình hành trong hình vuông $ABCD$: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. → ĐÚNG.

Kết quả khớp hoàn toàn với bảng đáp án trang 7, mã đề 198: a)S - b)D - c)D - d)D, và cũng khớp với các giá trị isCorrect trong dữ kiện (a sai, b/c/d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}=a\sqrt{2}$, nên $\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right|=a\sqrt{2}\ne a\sqrt{3}$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}=\vec{0}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=3\cdot 2\cdot \cos 120^{\circ }=6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-3).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, hình vuông $ABCD$ có A trên trái, B trên phải, C dưới phải, D dưới trái, O là tâm (giao hai đường chéo). Vecto $\overrightarrow{AO}$ đi từ đỉnh A về tâm O, nằm trên đường chéo AC và cùng chiều từ A đến C. Trong các đáp án: $\overrightarrow{BD}$ vuông góc với $\overrightarrow{AO}$; $\overrightarrow{CO}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AO}$ (cùng nằm trên đường chéo AC nhưng đi từ C về O); $\overrightarrow{AB}$ vuông góc với $\overrightarrow{AO}$. Chỉ có $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AO}$ vì $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 198 (câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên hướng từ $A$ đến $B$). Phương án B là đoạn thẳng $AB$, C là vectơ ngược chiều, D là độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 198, câu 7: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D. (Lưu ý: tổng này cũng bằng $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, nhưng $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ không có trong các phương án; phương án C là $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ nên không đúng.)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, AC=√2 nên AB=BC=1. Chọn hệ tọa độ B(0;0), A(1;0), C(0;1), I trung điểm AC nên I(1/2;1/2). a) vectơ AB=(-1;0) khác vectơ AC=(-1;1) (khác phương) nên Sai. b) I là trung điểm AC nên IA = -IC, Đúng. c) IA - CB = (1/2;-1/2) - (0;-1) = (1/2;1/2), độ dài = √(1/4+1/4)=√2/2, Đúng. d) AB·CA = (-1;0)·(1;-1) = -1 ≠ 1, Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
vectơ AB=(-1;0) và vectơ AC=(-1;1) có phương khác nhau nên không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm của AC nên IA = -IC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với B(0;0), A(1;0), C(0;1), I(1/2;1/2): IA - CB = (1/2;1/2), độ dài bằng √2/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·CA = (-1;0)·(1;-1) = -1 ≠ 1.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $\widehat{BAC}=60^{\circ }$.

a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$ (cm${}^2$).

b) Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$, khi đó $|\vec{u}|=|\vec{v}|=a$ và $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{a^2}{2}$.

Vì $EA=2EC$ nên $AE=\frac{2}{3}AC$, suy ra $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\vec{v}$, do đó $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=-\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}$.

Vì $FB=4FC$ nên $FC=\frac{1}{5}CB$, suy ra $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{CB}=\vec{v}+\frac{1}{5}(\vec{u}-\vec{v})=\frac{1}{5}\vec{u}+\frac{4}{5}\vec{v}$.

Tính tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}=\left(-\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\right)\cdot \left(\frac{1}{5}\vec{u}+\frac{4}{5}\vec{v}\right)$$
$$=-\frac{1}{5}{a}^2-\frac{4}{5}\cdot \frac{a^2}{2}+\frac{2}{15}\cdot \frac{a^2}{2}+\frac{8}{15}{a}^2=\frac{-3-6+1+8}{15}{a}^2=0.$$

Vậy $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AF}=0$, tức là $BE\perp AF$. (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (B đúng), $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ (C đúng), $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|$ (D đúng). Mệnh đề A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài nhưng khác phương (góc ở B không bằng 0°).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (quy tắc hiệu tại điểm C). Do đó $\vec{u}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}$ (quy tắc ba điểm). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, $O$ là trung điểm $BD$ nên $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{BO}$ (vì $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BO}$). Vậy B đúng. A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$; C sai vì $3\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{AO}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{DB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là A. Các phương án B, C, D đều sai vì dùng sai công thức (dùng $|\vec{a}.\vec{b}|$, dùng sin, hoặc bỏ cos).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos (\vec{u};\vec{v})=3\cdot 4\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, ${\vec{F}}_1$ thẳng đứng và ${\vec{F}}_2$ nằm ngang, nên $\vec{F}$ là đường chéo của hình chữ nhật với hai cạnh ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2$. Do đó độ lớn $F_2$ là thành phần ngang của $\vec{F}$: $F_2=F\cos \alpha =50\cos 30^{\circ }=50\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}$ N. Vậy $a=25$, $b=3$ (thỏa $b\le 3$), suy ra $a+b=28$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, khi đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và vì $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ với $GA=2GM$ nên $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$. Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$. Đây là tính chất đặc trưng của trọng tâm. Vậy đáp án đúng là $D$, trùng với đáp án nguồn (câu 2: $D$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đẳng thức đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$, hai vectơ $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ không bằng nhau (khác phương). Đẳng thức SAI.
- C: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- D: $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0103, câu 4 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng đẳng thức trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}+\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.
- B: Quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ còn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Vì $A{B}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }$ là hai đường chéo khác nhau nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{A{D}^{\prime }}$. Sai.
- D: $ABCD$ và $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là các hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$. Đúng.
Vậy đẳng thức sai là C, trùng với đáp án nguồn.